最新高考考点完全题数学理习题单元质量测试6

1、单元质量测试(六)时间：120分钟满分：150分第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1已知a、b表示直线，、表示平面，则a的一个充分条件是()a，a b，acab，b db，a，ab答案d解析对于a选项直线a有可能在平面内，b选项可以推出a，或者a在平面内，对于c选项直线a有可能在平面内，d选项是正确的，故选d.2已知一个四面体的顶点在空间直角坐标系oxyz中的坐标分别是，(1,1,0)，(1,0,1)，画该四面体三视图中的正视图时，以yoz平面为投影面，则得到的正视图可以为()答案a解析由直观图可得a中的图正确，故选a.3已知各顶点都在一个球面上的正四

2、棱柱的高为2，这个球的表面积为6，则这个正四棱柱的体积为()a1 b2 c3 d4答案b解析s表4r26，r，设正四棱柱底面边长为x，则x2x222(2r)2，x1.v正四棱柱2.故选b.4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是()a4 b2c6 d4答案d解析该几何体为边长为4的正方体的一部分，如图，最长的边为pc4.5设m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列命题：若m，m，则；若m，m，则；若m，n，则mn；若m，n，则mn.上述命题中，所有真命题的序号是()a b c d答案a解析对于，垂直于同一条直线的两个平面互

3、相平行，所以正确；对于，平行于同一条直线的两个平面的位置关系不确定，所以错误；对于，平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，所以错误；对于，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，所以正确故选a.6已知a，b是球o的球面上两点，aob90°，c为该球面上的动点若三棱锥oabc体积的最大值为36，则球o的表面积为()a36 b64 c144 d256答案c解析soab是定值，且voabcvcoab，当oc平面oab时，vcoab最大，即voabc最大设球o的半径为r，则(voabc)max×r2×rr336，r6，球o的表面积s4r24×62144.7已知

4、甲、乙两个几何体的正视图和侧视图相同，俯视图不同，如图所示记甲的体积为v甲，乙的体积为v乙，则()av甲<v乙 bv甲v乙cv甲>v乙 dv甲，v乙的大小不能确定答案c解析如图，在正方体中，甲几何体的直观图是四棱锥da1b1c1d1，乙几何体的直观图是三棱锥da1b1c1，显然有v甲>v乙，故选c.8已知某几何体的三视图如图所示，则其体积为()a. b8 c. d9答案b解析由三视图可知该几何体为一个底面半径为1，高为5的圆柱与一个底面半径为1，高为3的圆柱的组合体，其体积为v×12×(53)8，故选b.9在菱形abcd中，a60°，ab，将ab

5、d折起到pbd的位置，若二面角pbdc的大小为，则三棱锥pbcd的外接球的体积为()a. b. c. d.答案c解析取bd中点e，连接pe，ce，则pec，pece，设bcd的外接圆的圆心与球心的距离为h，三棱锥pbcd的外接球的半径为r，则r，h，三棱锥pbcd的外接球体积为·3.故选c.10已知abca1b1c1是各棱长均等于a的正三棱柱，d是侧棱cc1的中点，则直线cc1与平面ab1d所成的角为()a45° b60°c90° d30°答案a解析如图所示，取ac的中点n，以n为坐标原点，建立空间直角坐标系a，b1，d，c1，c.，(0,0，

6、a)设平面ab1d的法向量为n(x，y，z)，由n·0，n·0，可取n(，1，2)cos，n，直线cc1与平面ab1d所成的角为45°.11.如图，abcda1b1c1d1是正方体，e、f分别是ad、dd1的中点，则平面efc1b和平面bcc1所成二面角的正切值等于()a2 b.c. d.答案a解析设正方体的棱长为2，建立以d为坐标原点，da、dc、dd1所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则e(1,0,0)，f(0,0,1)，(1,2,0)，(1,0,1)，易知平面bcc1的一个法向量为(0，2,0)，设平面efc1b的法向量为m(x，y，z)，则m&#

7、183;x2y0，m·xz0，令y1，则m(2，1,2)，故cosm，tanm，2.12如图，以等腰直角三角形斜边bc上的高ad为折痕，把abd和acd折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：·0；bac60°；三棱锥dabc是正三棱锥；平面adc的法向量和平面abc的法向量互相垂直其中正确的是()a b c d答案b解析以d为坐标原点，db、dc、da所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，令ada，则a(0,0，a)，b(a，0,0)，c(0，a,0).(a,0，a)，(0，a，a)，·a20，故错；cos，bac60°，故

8、对；因为abacbca，addbdca，所以三棱锥dabc为正三棱锥，故对；由图易知错第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13如图，一个底面半径为r的圆柱形量杯中装有适量的水若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则_.答案解析由水面高度升高r，得圆柱体积增加r2r，恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有r3r2r.故.14直三棱柱abca1b1c1的六个顶点都在球o的球面上若abbc2，abc90°，aa12，则球o的表面积为_答案16解析由题设可知，直三棱柱可以补成一个球的内接长方体，所以球的直径为长方体的体对角线长，即4，故球o

9、的表面积s4r216.15如图，四边形abcd为菱形，四边形cefb为正方形，平面abcd平面cefb，ce1，aed30°，则异面直线bc与ae所成角的大小为_答案45°解析本题考查空间异面直线所成角的求解bcad，bc与ae所成的角等于ad与ae所成的角，即ead.易知de，ad1，由正弦定理，得，sindae，dae45°.异面直线bc与ae所成角的大小为45°.16已知一个几何体由八个面围成，每个面都是正三角形，有四个顶点在同一平面内且为正方形，若该八面体的棱长为2，所有顶点都在球o上，则球o的表面积为_答案8解析依题意，该八面体的各个顶点都在同

10、一球面上，则其中四点所组成的截面在球的大圆面上，因为该八面体的棱长为2，所以这四点组成的正方形的对角线的长为2，故球的半径为，该球的表面积为4()28.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)四棱锥sabcd的三视图和直观图如图所示，其中正视图和侧视图为两个全等的直角三角形，俯视图为正方形，m、n、p分别为ab、sa、ad的中点(1)求四棱锥sabcd的体积；(2)求证：直线mc平面bpn.解(1)由三视图知sd底面abcd，底面abcd是正方形，ab1，sd2，s正方形abcd1×11，vsabcd×s正方形ab

11、cd×sd×1×2.(2)证明：连接pn、pb，设pbcmo.p、n分别为ad、sa的中点，pnsd.pn平面abcd.又mc平面abcd，pnmc.在正方形abcd中，p、m分别是ad、ab的中点，pabmbc，pbamcb.又mcbbmc90°，pbabmc90°.pbmc.又pnpbp，且pn、pb平面bpn，mc平面bpn.18(本小题满分12分)如图1，c、d是以ab为直径的圆上两点，ab2ad2，acbc，f是ab上一点，且afab，将圆沿直径ab折起，使点c在平面abd内的射影e在bd上，如图2.(1)求证：ad平面bce；(2)

12、求证：ad平面cef.证明(1)依题意知adbd.ce平面abd，cead.bdcee，ad平面bce.(2)在rtabd中，ab2，ad，bd3.如图，连接ae.在rtace和rtbce中，acbc，cece，rtacertbce.aebe.设dex，则aebe3x.在rtade中，ad2de2ae2，3x2(3x)2，解得x1，be2.，adef.ad平面cef，ef平面cef，ad平面cef.19(本小题满分12分)在平面直角坐标系xoy中，已知四点a(12,0)，b(4,0)，c(0，3)，d(3，4)，把坐标系平面沿y轴折为直二面角(1)求证：bcad；(2)求平面ado和平面adc

13、的夹角的余弦值；(3)求三棱锥caod的体积解(1)证明：以o为坐标原点，oa为x轴，y轴不变，ob为z轴建立空间直角坐标系，则a(12,0,0)，b(0,0,4)，c(0，3,0)，d(0，4,3)因为·(0，3，4)·(12，4,3)12120，所以bcad.(2)设平面ado的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则得平面ado的一个法向量为n1(0,3,4)设平面adc的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，则则平面adc的一个法向量为n2(3，12，4)所以cosn1，n2，故平面ado和平面adc的夹角的余弦值是.(3)三棱锥caod的体积vcaodvacods

14、cod·ao××3×3×1218.20(本小题满分12分)如图所示，该几何体是由一个直三棱柱adebcf和一个正四棱锥pabcd组合而成的，adaf，aead2.(1)证明：平面pad平面abfe；(2)求正四棱锥pabcd的高h，使得二面角cafp的余弦值是.解(1)证明：在直三棱柱adebcf中，ab平面ade，所以abad.又adaf，所以ad平面abfe.因为ad平面pad，所以平面pad平面abfe.(2)由(1)知ad平面abfe，以a为原点，ab，ae，ad所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则a(0,0,0)，f(2,

15、2,0)，c(2,0,2)，p(1，h,1)，(2,2,0)，(2,0,2)，(1，h,1)设平面afc的一个法向量为m(x1，y1，z1)，则取x11，则y1z11，所以m(1，1，1)设平面afp的一个法向量为n(x2，y2，z2)，则取x21，则y21，z21h，所以n(1，1，1h)二面角cafp的余弦值为.所以|cosm，n|，解得h1.21(本小题满分12分)如图，在梯形abcd中，abcd，addccb1，abc60°，四边形acfe为矩形，平面acfe平面abcd，cf1.(1)求证：bc平面acfe；(2)点m在线段ef上运动，设平面mab与平面fcb所成二面角的平

16、面角为(90°)，试求cos的取值范围解(1)证明：在梯形abcd中，abcd，addccb1，abc60°，ab2，ac2ab2bc22ab·bc·cos60°3，ab2ac2bc2，bcac.平面acfe平面abcd，平面acfe平面abcdac，bc平面abcd，bc平面acfe.(2)以c为原点，分别以直线ca，cb，cf为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系令fm(0)，则c(0，0,0)，a(，0,0)，b(0，1,0)，m(，0,1)，(，1,0)，(，1,1)设n1(x，y，z)为平面mab的法向量，由得取x1，则平面m

17、ab的一个法向量为n1(1，)n2(1,0,0)是平面fcb的一个法向量，cos.0，当0时，cos有最小值，当时，cos有最大值.cos.22(本小题满分12分)如图，已知矩形abcd所在平面垂直于直角梯形abpe所在平面于直线ab，且abbp2，adae1，aeab，且aebp.(1)设点m为棱pd的中点，求证：em平面abcd；(2)线段pd上是否存在一点n，使得直线bn与平面pcd所成角的正弦值为？若存在，试确定点n的位置；若不存在，请说明理由解(1)证明：因为平面abcd平面abpe，且bcab，所以bc平面abpe，所以ba，bp，bc两两垂直以b为原点，的方向分别为x轴、y轴 、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则p(0,2,0)，d(2,0,1)，m，e(2,1,0)，c(0,0,1)，所以.易知平面abcd的一个法向量为n(0,1,0)，所以·n·(0,1,0)0，所以n.又e