2020高中数学三视图表面积体积的综合应用导学案北师大版必修2通用

1、第14课时三视图、表面积、体积的综合应用 1.熟悉常见几何体的三视图,能将三视图还原为几何体.2.能熟练应用常见几何体的体积、表面积公式求其体积和表面积.3.能进行简单的球的外接或内切几何体的计算.同学们,通过前面几节课的学习,我们会画一个几何体的三视图,也会画一个几何体的直观图,又学习了简单几何体和简单组合体的表面积和体积公式,那么把所有的知识串联起来呢?这节课我们就一起来探究解决它们之间的综合性问题,首先我们来巩固一下有关的知识.问题1:根据下面表格中的已知条件完成填空或绘图.几何体直观图主(正)视图左(侧)视图俯视图三棱柱长方体三棱锥圆锥圆台问题2:常见几何体的侧面积、表面积公式1.柱体

2、、锥体、台体的侧面积就是各侧面面积之和,表面积是各个面的面积之和,即侧面积与底面积之和. 2.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形,称为它的展开图,它的表面积就是展开图的面积. 3.圆柱的侧面积公式是s柱侧=2rl,表面积公式是s柱=2r(r+l);圆锥的侧面积公式是s锥侧=rl,表面积公式是s锥=r(r+l);圆台的侧面积公式是s台侧=(r+r')l,表面积公式是s台=(r'2+r2+r'l+rl). 4.半径为r的球的表面积为4r2. 问题3:常见几何体的体积公式1.长方体的体积公式是v=abc,正方体的体积公式是v=a3

3、,圆柱的体积公式是v=r2h.所有棱柱和圆柱的体积公式可以统一为v柱=sh,其中s为底面积,h为高. 2.圆锥的体积公式是v=13r2h,棱锥的体积公式是v=13sh.圆锥和棱锥的体积公式可以统一为,其中s为底面积,h为高. 3.圆台的体积公式为v=13(r'2+r'r+r2)h,棱台的体积公式为v=13(s'+s's+s)h,圆台和棱台的体积公式可以统一为v台=13(s'+s's+s)h,其中s'、s分别为上、下底的底面积,h为高.4.半径为r的球的体积为. 1.一个正方体的体积是a,表面积是2a,则a等于

4、().a.3b.6 c.27d.542.圆柱的主(正)视图是一个边长分别为2和3的矩形,则圆柱的表面积为().a.8b.212c.20d.8或2123.如图是某几何体的三视图,且主(正)视图、左(侧)视图、俯视图都是直角边长为2的等腰直角三角形,则该几何体的体积为. 4.已知六棱柱abcdef-a1b1c1d1e1f1的侧棱与底面垂直,且底面为正六边形,对角面的面积为s,求六棱柱的侧面积.三视图与表面积、体积的综合应用若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于cm3. 几何体侧面展开问题如图所示,在正三棱柱abc-a1b1c1中,ab=2,aa1=2,从

5、顶点b沿棱柱侧面(经过棱aa1)到达顶点c1,与aa1的交点记为m.求:(1)正三棱柱侧面展开图的对角线长;(2)从b经过m到c1的最短路线长及此时a1mam的值.球的外接与内切几何体已知正方体的棱长为a,求正方体的外接球的表面积和内切球的体积.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().a.83b.3c.103d.6如图,侧棱长为23的正三棱锥v-abc中,avb=bvc=cva=40°,过a作截面aef,则截面aef的周长的最小值为. 一个棱长都为a的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上,则该球的表面积为().a.73a2b.2a2c.114a2d.43a21

6、.设正六棱锥的底面边长为1,侧棱长为5,则它的体积是().a.63b.3c.23d.22.若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°,半径为l的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积的比是().a.32b.21c.43d.533.有一个几何体的三视图及其尺寸如图,则该几何体的表面积为. 4.求边长为2的正方形以过对边中点所在直线为旋转轴,旋转所成几何体的表面积.(2020年·重庆卷)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().a.5603b.5803c.200d.240考题变式(我来改编):第14课时三视图、表面积、体积的综合应用 知识体系梳理问题2:1.各侧面面积各个

7、面的面积2.展开图3.2rl2r(r+l)rlr(r+l)4.4r2问题3:1.v=abcv=a3v=r2hv柱=sh2.v锥=13sh4.43r3基础学习交流1.c设正方体的棱长为m,则m3=a,6m2=2a,解得m=3,a=27.2.d圆柱的正(主)视图是矩形,则该矩形的两边分别是底面直径和母线,所以有两种情形:一是r=1,l=3,此时表面积为s=2×1×3+2×12=8;二是r=32,l=2,此时表面积为s=2×32×2+2×(32)2=212.3.43作出该几何体的直观图,可发现是该几何体是个三棱锥,易求得底面积为2,高为2,

8、所以体积为43.4.解:设棱柱的底面边长为a,高为h.由题意可知2ah=s,故s侧=6ah=3×2ah=3s.重点难点探究探究一:【解析】此三视图所表示的几何体由一个直三棱柱截去一个三棱锥所得,故其体积v=12×3×4×5-13×12×3×4×3=24(cm3).【答案】24【小结】根据三视图正确地还原几何体是解决问题的关键,常见三视图的特征与几何体的对应关系如下:一般地,棱柱的三视图为两个平行四边形、一个多边形;棱锥的三视图为两个三角形、一个多边形;棱台的三视图为两个梯形,一个多边形;圆柱的三视图为两个矩形、一个

9、圆;圆锥的三视图为两个三角形、一个圆;圆台的三视图为两个等腰梯形、一个圆;球的三视图为三个圆.探究二:【解析】沿侧棱bb1将正三棱柱的侧面展开,得到一个矩形bb1b1'b'(如图).(1)矩形bb1b1'b1的长为bb'=6,宽为bb1=2,所以正三棱柱侧面展开图的对角线长为62+22=210.(2)由侧面展开图可知:当b,m,c1三点共线时,从b经过m到达c1的路线最短.所以最短路线长为bc1=42+22=25.显然rtabmrta1c1m,所以a1m=am,即a1mam=1.所以从b经过m到c1的最短路线长为25,此时a1mam的值为1.【小结】几何体面上线

10、段的最值问题,一般转化为侧面展开图问题解决,处理这类问题的过程中注意体会立体问题平面化的思想.探究三:【解析】由正方体的对称性可知:正方体的外接球的半径为22a,s外接球=4×(22a)2=2a2,内切球的半径为正方体的中心到面的距离,即r=a2,v内切球=43(a2)3=16a3.问题求正方体的外接球半径是否正确?结论不正确,错误之处在于把正方体的面对角线当成了外接球直径,事实上外接球半径为正方体体对角线长的一半,即r=32a,s外接球=4(32a)2=3a2.【小结】球的外接与内切几何体常与长方体结合考查,长方体的体对角线为外接球的直径,注意内切球的直径为正方体边长的一半.球的外

11、接与内切其他几何体问题也常转化为长方体问题解决.思维拓展应用应用一:b由题意,画出几何体的直观图(如图),利用对称性补形,可转化为高为6的半圆柱体,则所求几何体的体积为12×(×12×6)=3.故选b.应用二:6沿着侧棱va把正三棱锥v-abc展开在一个平面内,如图.则aa'即为截面aef周长的最小值,且ava'=3×40°=120°.在vaa'中,由余弦定理可得aa'=6,故答案为6.应用三:a如图,设o1、o2为直三棱柱两底面的中心,球心o为o1o2的中点.又直三棱柱的棱长为a,可知oo1=12a,ao1=33a,设该球的半径为r,则r2=oa2=oo12+ao12=7a212,因此该直三棱柱外接球的表面积为s=4r2=4×7a212=73·a2,故选a.基础智能检测1.b正六棱锥的高是5-1=2,底面面积是12×1×32×6=332,所以体积为v=13×332×2=3,故选b.2.c设圆锥的底面半径为r,则有23l=2r,l=3r,s表s侧=r2+rlrl=r2+3r23r2=43.3.24由图可知此几何体是圆锥,r=3,l=5,h=4,所以s表=×32+