截面的几何性质PPT课件

1、1 -1 -1 截面的静矩和形心位置截面的静矩和形心位置 i i2 2 极惯性矩极惯性矩 惯性矩惯性矩 惯惯性积性积 lectures (lectures (八八) )appendix geometric properties of an area 附录附录1 1 截面的几何性质截面的几何性质 -1 static moment center of an area i2 polar inertia moment moment of inertia product of inertia2附录 截面的几何性质 -1 截面的静矩和形心位置 设任意形状截面如图所示。设任意形状截面如图所示。aysaxsa

2、xaydd1. 静矩（或面积的一次矩）静矩（或面积的一次矩）( (常用单位：常用单位： m m3 3 或或mmmm3 3 。值：可为正、负或。值：可为正、负或 0 0 。）。） 2.形心坐标公式（可由均质等厚薄板的重心坐标而得）形心坐标公式（可由均质等厚薄板的重心坐标而得）aayyaaxxaad do x d a yy xc xy3aayyaaxxaad d3. 静矩与形心坐标的关系静矩与形心坐标的关系yasxasxy 结论：截面对形心轴的静矩恒为结论：截面对形心轴的静矩恒为0，反之，亦然。，反之，亦然。4. 组合截面的静矩组合截面的静矩整个截面对某轴的静矩应等于它的各组成部分对整个截面对某轴

3、的静矩应等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和同一轴的静矩的代数和: :niiixniiiyyasxas11 形心坐标）个简单图形的面积及其分别为第和iyxaiii,(45. 组合截面的形心坐标公式组合截面的形心坐标公式yasxasxy niiixniiiyyasxas11 将将代入代入解得组合截面的形心坐标公式为：解得组合截面的形心坐标公式为：niiniiiniiniiiayayaxax1111 （注：被（注：被“减去减去”部分图形的面积应代入负值）部分图形的面积应代入负值）5例例1 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x轴轴的静矩。的静矩。 解：解

4、：取平行于取平行于x轴的狭长条，轴的狭长条，)()(yhhbyb易求yyhhbad)(d 因此所以对所以对x轴的静矩为轴的静矩为6d)(d20bhyyyhhbayshaxo x y b ( y ) y d y h b aysaxd6 例例2 2求图示半径为求图示半径为r r的半圆形对其直径轴的半圆形对其直径轴x x的静矩及其形心坐标的静矩及其形心坐标y yc c。 ocrxydaycydy解：过圆心解：过圆心o o作与作与x x轴垂直的轴垂直的y y轴，在距轴，在距x x任意高度任意高度y y处取一个与处取一个与x x轴轴平行的窄条，平行的窄条，ydyrad2223022322ryd)yr(

5、yadysrax3423223r/r/rasyxc 方法方法1：直接积分法：直接积分法简单图形简单图形7 解：将此图形分成解：将此图形分成i i、iiii、iiiiii三部三部分，以图形的铅垂对称轴为分，以图形的铅垂对称轴为y y轴，过轴，过iiii、iiiiii的形心且与的形心且与y y轴垂直的轴线取轴垂直的轴线取为为x x轴，则轴，则例例3 3 求图示图形的形心。求图示图形的形心。150ycxox1y120010yc300iiiiii10mm8 .38)30010(2102000)30010(2)1505 ()10200(iiiayaycc由于对称知：由于对称知： x xc c=0=0mm

6、0mm95)905(mm300030010 23 , 222yxa矩形矩形i i矩形矩形iiii、iiiiiimm15551500mm200020010 1121yxa8例例4 试计算图示截面形心试计算图示截面形心c的位置。的位置。解：将截面分为解：将截面分为i、ii两个矩形。两个矩形。建立坐标系如图示。建立坐标系如图示。各矩形的面积和形心坐标如下：各矩形的面积和形心坐标如下：mm602120mm5210mm120012010 1121yxamm5210mm4527010mm7007010 2222yxao x y y1 120 10 x x 80 10 y c ( y , x ) 矩形矩形i

7、矩形矩形ii9代入组合截面的形心坐标公式代入组合截面的形心坐标公式21212121 iiiiiiiiiiayayaxax解得：解得：mm40mm20yx 方法方法2：分组叠加法：分组叠加法 o x y y1 120 10 x x 80 10 y c ( y , x ) 矩形矩形i a a1 1=70=70 110=7700mm110=7700mm2 2x x1 1=45mm, =45mm, y y1 1=65mm=65mm矩形矩形ii a a2 2=80=80 120=9600mm120=9600mm2 2x x1 1=40mm, =40mm, y y1 1=60mm=60mmmm40mm20

8、yx 方法方法3：负面积法：负面积法10 i2 极惯性矩 惯性矩 惯性积 设任意形状截面如图所示。设任意形状截面如图所示。1.1.极惯性矩（或截面极惯性矩（或截面二次极矩）二次极矩）aiad2p2.惯性矩（或截面二次惯性矩（或截面二次轴矩）轴矩）ayiaxiaxaydd22（为正值，单位（为正值，单位m4 或或 mm4)222xy 由于所以所以iiaxyaiyxaad)(d222p（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。） o x y y x d a 113. 惯性积惯性积

9、axyiaxyd（其值可为正、负或（其值可为正、负或0，单位单位:m4 或或 mm4)（3 3）惯性半径）惯性半径aiiaiixxyy（单位（单位m 或或 mm）o x y y x d a （1 1）若图形有一个对称轴，则图形对包含此对称）若图形有一个对称轴，则图形对包含此对称轴的一对正交轴的惯性积为轴的一对正交轴的惯性积为零零；（2 2）惯性矩、惯性积和极惯性矩均为）惯性矩、惯性积和极惯性矩均为面积的二次矩面积的二次矩 特点特点12例例5 5 试计算图试计算图a所示矩形截面对于其对称轴（即形心所示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）轴）x和和y的惯性矩和惯性积。的惯性矩和惯性积。 解：解：取平行

10、于取平行于x轴的狭长条，轴的狭长条，则则 da=b dy12dd32222bhybyayihhax同理同理123hbiyy h c x d y y b (a) 因为因为x x、y y轴皆为对称轴，故轴皆为对称轴，故i ixyxy=0=013例例6 试计算图示圆截面对于其形心轴（即直径轴）的试计算图示圆截面对于其形心轴（即直径轴）的惯性矩。惯性矩。 xdy yx解：解：由于圆截面有极对称性，由于圆截面有极对称性，iiyx所以所以iiiyxp由于所以所以6424pdiiiyxayiaxd2ydyrad222dyy2/2/2222ddxdyyryi644d14-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组合

11、截面的惯性矩和惯性积1.1.惯性矩和惯性积的平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式 1.1.公式推导公式推导oxycdaxcycabyxxcycaaiaayaaiaaayaayaayayiccxcxaacacacax2222222dd2dddaaii2xxc abii2yyc 同同理理：y=yy=yc c+a+ax=xx=xc c+b+b15 b b和和a a是图形的形心是图形的形心c c在在oxyoxy坐标系中的坐标，所以它们是有坐标系中的坐标，所以它们是有正负的。正负的。3.3.注意注意： x xc c、y yc c轴是形心轴，在所有的平行轴中，图形对形心轴轴是形心轴，在所有的平行轴中，

12、图形对形心轴的惯性矩最小；的惯性矩最小；2.平行移轴公式平行移轴公式abaiiabiiaaiiccccyxxyyyxx22n1iin1iin1iixyxyyyxxiiiiii，二、组合图形的惯性矩：二、组合图形的惯性矩：组合截面对于某轴的惯性矩（或惯性积）等于其组合截面对于某轴的惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一轴的惯性矩（或惯性积）之和各组成部分对于同一轴的惯性矩（或惯性积）之和16例例7 7 求图示直径为求图示直径为d d的半圆对其自身形心轴的半圆对其自身形心轴x xc c的惯性矩的惯性矩解：解：（1）求形心坐标）求形心坐标222)(yryb12d2d)(d3222020dyyry

13、yybyaysddax3281223dddasyxcxyb(y)yc cdxc 17（2）求对形心轴）求对形心轴xc的的惯性矩惯性矩12826444ddix181288)(4422dddyiicxxc由由平行移轴公式得：平行移轴公式得： xyb(y)yc cdxc 18noimage例例8 试求图试求图a 所示截面对于对称轴所示截面对于对称轴x的的惯性矩。惯性矩。解：将截面看作一个矩形和解：将截面看作一个矩形和两个半圆组成。两个半圆组成。（1）矩形对）矩形对x的的惯性矩：惯性矩：44331mm1053331220080122adix（2）一个半圆对其自身形）一个半圆对其自身形心轴心轴xc的的惯

14、性矩（见上例）惯性矩（见上例）181288)(4422dddyiicxxcx y c (a) d =80 40 100 a =100 40 a + 2d 3 19（3）一个半圆对）一个半圆对x的的惯性矩：惯性矩：由由平行移轴公式得：平行移轴公式得：44222222mm103467322324832adaddddaiicxx（4）整个截面对于对称轴）整个截面对于对称轴x的的惯性矩：惯性矩： 444421mm101227010346721053332xxxiii20问题？问题？x y c (a) d =80 40 100 a =100 40 a + 2d 3 x x1 182212daiixx每个

15、组合图形的形心惯性矩对每个组合图形的形心惯性矩对新坐标的惯性矩的代数和！新坐标的惯性矩的代数和！注意：注意：21思考思考 2.2.已知矩形截面对已知矩形截面对x x1 1轴的惯性矩轴的惯性矩i ix1x1=bh=bh3 3/3/3， x x2 2与与x x1 1轴平行，二者之间的距离为轴平行，二者之间的距离为a a，求矩形截面对轴求矩形截面对轴x x2 2的惯性矩。的惯性矩。y h c x2 b x1 a解法一：解法一：直接用直接用ixc计算对计算对x2轴的惯性矩轴的惯性矩123bhixc22haaxca2 bhhabhaaiixcx23222)2(12)33(32abahhbhaayaaia

16、ayayicxaax212222dd1解法二：解法二：用平行移轴定理用平行移轴定理bhabhhabh23)2(23作业：作业：i-1d i-3a 22yy1y0c0caz0 x23-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩1.1.惯性矩和惯性积的转轴公式惯性矩和惯性积的转轴公式 任意面元任意面元da 在旧坐标系在旧坐标系oxy和新坐标系和新坐标系ox1y1的关系为：的关系为：sincossincos11xyyyxx代入代入惯性矩惯性矩的定义式：的定义式：ayiaxd211day1x1y1x1 yx debacoxy24cossin2sincos dcossin2 dsindcos

17、2222221xyyxaaaxiiiaxyaxayi 利用二倍角函数代入上式，得利用二倍角函数代入上式，得转轴公式转轴公式 ：2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111xyyxyxxyyxyxyxyyxyxxiiiiiiiiiiiiiiii25注：注：上式中的上式中的 的符号为：从旧轴的符号为：从旧轴x至新轴至新轴x1逆时逆时针为正，顺时针为负。针为正，顺时针为负。yxyxiiii11（上式表明，截面对于通过同一点的任意一对（上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数，相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯

18、性矩并等于截面对该坐标原点的极惯性矩 ）将前两式相加得将前两式相加得 26 由惯性积的转轴公式可知，当坐标轴旋转时，由惯性积的转轴公式可知，当坐标轴旋转时，惯性积将随着惯性积将随着 角作周期性变化，且有正有负。因此，角作周期性变化，且有正有负。因此，必有一特定的角度必有一特定的角度 0，使截面对于新坐标轴，使截面对于新坐标轴x0、y0的的惯性积等于零。惯性积等于零。2.2.截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩(1) 主惯性轴主惯性轴: :截面对其惯性积等于截面对其惯性积等于0的一对坐标轴。的一对坐标轴。(2) 主惯性矩主惯性矩: :截面对于主惯性轴的惯性矩。截面对于主惯性轴的惯性矩

19、。(3) 形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时。形心重合时。(4) 形心主惯性矩形心主惯性矩: :截面对于形心主惯性轴的惯性矩。截面对于形心主惯性轴的惯性矩。27(5)确定确定主惯性轴主惯性轴的位置的位置 设设 0 0是旧轴是旧轴x 逆时针转向逆时针转向主惯性主惯性轴轴x0的角度，则的角度，则由由惯性积的转轴公式及主惯性轴的定义，得惯性积的转轴公式及主惯性轴的定义，得02cos2sin200 xyyxiii可改写为可改写为yxxyiii22tan0（注：将负号置于分子上有利于确定（注：将负号置于分子上有利于确定2 0 0角的象限）角的象

20、限）28(6) 几个结论几个结论若截面有一根对称轴，则此轴即为形心若截面有一根对称轴，则此轴即为形心主主惯性轴之一，另一惯性轴之一，另一形心形心主惯性轴为通过形心主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。并与对称轴垂直的轴。若若截面有二根对称轴，则此二轴即为形截面有二根对称轴，则此二轴即为形心心主惯性轴。主惯性轴。 若若截面有三根对称轴，则通过形心的任一截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心轴均为形心主惯性轴，且主惯性矩相等。主惯性轴，且主惯性矩相等。 2912010101070例例i-7 计算图示截面的形心主轴和形心主惯性矩计算图示截面的形心主轴和形心主惯性矩iiiiiiicxyy0 x0 0图形的对称中心图形的对称中心c为形心，在为形心，在c点建立坐标点建立坐标系系xcy如图如图将整个图形分成将整个图形分成i、ii、iii三个矩形，如图三个矩形，如图整个图形对整个图形对x、y轴的惯性矩和惯性积分别轴的惯性矩和惯性积分别为为ii