最新高中数学-专题4.4专题突破高考中的圆锥曲线问题-2017年全国高考数学考前复习大串讲Word版含解析

1、题型一求圆锥曲线的标准方程例1(2015·天津变式)已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点为f(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方程为_.【答案】x21【思维升华】求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程.【跟踪训练1】(2014·课标全国)已知点a(0，2)，椭圆e：1(a>b>0)的离心率为， f是椭圆e的右焦点，直线af的斜率为，o为坐标原点.(1)求e的方程；(2)设过点a的动直线l与e相交于p，q两点，当opq的面积最大时，求l的方程.【解析】(1)设f(c,

2、0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故e的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，p(x1，y1)，q(x2，y2)，将ykx2代入y21得(14k2)x216kx120.当16(4k23)>0，即k2>时，x1,2.从而pq|x1x2|.题型二圆锥曲线的几何性质例2(1)(2015·湖南变式)若双曲线1的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为_.a. b. c. d.(2)已知双曲线c：1 (a>0，b>0)，p为x轴上一动点，经过点p的直线y2xm (m0)与双曲线c有且只有一个交点，则双曲线c的离心率为_.【答

3、案】(1)(2)【解析】(1)由条件知yx过点(3，4)，4，即3b4a，9b216a2，9c29a216a2，25a29c2，e.(2)由双曲线的方程可知：渐近线方程为y±x.经过p的直线y2xm (m0)与双曲线c有且只有一个交点，此直线与渐近线yx平行，2.e .【思维升华】圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系.掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力.【跟踪训练2】(2014·北京)已知椭圆c：x22y24.(1)求椭圆c的离心率；(2)设o为原点，若点a在

4、椭圆c上，点b在直线y2上，且oaob，试判断直线ab与圆x2y22的位置关系，并证明你的结论.【解析】故d .此时直线ab与圆x2y22相切.综上，直线ab与圆x2y22相切. 题型三最值问题例3设椭圆m：1 (a>b>0)的离心率为，长轴长为6，设过右焦点f倾斜角为的直线交椭圆m于a，b两点.(1)求椭圆m的方程；(2)求证：ab；(3)设过右焦点f且与直线ab垂直的直线交椭圆m于c，d，求abcd的最小值. (3)解过右焦点f且与直线ab垂直的直线交椭圆m于c，d，同理可得cd，所以abcd.因为sin 20,1，所以当且仅当sin 21时，abcd有最小值是8.【思维升华】

5、圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值.【跟踪训练3】(2015·课标全国)已知f是双曲线c：x21的右焦点，p是c的左支上一点，a(0，6).当apf周长最小时，该三角形的面积为_.【答案】12【解析】设左焦点为f1，pfpf12a2，pf2pf1，apf的周长为afappfafap2pf1，apf周长最小即为appf1最小，当a、p、f1三点共线时最小，过af1的直线方程为1.与x21联立，解得

6、p点坐标为(2,2)，此时ssaf1fsf1pf12.题型四定值、定点问题例4(2015·课标全国 )已知椭圆c：9x2y2m2(m0)，直线l不过原点o且不平行于坐标轴，l与c有两个交点a，b，线段ab的中点为m.(1)证明：直线om的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点，延长线段om与c交于点p，四边形oapb能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由.【解析】【思维升华】求定点及定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.【跟踪训练4】椭圆c：1(a>b

7、>0)的离心率e ，ab3.(1)求椭圆c的方程；(2)如图所示，a、b、d是椭圆c的顶点，p是椭圆c上除顶点外的任意一点，直线dp交x轴于点n，直线ad交bp于点m，设bp的斜率为k，mn的斜率为m.证明：2mk为定值.【解析】题型五探索性问题例5(2015·广东)已知过原点的动直线l与圆c1：x2y26x50相交于不同的两点a，b.(1)求圆c1的圆心坐标；(2)求线段ab的中点m的轨迹c的方程；(3)是否存在实数k，使得直线l：yk(x4)与曲线c只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.【解析】 (3)由题意知直线l表示过定点(4,0)，斜率为k的直线

8、，把直线l的方程代入轨迹c的方程x23xy20，其中<x3，化简得(k21)x2(38k2)x16k20，其中<x3，记f(x)(k21)x2(38k2)x16k2，其中<x3.若直线l与曲线c只有一个交点，令f(x)0.当0时，解得k2，即k±，此时方程可化为25x2120x1440，即(5x12)20，解得x，k±满足条件.当>0时，【思维升华】(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或

9、参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.【跟踪训练5】 (2014·湖南)如图，o为坐标原点，双曲线c1：1(a1>0，b1>0)和椭圆c2：1(a2>b2>0)均过点p(，1)，且以c1的两个顶点和c2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求c1，c2的方程；(2)是否存在直线l，使得l与c1交于a，b两点，与c2只有一个公共点，且|？证明你的结论. 【解析】(1)设c2的焦距为2c2，由题意知，2c22,2a12.从而a11，c21.因为点p(，1)在双曲线x21上，所以()21.故b3.由椭圆的定义知2a2 2.于是a2，bac2.故c1，c2的方程分别为x21，1.于是y1y2k2x1x2km(x1x2)m2.由得(2k23)x2