完整版对勾函数详细解析总结

1、对勾函数的性质及应用一、 对勾函数yaxb (a 0,b 0) 的图像与性x质：1.定义域： (,0)(0,)2.值域： (, 2ab 2ab ,)3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即f (x)f ( x)04. 图像在一、三象限 ,当 xb2 ab （当且仅当 xb 取等号），0 时， y axxa即 f ( x) 在 x=b 时，取最小值 2 aba由奇函数性质知：当 x<0 时， f (x) 在 x=b 时，取最大值 2 aba5. 单调性：增区间为（b ,），（,b）, 减区间是（ 0， b ），（b,0 ）aaaa二、 对勾函

2、数的变形形式类型一：函数 y ax b (a0, b 0) 的图像与性x质1. 定义域： (,0)(0,)2. 值域： (, 2 ab 2ab ,)3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状 .4.图像在二、四象限 , 当 x<0 时， f ( x) 在 x= b 时，取最小值 2ab ；当 x0 时，af ( x) 在 x=b 时，取最大值 2 aba5. 单调性：增区间为（ 0， b ），（b ,0 ）减区间是（b , ），（,b ）,aaaa类型二： 斜勾函数 yaxb ( ab 0)x a 0,b 0 作图如下1. 定义域： (,0)(0,) 2. 值域： r3. 奇偶

3、性：奇函数 4. 图像在二、四象限，无最大值也无最小值 .5. 单调性：增区间为（ - ，0），（0，+ ）. a 0,b 0 作图如下：1. 定义域： (,0)(0,) 2. 值域： r3. 奇偶性：奇函数4. 图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5. 单调性：减区间为（ -，0），（0，+）.类型三： 函数 f ( x)ax 2bxc (ac 0) 。x此类函数可变形为 f ( x)axcc上下平移得到b ，可由对勾函数 y axxx练习 1. 函数 f ( x)x 2x 1 的对称中心为x类型四： 函数 f (x)xa(a0, k0)xk此类函数可变形为 f (x)( xka)k ，则

4、 f ( x) 可由对勾函数 yxa 左右平移，xkx上下平移得到练习 1. 作函数 f ( x)x1与 f ( x)x3xxx 的草图222.求函数 f (x)x1在 (2,) 上的最低点坐标2x43.求函数 f (x)xx的单调区间及对称中心x1类型五：函数 f (x)ax(a 0,b 0) 。此类 函数定义域为r ，且可变形 为2xbf ( x)aa2bbxxxxa. 若 a0 ，图像如下：1 定义域：( , ) 2.值域： a1, a12b2b3. 奇偶性：奇函数 . 4.图像在一、三象限 . 当 x0 时， f ( x) 在 xb 时，取最大值 a，当 x<0 时， f ( x

5、) 在 x=b 时，取最小值a2 b2 b5.单调性：减区间为（b,），（,b ）；增区间是 b,b练习 1. 函数f ( x)2x1 的在区间 2,上的值域为xb. 若 a 0 ，作出函数图像：1 定 义 域 ： (, )2. 值 域 ：1, a13.奇偶性：奇函数 . a2 b2b4. 图像在一、三象限 .当 x 0 时， f ( x) 在 xb时，取最小值a，2b当 x<0 时， f ( x) 在 x=b 时，取最大值a2b5. 单调性：增区间为（b,），（,b ）；减区间是 b, b练习 1. 如 a2xx1,2，则的取值范围是1x24类型 六 ： 函 数f ( x)ax2 bx

6、 c (a 0). 可 变 形 为x mf (x)a(x m)2s(x m) ta(x m)ts(at0) ，x mx m则f ( x)可由对勾函数yaxt左右平移，上下平移得到x练习 1. 函数 f (x)x2x 1 由对勾函数 yx1 向（填“左”、“右”）平x1x移单位，向（填“上”、“下”）平移单位 .2.已知 x1，求函数 f ( x)x2 7x 10的最小值；x13.29 的最大值已知 x1 ，求函数 f ( x)x9xx 1类型七： 函数 f ( x)x m(a0)ax2bxc练习 1. 求函数 f (x)x2x 1在区间 (1, ) 上的最大值；若区间改为 4,) 则 f (x

7、) 的x2最大值为2.求函数 f ( x)x22 x3 在区间 0,) 上的最大值x 2x 2类型八： 函数 f ( x)x bx a. 此类函数可变形为标准形式：f ( x)x a b ax ab a (b a 0)x ax a练习 1. 求函数 f (x)x 3 的最小值；x 12求函数 f (x)x5 的值域；x13. 求函数 f ( x)x 2 的值域x 3类型九： 函数 f (x)x2 b (a 0)。此类函数可变形为标准形式：x2a( x2a)2b a2baf (x)x2x ax2(b a o)aa练习 1. 求函数 f ( x)x25 的最小值；x242. 求函数 f (x)x2

8、1 的值域x217三、关于求函数yx1 x 0 最小值的十种解法x1. 均值不等式x 0 ， yx12 ，当且仅当 x1 ，即 x1 的时候不等式取到 “=”。 当 x 1xx的时候， ymin22. 法y x1x2yx1 0x若 y 的最小值存在，则y 240 必需存在，即 y2或 y2 （舍）找到使 y2 时，存在相应的 x 即可。通过观察当 x1 的时候， ymin 23. 单调性定义设 0 x1x2f x1 f x2111x1x1 x21x1 x 2x 2x1 x 2 1x 2x1x1x 2x1x 2当对于任意的x1 ,x 2 ，只有 x1 , x 20,1 时， f x1fx20 ，

9、此时 f x 单调递增；当对于任意的x1 ,x 2 ，只有 x1 , x 21,时， f x1f x20 ，此时 f x 单调递减。当 x1取到最小值， yminf 124. 复合函数的单调性12y x1x2xxtx1 在 0,单调递增， yt 22 在,0 单调递减；在 0,单调递增x又x0,1t,0x1,t0,原函数在 0,1 上单调递减；在 1,上单调递增即当 x1取到最小值，yminf 125. 求一阶导yx1y '11当 x0,1 时， y '0 ，函数单调递减；当 x 1,时，xx2y'0，函数单调递增。当 x1取到最小值， yminf 126. 三角代换令

10、 xtan ，0,，则21tan2y xcotxsin 21cotx0,20,2当，即 2时， sin 2max1 ， ymin2 ，显然此时 x1427. 向量y x1x 111 a b ， ax, 1, b 1,1xxxa bab cos2 a cos根据图象， a 为起点在原点，终点在y1x0 图象上的一个向量，a cos的x几何意义为 a 在 b 上的投影，显然当 ab 时， a cos取得最小值。此时，x1， ymin2228图象相减yx1x1，即y 表示函数yx 和y1两者之间的距离xxx求 ymin ，即为求两曲线竖直距离的最小值平移直线 yx ，显然当 y x 与 y1 相切时

11、，两曲线竖直距离最小。x1 关于直线yx轴对称，若y x与y1 在x处有一交点，根据对称yx1x1 相交。显然不是距离性，在 0 x1 处也必有一个交点，即此时yx 与 yx最小的情况。所以，切点一定为1, 1 点。此时， x1， ymin29. 平面几何依 据 直 角 三 角 形 射 影 定 理 ， 设 ae x, eb1 ， 则1xab adxx显然， x1 为菱形的一条边， 只用当 adab ，即 ad 为直线x1 取得最小值。即四边形 abcd 为ab 和 cd 之间的距离时， xx矩形。此时， x1 ，即 x1 ， ymin2x10. 对应法则设 f x min tf x2x21x2

12、x0,， x 20,，对应法则也相同fx 2mintf xx1f 2 xx2 12xx 2左边的最小值右边的最小值t 2t 2 t1当xp x2，即 x1时取到最小值，（舍）或 t 2且 ymin 2对勾函数练习：1若 x>1.求 yx1x1的最小值 . 11.若2tatt22 在 t0,2 上恒成立，t9则 a 的取值范围是2. 若 x>1.求 yx22x2 的最小值12.求函数 f x x116xx 1 的x1xx21最值。3. 若 x>1.求 yx2x1 的最小值13.当 x(0，1)时，求 f ( x)2 x的值域x14 x14. 若 x>0.求 y 3x2 的最小值 14.求 f ( x) x 2xx21的值域xx35. 已知函数 yx 22x a ( x 1, )x（1） 求 a1 时，求 f ( x)的最小值2(2) 若对任意 x1,+ ,f(