初中数学圆的基本概念和性质知识点、经典例题及练习题

1、教育学科教师讲义讲义编号：GE ZBM副校长 / 组长签字：签字日期：学员编号：年级：课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题圆的基本概念和性质授课日期及时段教学目的重 难 点【考纲说明】1、理解圆及其有关概念，知道圆的对称性，了解弧弦圆心角的关系。2、了解圆周角与圆心角的关系，了解直径所对的圆周角是直角，会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论。3、本部分在中考中占5 分左右。【知识梳理】1. 圆的基本概念定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。固定点O叫做圆心；线段OA叫做半径；圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长( 半径 r

2、) ；反之，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（另一定义）；以 O为圆心的圆，记作“ O ”，读作“圆 O”2. 圆的对称性及特性：(1) 圆是轴对称图形 , 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线, 它有无数条对称轴 ;(2) 圆也是中心对称图形 , 它的对称中心就是圆心 .OA(3) 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度, 都能与原来的图形重合. 这是圆特有的一个性质: 圆的旋转不变性3. 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。4. 直径：经过圆心的弦叫直径。注：圆中有无数条直径DBC5. 圆弧：O(1) 圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧”A1以 A,B 两点为端点的弧. 记作 AB , 读

3、作“弧AB” .(2) 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。如弧AD.(3) 小于半圆的弧叫做劣弧 , 如记作 AB ( 用两个字母 ).(4) 大于半圆的弧叫做优弧 , 如记作 ACB ( 用三个字母 ).6. 垂径定理及其推论 :（ 1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；（ 2）推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。垂径定理归纳为：一条直线，如果具有：经过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。这五条中可以“知二推三”7. 垂径定理的推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等.8. 圆心角：顶

4、点在圆心的角叫圆心角；9. 圆周角：顶点在圆上 , 并且两边都与圆相交的角 , 叫做圆周角；10. 弦心距：过圆心作弦的垂线 , 圆心与垂足之间的距离 .11. 弧弦圆心角之间的关系（ 1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。（ 2）在同圆或等圆中 , 如果两个圆心角 , 两条弧 , 两条弦 , 两条弦心距 , 如果有一组量相等 , 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 .12. 圆周角定理及其推论（ 1）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半；（ 2）圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 度的圆周角所对的

5、弦是直径。【经典例题】【例 1】下列判断中正确的是（）A.平分弦的直线垂直于弦B.平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C. 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦【例 2】如果两条弦相等，那么（）A这两条弦所对的弧相等B这两条弦所对的圆心角相等C这两条弦的弦心距相等D以上答案都不对【例 3】如图，已知AB为 O的直径， E 20°， DBC 50°，则 CBE _2【例 4】（ 08 山东滨州）如图所示，AB 是 O的直径， AD=DE， AE与 BD交于点C，则图中与 BCE相等的角有（）A. 2个 B.3个 C.4个D.5个EDCABO

6、【例 5】如图， AB 是 O的直径， CD 是 O的弦，连接 AC，AD ，若CAB35 ，则 ADC的度数为CABOD【例 6】（ 08 年江苏南京）如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台【例 7】（ 2007 重庆市）已知，如图：AB为 O的直径， AB AC，BC交 O于点 D，AC交 O于点 E， BAC 450。给出以下五个结论：EBC 22.5 0 ，； BDDC； AE2EC；劣弧 AE 是劣弧 DE 的 2 倍； AE BC。其中正确结论的序号是。.【例 8】（ 08辽宁沈阳）如

7、图所示，AB 是 O的一条弦，ODAB ，垂足为 C ，交 O于点D，点 E在 O上（ 1）若AOD52，求DEB 的度数；E（2）若 OC 3， OA5，求 AB 的长OACBD【例 9】（ 2007 山东德州） 如图， ABC 是 O的内接三角形，ACBC ， D为 O中 AB 上一点， 延长 DA 至点 E ，3使 CECD （1）求证： AE BD ；（2）若 ACBC ，求证： AD BD2CD 图【例 10】（ 2006 年金华市）如图，已知AB是 O的直径 , 点 C, D在 O上, 且 AB5, BC 3.(1) 求 sin BAC的值 ;(2) 如果 OE AC, 垂足为 E

8、, 求 OE的长 ;(3) 求 tan ADC的值 .( 结果保留根号 )【例 11】（ 2009 山西省太原市） 如图，AB是半圆 O的直径，点 P 从点 O出发，沿 OAABBO 的路径运动一周 设 OP为 s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与 t 之间关系的是（）【课堂练习】1. 如图，将圆沿 AB折叠后，圆弧恰好经过圆心，则等于A.60 °B.90°C.120°D.150°2.如图 AB为 O的直径， AC交 O于 E 点， BC交 O于 D点， CD=BD， C= 70 °现给出以下四个结论： A=45°；AC

9、=AB： AEBE ；2CE· AB=2BD其中正确结论的序号是ABCD3. 如图，量角器外缘边上有A，P，Q 三点， 它们所表示的读数分别是180 ， 70， 30 ，则 PAQ 的大小为 （）4A 10B 20C 30D 404.如图，在两半径不同的同心圆中，AOB A OB 60°，则（）A.B.C.的度数的度数D.的长度的长度5.如图，已知 O的弦 AB、 CD相交于点E，的度数为60°，的度数为100°，则 AEC等于（）A.60 °B.100°C.80°D.130°【课后作业】1（2013?温州）在AB

10、C 中， C 为锐角， 分别以 AB ，AC 为直径作半圆， 过点 B，A ，C 作，如图所示 若 AB=4 ，AC=2 ， S1 S2=，则 S3 S4 的值是（）AB CD 2（ 2013?滨州）如图，已知圆心角BOC=78 °，则圆周角 BAC 的度数是（）A 156°B 78°C 39°D 12°3（ 2012?黄冈）如图， AB 为 O 的直径，弦CD AB 于 E，已知 CD=12 ， BE=2 ，则 O 的直径为（）5A 8B10C16D204（ 2012?鄂州）如图OA=OB=OC 且 ACB=30 °，则 AOB 的

11、大小是（）A 40°B 50°C 60°D 70°5（2011?衢州）一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长 100m，测得圆周角ACB=45 °，则这个人工湖的直径AD为（）ABCD6（ 2012?德阳）已知AB 、CD 是 O 的两条直径，ABC=30 °，那么 BAD= （）A 45°B 60°C 90°D 30°7（ 2011?重庆）如图，O 是 ABC 的外接圆，OCB=40 °，则 A 的度数等于（）6A 60°B 50°C 40°D 30°8（ 2011?玉溪）如图，已知，AB 是 O 的直径，点C， D 在 O 上， ABC=50 °，则 D 为（）A 50°B 45°C 40°D 30°9（ 2011?台湾）如图， ABC 的外接圆上， AB ，BC ，CA 三弧的度数比为12：13：11自劣弧 BC 上取一点D，过 D分别作直线AC ，直线 AB 的平行线，且交于 E， F 两点，则 EDF 的度数为（）A 55°