塑性变形力学PPT课件

1、第二部分第二部分 金属塑性变形的物性方金属塑性变形的物性方程程 5.10 金属塑性变形过程和力学特点 5.11 塑性条件方程（屈服准则） 5.12 塑性应力应变关系（本构关系） 5.13 变形抗力曲线与加工硬化 5.14 影响变形抗力的因素第1页/共206页5.1 5.1 应力与一点的应力状态应力与一点的应力状态外力(Load)(Load)与内力(Internal force)(Internal force) 外力外力P P：指施加在变形体上的外部载荷。可以分成表面力和体积力两大类。表面力即作用于工件表面的力 ，它有集中载荷和分布载荷之分，一般由加工设备和模具提供。体积力则是作用于工件每一质点

2、上的力， 如重力、磁力、惯性力等等。 内力内力Q Q：内力是材料内部所受的力，它的产生来自于外界作用和物体内维持自身完整性的力。 第2页/共206页应力S S 是内力的集度 内力和应力均为矢量 应力的单位：1Pa=1N/m1Pa=1N/m2 2=1.0197Kgf/mm=1.0197Kgf/mm2 2 1MPa=10 1MPa=106 6N/mN/m2 2应力是某点A A的坐标的函数，即受力体内不同点的应力不同。应力是某点A A在坐标系中的方向余弦的函数，即同一点不同方位的截面上的应力是不同的。应力（应力（StressStress）：应力是单位面积上的内力）：应力是单位面积上的内力 （见右图）

3、（见右图）。其定义式为：。其定义式为：Sn=dF/dQSn=dF/dQQFSAnlim0第3页/共206页00000dPPSdFF0102020coscoscoscos1sincos sinsin2PPSFFSSPP0CCQF0C1C1S0F1NQ单向均匀拉伸时任意截面上的应力第4页/共206页一点的应力状态一点的应力状态：是指通过变形体内某点的单元体所有截面上的应力的有无、大小、方向等情况。一点的应力状态的描述一点的应力状态的描述 数值表达： x x=50MPa=50MPa， xzxz=35MPa=35MPa 图示表达：在单元体的三个正交面上标出 张量表达： (i,j=x,y,z)(i,j=

4、x,y,z) .xxyxzijyyzz5.1.2 5.1.2 一点的应力状态及应力一点的应力状态及应力张量张量第5页/共206页第6页/共206页 ijij xxxx、 xyxy、 xzxz、 yxyx、 yyyy、 yzyz、 zxzx、 zyzy、 zzzz i i应力作用面的外法线方向 jj应力分量本身作用的方向 当 i=j i=j 时为正应力 i i、j j同号为正（拉应力），异号为负（压应力） 当 ij ij 时为剪应力 i i、j j同号为正，异号为负 第7页/共206页 任意面ABC其法线的方向余弦为N（l，m，n）设微分面ABC的面积为dF，则有OBC=dFx=ldFOCA=d

5、Fy=mdFOAB=dFz=ndF设：ABC上的全应力为S，其在三个坐标轴上的分量为 xyxzzyyzzxyxxyzABCxyzSyNSOdFSxSz任意斜切微分面上的应力xsyszs第8页/共206页由静力平衡得， 0 xP0ndFmdFldFdFSzxyxxx0yP0ndFldFmdFdFSzyxyyy0zP0ldFmdFndFdFSzxzyzzmlnSnlmSnmlSyzxzzzzyxyyyzxyxxxxyxzzyyzzxyxxyzABCxyzSyNSOdFSxSz任意斜切微分面上的应力第9页/共206页TzyxSSSS,令Tinmll,iijjlS则2222zyxSSSSnlmnlmn

6、mlnSmSlSzxyzxyzyxzyx2222222 SxyzlxSySzSSjT=iijl剪应力外力全应力全应力求和约定正应力第10页/共206页在xyz中为 ijxyzjkliijlklll，k= xyzjkl为新坐标轴在原坐标系的方向余弦。3个坐轴，共9个。 ilmn元素求合约定xyzxxlXy z ),(zyxjil ljiij第11页/共206页5.2 5.2 点的应力状态分析点的应力状态分析5.2.1 5.2.1 主应力及应力张量不变量主应力及应力张量不变量5.2.2 5.2.2 主剪应力和最大剪应力主剪应力和最大剪应力5.2.3 5.2.3 八面体应力与等效应力八面体应力与等效

7、应力第12页/共206页5.2.1 5.2.1 主应力及应力张量不变量主应力及应力张量不变量 主应力主应力（Principal stressPrincipal stress ）：指作用面上无切应力时所对应的正应力，该作用面称作主平面，法线方向为主轴或主方向 该面叫做主平面，法线方向为主方向第13页/共206页 主应力：=0的作用面上的正应力为主应力。 主平面 在任意面上 iijjlSnlmnlmnmlnSmSlSzxyzxyzyxzyx2222222 S若=0，则为主应力平面，即主平面上S= nSmSlSzzyyxxnSmSlSzyxxyxzzyyzzxyxxyzSzS= ABCxyzSxSy

8、N主平面上的应力第14页/共206页iilS将代入mlnSnlmSnmlSyzxzzzzyxyyyzxyxxx0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx得l=m=n=0 其一组解为 1222nml不成立条件：系数行列式的值=0 0)()()(zyzxzzyyxyzxyxx即02)()(22222223xyzzxyyzxzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzyx展开)(1zyxJ令)(2222zxyzxyxzzyyxJ22232xyzzxyyzxzxyzxyzyxJ032213JJJ第15页/共206页例题1物体中某一点的应力张量为 解： 2100100100/10

9、010ijMN m试求主应力值及 ,(1,2,3)jJj 1()10 xyzJ2222()10 ( 10)( 10) 10 10 10 100200 xyyzzxxyyzzxJ 22232210 10 10( 10) 100 xyzxyyzzxxyzyzxzxyJ 32123320102000JJJ12320,0,10 101010-10第16页/共206页解方程组得 123)(3211J1332212J3213J232221nml由主应力表示的任意平面上的正应力和剪应力 2222zyxSSSS2232221223222221222)(nmlnmlSSyNxyxzzyyzzxyxxyzABCx

10、yzSOdFSxSz任意斜切微分面上的应力zxyxzzyyzzxyxxyzSzS= ABCxySxSyN主平面上的应力第17页/共206页nSmSlSzyx1222nml1223322222211SSS213321ss1s2s3应力椭球面第18页/共206页主应力图第19页/共206页 讨论讨论： 1. 1. 可以证明，在应力空间，主应力平面是存在的；2. 2. 三个主平面是相互正交的；3. 3. 三个主应力均为实根，不可能为虚根；4. 4. 应力特征方程的解是唯一的；5. 5. 对于给定的应力状态，应力不变量也具有唯一性; ;6. 6. 应力第一不变量I I1 1反映变形体体积变形的剧烈程

11、度，与塑性变形无关；I I3 3也与塑性变形无关；I I2 2与塑性变形无关。7. 7. 应力不变量不随坐标而改变，是点的确定性的判据。第20页/共206页5.2.2 5.2.2 主剪应力和最大剪应主剪应力和最大剪应力力 剪应力取极值的面上的剪应力称为主剪应力。 2232221223222221222)(nmlnmlS123为应力主轴 2221mln将代入上式232322312322322223212)()()()(mlml， 0l0m123123SN第21页/共206页02202232232231323123223131mmllml讨论 一组解为l=m=0，n=1，=0； 123=若球应力状

12、态，0 123 =若圆柱应力状态 则由第一式得l= 21一般情况 123若若l0，m0，则上式必有 12=主平面 与前提条件不符，故这时无解 若l=0，m0，则联解得m= 21则得此斜面的方向余弦为：l=0，m=n= 21若l 0，m=0，则联解得l = 21则得此斜面的方向余弦为：m=0， l =n= 21则得此斜面的方向余弦为：n=0， l =m= 21第22页/共206页将上述方向余弦分别代入 232221nml2232221223222221222)(nmlnmlS得 222211213313223最大剪应力面上的主应力 222211213313223最大剪应力221max主剪应力01

13、222112221122121245设021第23页/共206页01222112221122121245设021主切应力平面上的正应力第24页/共206页5.2.3 5.2.3 八面体应力与等效应力及应力莫尔八面体应力与等效应力及应力莫尔园园213232221813218)()()(3131)(31I28288P 在主应力空间中，每一卦限中均有一组与三个坐标轴成等倾角的平面，八个卦限共有八组，构成正八面体面正八面体面。八面体表面上的应力为八面体应力八面体应力。正应力正应力剪应力剪应力总应力总应力 八面体上的正应力与塑性变形无关，剪应力与塑性变形有关。第25页/共206页u 八面体应力的求解思路

14、：88321,),(zyxjiij21,II28122(3 )3II关键关键第26页/共206页等效应力等效应力)()()(21213232221e82/ 32222221()()()6()2exyyzzxxyyzzx 为了使不同应力状态具有可比性，定义了等效应力等效应力e e（Effective stress Effective stress ），也称相当应力相当应力。应变能相同的条件下或公式：公式：第27页/共206页应力莫尔圆 321以应力主轴为坐标轴，作一斜微分面，其方向为l，m，n则有 232221nml232322312322322223212)()()()(mlml1222nml

15、)()()()()()(231323221232213231212322nml通过求解上述三个方程得第28页/共206页变换形式得到 232312122232)2()()2(l213123222213)2()()2(m2212231322221)2()()2(ml以和为轴，表示上述方程的图形，便有三个圆。 O213PP213232221L、m、n分别为定值的斜微分面上的、 的变化规律第29页/共206页将l=0，m=0，n=0分别代入 232312122232)2()()2(l213123222213)2()()2(m2212231322221)2()()2(ml2322232)2()2(21

16、32213)2()2(2212221)2()2(得 第30页/共206页321 2 1yzx 3321231max maxO1 O2 O3 232221231O1：l=0，m，n变化（，）轨迹O2：m=0，l，n变化（，）轨迹O3：n=0，m，l变化（，）轨迹 第31页/共206页1. 1. 等效的实质？ n是（弹性）应变能等效（相当于）。2. 2. 什么与什么等效？ n复杂应力状态（二维和三维）与简单应力状态（一维）等效。3. 3. 如何等效？ n等效公式（注意：等效应力是标量，没有作用面）。4. 4. 等效的意义？n屈服的判别、变形能的计算、简化问题的分析等。讨论讨论第32页/共206页5

17、.3 5.3 应力张量的分解与几何表示应力张量的分解与几何表示 塑性变形时体积变化为零，只有形状变化。因此，可以把ijij（Stress tensor Stress tensor ）分解成与体积变化有关的量和形状变化有关的量。前者称为应力球张量应力球张量(Spherical stress (Spherical stress tensor) tensor) ，后者称为应力偏张量应力偏张量(Deviatoric stress tensor) (Deviatoric stress tensor) 。设m m为平均应力，则有1()3mxyz按照应力叠加原理，ijij具有可分解性。因此有()ijijmi

18、jmij ijmi j ( , , )i jx y z 式中，当i ij j时，ijij1 1；当ijij时，ijij0 0第33页/共206页100.0 10.00 1xxyxzxxyxzyyzyyzmzz,xxmyymzzm即: : 上式第一项为应力偏张量，其主轴方向与原应力张量相同；第二项为应力球张量，其任何方向都是主方向，且主应力相同。 值得一提的是，mijmij只影响体积变化，不影响形状变化，但它关系到材料塑性的充分发挥。三向压应力有利于材料塑性的发挥。第34页/共206页 应力偏张量仍然是一个二阶对称张量，同样有三个不变量，分别为 ， ， 。1I2I3I1xyz2222222xyy

19、zzxxyyzzx3ijI = + + =01I =( - ) +( - ) +( - ) +6( + + )6I = 10I 表明应力偏张量已不含平均应力成分；2I与屈服准则有关3I反映了变形的类型： 0 0表示广义拉伸变形， 0 0表示广义剪切变形，0 0表示广义压缩变形。3I3I3I第35页/共206页=+=+mmmmmmyxzyxxyxzzxzyyz123123xyzyzyxxyxzzyzxa)b)应力张量应力球张量应力偏张量应力张量的分解 任意坐标系主轴坐标系第36页/共206页根据应力偏张量可以判断变形的类型 应力状态分析a) 简单拉伸b) 拉拔c) 挤压=+-8-8-2-3-33

20、-6-6-6-2-2444-2-2-1-1-1222-26=+=+-2第37页/共206页u 讨论：讨论：分解的依据：静水压力实验证实，静水压力不会引起变形体形状的改变，只会引起体积改变，即对塑性条件无影响。为引出形状改变的偏应力张量，为引出体积改变的球张量（静水压力）。第38页/共206页5.4 5.4 应力平衡微分方程应力平衡微分方程 应力平衡微分方程应力平衡微分方程就是物体任意无限相邻两点间ijij关系，可以通过微体沿坐标轴力平衡来得到，一般应力平衡方程在不同坐标系下有不同的表达式。 直角坐标下的应力平衡微分方程* * 000 xyxxzyxyyzzyzxzxyzxyzxyz简记作0ij

21、i( , )i jx y z第39页/共206页 推导原理：推导原理： 静力平衡条件：静力平衡条件： 静力矩平衡条件：静力矩平衡条件： 泰勒级数展开：泰勒级数展开： 0, 0, 0ZYX0, 0, 0zyxMMM221( )1( )()( ).1!2!f xf xf xdxf xxxxxfxf)()(xxxdxx第40页/共206页设一点Q（x，y，z）取单元体：dx，dy，dz dzzzyzydxxxyxydyyyydzzzzdxxxxdxxxzxzdyyyxyxdyyyzyzdzzzxzxxyzyxzxzxyyzyxzyzxoQQ静力平衡状态下六面体上的应力Q点处的应力状态为 ij),(z

22、yxfx如： 在dx面上 dxxdxxfdxxfzyxfzydxxfxx22221),(),(条件是应力连续，一阶连续 第41页/共206页不计体力，在y方向上有 dzzzyzydxxxyxydyyyydzzzzdxxxxdxxxzxzdyyyxyxdyyyzyzdzzzxzxxyzyxzxzxyyzyxzyzxoQQ静力平衡状态下六面体上的应力0)()()(dxdydzzdydzdxxdxdzdyyzyzyzyxyxyxyyyy0zyxzyyxy同理： 0zyxzxyxx0zyxzyzxz0iijx简化记为 应力未知量有6个，三个方程无法求确定解。 第42页/共206页圆柱坐标下的应力平衡微

23、分方程圆柱坐标下的应力平衡微分方程球坐标下的应力平衡微分方程？球坐标下的应力平衡微分方程？ 010210)(11rzrrrzrrrzrrrzzzrzrzrrrzrrr第43页/共206页5.5 5.5 应变与位移关系方程应变与位移关系方程 物体变形时，内部各质点都在运动，质点在不同时刻所走的距离称作位移位移(Displacement) (Displacement) 。而变形则是指两点间距的变化。这种变化有绝对变形与相对变形之分。应变应变(Strain)(Strain)属相对变形，它是由位移引起的。 研究变形通常从小变形着手。小变形是指数量级不超过1010-3-31010-2-2的弹塑性变形。大

24、变形可以划分成若干小变形，由小变形叠加而来。第44页/共206页小变形分析理论一、小变形1、正应变2、剪应变231010rrxyyxABCPP1x0yx0yx0yA1A1C1C1ABCPP(P1)CB1AC1B1xyyx2A1C1yxxyyx2单元体在xoy坐标平面内的应变xrrrrx1xxrrxryryr第45页/共206页例题第46页/共206页xxrryyrrzzrrxyyxABCPP1x0yx0yx0yA1A1C1C1ABCPP(P1)CB1AC1B1xyyx2A1C1yxxyyx2单元体在xoy坐标平面内的应变xrrrrx1xxrrxryryr第47页/共206页工程剪应变xyyxx

25、y21剪应变xyyxxy设)(21yxxyyxxy则xyyxABCPP1x0yx0yx0yA1A1C1C1ABCPP(P1)CB1AC1B1xyyx2A1C1yxxyyx2单元体在xoy坐标平面内的应变xrrrrx1xxrrxryryryxxyxyrrtan第48页/共206页xyyx这时，在和中已包含了刚体转动。设刚体转动为 z则有)(21xyyxzzyxyxzxyxyyxxyxyOxy=+xyyxxy21ABCPABCPPCBAzxyxyzxy2切应变和刚性转动第49页/共206页同理 zyyzyzxzzxzx)(21)(21)(21xzzxxzzxzyyzzyyzyxxyyxxy剪应变

26、刚体转动 )(21)(21)(21xyyxzzxxzyyzzyx相对位移张量 xxyxzijyxyyzzxzyze一般情况下 yxxyzyyzxzzx ijjiee111()()()222ijijjijiijjiijjieeeeeeee000 xxyxzzyijyxyyzzxzxzyzyxe变形张量 刚体转动张量 第50页/共206页小变形几何方程 位移分量和位移增量( , , )( , , )( , , )( , , )iiuu x y zvv x y zww x y zuu x y z(,)iiiijiijuu xdx ydy zdzuudxuux x0yzM(xi) uwM1)(idxx

27、Miu1Miiuuuvw变形体内无限接近两点的位移分量及位移增量第51页/共206页iijjuudxxuuuudxdydzxyzvvvvdxdydzxyzwwwwdxdydzxyzuuududxdydzxyzvvvdvdxdydzxyzwwwdwdxdydzxyz如果MM平行于某X坐标轴uudxxvvdxxwwdxxx0yzM(xi) uwM1)(idxxMiu1Miiuuuvw第52页/共206页位移分量与应变分量的关系ccbbuudxxvvdxxuudyyyvdyyxy2xyyxd1dyuu+uc1db(x, y+dy)ubu+ubb1b2cC1C2+cdxu+b0 xy第53页/共206

28、页ccxuuuuudxdxxbbyvvvvvdydyy1 21 2tan(1)1byxbuudybbuuuyyvva bvvdyvdyyy1yvy tanyxyxuyxy2xyyxd1dyuu+uc1db(x, y+dy)ubu+ubb1b2cC1C2+cdxu+b0 xy第54页/共206页12jiijjiuuxx小变形几何方程 同理得 tanxyxyvx因而工程切应变为 xyyxyxxyuvyx则切应变为 1()2xyyxuvyx同样，单元体在可得单元体在yoz和zox 坐标平面上投影的几何关系1()21()21()2xxyyxyyzzyzzxxzuuvxyxvvwyzywwuzxziij

29、ujijiux第55页/共206页柱坐标系下几何方程：rrUr1rUUrrzzUz11()2rrrUUUrrr11()2zzzUUzr1()2rzzrrzUUzr第56页/共206页球坐标系下几何方程：UUUUUUUUUUUUUUUsin121ctg1sin121121cossinsin11 第57页/共206页 1.1.物理意义：表示位移与应变之间的关系； 2.2.位移包含变形体内质点相对位移产生的应变和变形体的刚性位移( (平动和转动）； 3.3.工程剪应变和理论剪应变 讨论讨论第58页/共206页4.4.应变符号规定： W正应变或线应变 ( );( ); 伸长为正，缩短为负；W剪应变或切

30、应变（ ）; ; 夹角减小为正，增大为负；5.5.推导中应用到小变形假设小变形假设、连续性假设连续性假设及泰勒级数泰勒级数展开展开等。,xyyzzxn第59页/共206页5.5.2 5.5.2 变形连续方程变形连续方程 如已知一点的应变，要根据几何方程确定其三个位移分量时，六个应变分量应有一定的关系，才能保证物体的连续性。这种关系为变形连续方程变形连续方程或协调方程协调方程。 从几何方程可导出以下二组变形连续方程变形连续方程。 第60页/共206页yxzyxzzxyxzyzyxzyxzxyzxyzyzxyzxyxyzxyzx222222222222222222212121zxxzyzzyxyy

31、xxzzxzyyzyxxy变形连续方程：第61页/共206页推导过程xux)()(22222yuyxxuyyxyvy)()(22222xvyxyvxxyyxxvyuyxxvyxyuyxyxxyxy222222222)()()( 第62页/共206页同理得 yxyxyzzyyxyxxyxyzyyzxyxy222222222222222212121上式表示在每个坐标平面内应变分量之间的关系 不同的坐标平面中应变之间 233xuuy zx y zx y z 寻找22332111222xyuvuvx yx zxx y zx z 22223332222221212xyxux y zx zx yvwxzx

32、yvwxzyx 2222()xyyzxxzxyyzxzx yx zx yxxzyx 第63页/共206页22()()yyxxzxzyzxyzxzx zyxzyx yzyxz 同理得 ij自动满足连续方程（6个） ij积分必须满足全微分条件，变形才是协调的 第64页/共206页讨论讨论 1.1.物理意义：表示各应变分量之间的相互关系“连续协调”即变形体在变形过程中不开裂，不堆积； 2.2.应变协调方程说明：同一平面上的三个应变分量中有两个确定，则第三个也就能确定；在三维空间内三个切应变分量如果确定，则正应变分量也就可以确定； 3.3.如果已知位移分量，则按几何方程求得的应变分量自然满足协调方程；

33、若是按其它方法求得的应变分量，则必须校验其是否满足连续性条件。 第65页/共206页5.6 5.6 点的应变状态点的应变状态xijxyyxzyzz( i, j = x, y, z ) 点的应变状态点的应变状态：指过某一点任意方向上的正应变与切应变的有无情况。可用该点截取的无限小单元体的各棱长及棱间夹角的变化来表示。表示成张量形式：第66页/共206页NMb1(xi +dxi+ui+dui)a1(xi+ui)uia(xi)b(xi+ dxi)ui+duiduir1r1=+drr0 xyz任意方向线元的应变第67页/共206页2222,dxdydzlmnrrrrdxdydz现求ab方向上的线应变

34、221222()()()()rrdrdxdudydvdzdwrdrdxdudydvdzdwrrdrdudvdwlmnrrrruuududxdydzxyzvvvdvdxdydzxyzwwwdwdxdydzxyzNMb1(xi +dxi+ui+dui)a1(xi+ui)uia(xi)b(xi+ dxi)ui+duiduir1r1=+drr0 xyz任意方向线元的应变第68页/共206页222222()()()2()rxyzxyyzzxuvwuvvwwulmnlmmnnlxyzyxzyxzlmnlmmnnlNMb1(xi +dxi+ui+dui)a1(xi+ui)uia(xi)b(xi+ dxi)u

35、i+duiduir1r1=+drr0 xyz任意方向线元的应变第69页/共206页下面求ab变形后的偏转角 r222221122()irrduNbMbNMrrr22222111iNMNbMbduMb1tanrrNMNMa Mr1rdrMbrr121122jjiiijjjjiijjiijjjijiuuuududxdxxxxxuuuudxdxxxxx12jiijijjjiuududxdxxx 222()rirdu11a Ma NrNMb1(xi +dxi+ui+dui)a1(xi+ui)uia(xi)b(xi+ dxi)ui+duiduir1r1=+drr0 xyz任意方向线元的应变第70页/共2

36、06页)(21)(21)(21xyyxzzxxzyyzzyxjijiux12yxzyxuuxxNMb1(xi +dxi+ui+dui)a1(xi+ui)uia(xi)b(xi+ dxi)ui+duiduir1r1=+drr0 xyz任意方向线元的应变第71页/共206页塑性变形体积不变条件 0Vdxdydzdxdydz1(1)(1)(1)(1)xxyyzzxyzxyzVdddd d d变形前 变形后 100 xyzVVV体积变化率 xdx第72页/共206页Poissons rationWhen an object is under tensile stress, it usually get

37、s longer and thinnernhence, there is a negative strain in the direction perpendicular to the applied stresslz/2l0 xlx/2l0z xz yz if material is isotropicsince the two strains are always of opposite sign, Poissons ratio is always positive弹性变形00.5 塑性变形=0.5 第73页/共206页主变形，应变张量，不变量，主剪应变，最大剪应变 1、主应变 ：0iji

38、i只有 xxyxzijyxyyzzxzyz其特征方程为 321230III1123212233 122231230()()2()XyzXyyzzXXyzxyyzzxXyzyzxzxyIIIr vv 应变张量不变量 第74页/共206页主剪应变 1212232331311()21()21()2rrr 方向为与主应变方向成 45max12, 23, 31maxrr r r应变莫尔圆，类似应力莫尔圆 O3OO1O2123121323221232213应变莫尔圆12312331c) 伸长类变形b) 剪切(平面)类变形a) 压缩类变形三种变形类型第75页/共206页应变偏量，球面张量，八面体应变，等效应

39、变 12311110333xyzIm（ ）= （ ）=塑性变形 00 xmxyxzmijyxymyzmijijmzxzyzmm 则 应变偏张量反映形状变化 应变球张量反映体积变化 第76页/共206页八面体应变 123222222222122331131()()()6()31()()()3xyyzzxxyyzzx 8m8（ ）=等效应变：（广义应变，应变强度） 22222222212233122()()()6()32()()()3xyyzzxxyyzzx8第77页/共206页5.7 5.7 应变增量应变增量全量应变与增量应变的概念 前面所讨论的应变是反映单元体在某一变形过程终了时的变形大小，称

40、作全量应变全量应变。而增量应变增量应变则是指变形过程中某一极短阶段的无限小应变，其度量基准不是原始尺寸，而是变形过程中某一瞬间的尺寸。第78页/共206页速度分量和速度场简记为 速度场即是位移的函数又是时间的函数 tttuutuuii),(),(),(tzyxtzyxtzyxuu),(tzyxuuii 第79页/共206页位移增量和应变增量速度分量简记位移增量可看成小应变位移，形式上与小应变几何方程相同xyzduu1p pp0dtuduttttuutuuiizduxdddydzdddxdyduddxzzxxyyzyzxy)()(21)()(21)()(21zddyddxdudzyx)()()(

41、第80页/共206页简记应变增量场d表示应变增量，不是微分号 无限小变形 123123122331,ddddI dIdI dddijjiijxudxudd)()(21xxyxzijyyzxddddddd第81页/共206页单位时间的应变 应变速度（1/s） 11()()211()()212ijijijjiijjijijiddududtxxdtu dtu dtxxdtuuxx5.8 5.8 应变速度应变速度第82页/共206页ijijddtzduxdddydzdddxdyduddxzzxxyyzyzxy)()(21)()(21)()(21zddyddxdudzyx)()()(ijijdtdxxy

42、xzijyyzz第83页/共206页例题h=100mm01/umm s 2110 xs 锤锻050009000/umm s 1(5090)xs 单向均匀压缩时的位移速度hx00u uhuxuxx0 xhuux0 第84页/共206页5.9 5.9 主应变图与变形程度表主应变图与变形程度表示示 主变形图主变形图是定性判断塑性变形类型的图示方法。主变形图只可能有三种形式：第85页/共206页 变形体内一点的主应力图与主应变图结合构成变形力变形力学图学图。它形象地反映了该点主应力、主应变有无和方向。主应力图有9 9种可能，塑性变形主应变有3 3种可能，二者组合，则有2727种可能的变形力学图。但单拉

43、、单压应力状态只可能分别对应一种变形图，所以实际变形力学图应该只有2323种组合方式种组合方式。 变形力学图变形力学图第86页/共206页第87页/共206页注意：变形程度表注意：变形程度表示示绝对变形量绝对变形量 指工件变形前后主轴方向上尺寸的变化量相对变形相对变形 指绝对变形量与原始尺寸的比值，常称为形变率真实变形量真实变形量 即变形前后尺寸比值的自然对数第88页/共206页注意：应力应变分析的相似性与差异性注意：应力应变分析的相似性与差异性mijijIIIzyxji,), (88max321321mijijJJJzyxji,), (88max321321相似性：张量表示、张量分析、张量关

44、系相似第89页/共206页v概概 念：念：应力 研究面元dsds上力的集度 应变 研究线元dldl的变化情况v内部关系：内部关系：应力应力平衡微分方程 应变应变连续（协调）方程 弹性变形：相容方程 塑性变形：体积不变条件 差异性：差异性：第90页/共206页（ 泊松比）等效应力等效应力弹性变形和塑性变形表达式相同等效应变等效应变弹性变形和塑性变形表达式不相同 对于弹性变形： 对于塑性变形：213232221)()()()1 ( 22e213232221)()()(32e等效关系：等效关系：第91页/共206页1 1应力分析应力分析 外力、内力、应力概念； 点的应力状态概念、描述方法与性质；斜面

45、应力的确定；应力张量定义；应力不变量；主应力图；应力张量分解； 应力平衡微分方程。第92页/共206页2 2应变分析应变分析 位移、位移增量、应变、几何方程； 点的应变状态概念、描述方法；任意方向上应变的确定；应变张量与不变量；特殊应变；应变张量分解； 应变协调方程概念与意义，塑性变形体积不变，变形力学图； 应变速度张量定义、意义； 应变增量定义、意义，全量应变与增量应变关系。第93页/共206页讨论：平面变形问题的分析！第94页/共206页1、平面变形问题某一方向上没有应变，称为平面变形。 设z方向上无应变则=0 0zzxyzxux1()2xyyxvuxyyvy0 xyzxy 1221OL(

46、0,1)M(0,-1)0 xy1112纯切应力状态及其应力莫尔圆第95页/共206页在z方向上， 0zz方向上有无应力？ 0zxzy平面变形时，与z轴垂直的平面始终不会倾斜和扭曲 1()2z2xymz方向必为主方向 01()21()2xyxxyzyyxzdddddd证明 平面塑性变形时 1()2zxy,zxy与不独立1()2mxyzz平面应变只有三个独立应变分量 00 xyxyxyxyyy平面塑性变形时平衡方程 第96页/共206页2 2、平面应力状态),(yxfij3zxzy当=0 ，i，j=x，y Yyxxyx=xy x xy yO y xy x xyOn2212221)2()2(根据应力

47、莫尔圆得第97页/共206页yxJ2112212xyyxJ由于则有： 2222)2()2(xyyxyx2212221)2()2(21221max maxO221第98页/共206页切应力顺时针为正，逆时针为负xyE(y, yx )0N(0, )22yB(x , xy)x2D12yx设xy0 xyACyxxyyxN0 xySxSSyxyyx yx 第99页/共206页222112)2(2xyyxyxxy2arctan212221)2(2xyyxyx2cos222121x2cos222121yAB=R=max=12OD+R=12OD-R=22)2(xyyxR=22)(BCDC=xyE(y, yx

48、)0N(0, )22yB(x , xy)x2D12yx第100页/共206页 x xy yxyOn O A( x , xy)B( y , yx)2 nD(, xC第101页/共206页平面应力状态下的平衡方程为 00yxyxyxyyxxxy x xy yO y xy x xyOn第102页/共206页5.10 5.10 金属塑性变形过程和力学特点金属塑性变形过程和力学特点变形过程与特点变形过程与特点 以单向拉伸为例说明塑性变形过程与特点，如图2-1所示。金属变形分为弹性、均匀塑性变形、破裂三个阶段。 时， 。 sE 当 以后，变形视作塑性阶段。 是非线性关系。当应力达到 之后，变形转为不均匀塑

49、性变形，呈不稳定状态。经短暂的不稳定变形，试样以断裂告终。sb 若在均匀塑性变形阶段出现卸载现象，一部分变形得以恢复，另一部分则成为永久变形。卸载阶段 呈线性关系。这说明了塑性变形时，弹性变形依然存在。弹塑性共存弹塑性共存与加载卸载过程不同的加载卸载过程不同的 关系关系是塑性变形的两个基本特征。 第103页/共206页 由于加载、卸载规律不同，导致 关系不唯一。只有知道变形历史，才能得到一一对应的 关系，即塑性变形与变形历史或路径有关。这是第第3 3个重要特征个重要特征。 事实上， 以后的点都可以看成是重新加载时的屈服点。以g点为例，若卸载则 关系为弹性。卸载后再加载，只要 点， 关系仍为弹性

50、。一旦超过g点， 呈非线性关系，即g点也是弹塑性变形的交界点，视作继续屈服点。一般有 ，这一现象为硬化或强化，是塑性变形的第第4 4个显著特点个显著特点。sgsg 在简单压缩下，忽略摩擦影响，得到的压缩 与拉伸 基本相同。但是若将拉伸屈服后的试样经卸载并反向加载至屈服，反向屈服一般低于初始屈服。同理，先压后拉也有类似现象。这种正向变形强化导致后继反向变形软化的现象称作Bauschinger效应。这是金属微观组织变化所致。一般塑性理论分析不考虑Bauschinger效应。 Bridgman等人在不同的静水压力容器中做单向拉伸试验。结果表明：静水压力只引起物体的体积弹性变形，在静水压力不很大的情况

51、下（与屈服极限同数量级）所得拉伸曲线与简单拉伸几乎一致，说明静水压力对塑性变形的影响可以忽略。 ss第104页/共206页基基 本本 假假 设设材料为均匀连续，且各向同性；体积变化为弹性的，塑性变形时体积不变；静水压力不影响塑性变形，只引起体积弹性变化；不考虑时间因素，认为变形为准静态；不考虑BauschingerBauschinger效应。第105页/共206页 单向拉伸时，材料由弹性状态进入塑单向拉伸时，材料由弹性状态进入塑性状态时的应力值称为屈服应力或屈服极限，性状态时的应力值称为屈服应力或屈服极限，它是初始弹塑性状态的分界点。它是初始弹塑性状态的分界点。复杂应力状复杂应力状态下的屈服怎

52、样表示？态下的屈服怎样表示？5.11 5.11 塑性条件方程塑性条件方程第106页/共206页2.11.2 2.11.2 基本概念基本概念 （关心关心: :多向应力状态下材料何时开始进入塑性多向应力状态下材料何时开始进入塑性）ijf()=C式中C C是与材料性质有关而与应力状态无关的常数第107页/共206页123,f()=C （2-35a）讨论：讨论： ijf()Cijf()Cijf()C质点处于弹性状态 质点处于塑性状态 在实际变形中不存在 第108页/共206页质点屈服部分区域屈服整体屈服 第109页/共206页2.11.3 Tresca2.11.3 Tresca屈服准则屈服准则1864

53、年，法国工程师屈雷斯加提出数学表达式：m xaK第110页/共206页用主应力表示时，则有：k2 , ,max133221 k231321当有约定时，则有：第111页/共206页第112页/共206页 1s230m xaK第113页/共206页 第114页/共206页思考：思考：第115页/共206页2.11.4 Mises2.11.4 Mises屈服准屈服准则则 19131913年，德国力学家米塞斯=C 第116页/共206页 1s230C=s第117页/共206页第118页/共206页例题 根据Tresca屈服准则，为了保证薄壁圆筒处于弹性变形状态，筒壁最小厚度为多少？ P2rtzpzP第

54、119页/共206页第120页/共206页321 2 1yzx 3321231max maxO1 O2 O3 232221231第121页/共206页思考的取值范围？321 第122页/共206页第123页/共206页22212233122213133122213312213s()(1)(1)22121321313222代入Mises表达式s2s22s313234所以第124页/共206页223第125页/共206页第126页/共206页2.11.6 2.11.6 屈服准则的几何表达屈服准则的几何表达.平面应力状态的屈服轨迹 用主应力表示平面应力状态（用主应力表示平面应力状态（3=03=0）M

55、isesMises屈屈方程为方程为:的其中是0201145sin45cos第127页/共206页0102245cos45sin的的)(21211)(21212第128页/共206页第129页/共206页图2-38 两向应力状态下的屈服轨迹 这一椭圆（图这一椭圆（图2-382-38）就是平面应力状态的就是平面应力状态的MisesMises屈服轨迹，称为屈服轨迹，称为MisesMises椭圆椭圆。第130页/共206页同样（同样（3=03=0），对于），对于TresaTresa屈服准则：屈服准则：这一六边形（图2-38）就是平面应力状态的Tresca屈服轨迹，称为Tresca六边形。 第131页/

56、共206页由屈服轨迹可以得出： 应力状态是否处于塑性状态；应力状态是否处于塑性状态； 接触点两个屈服准则相同，即两个主应力接触点两个屈服准则相同，即两个主应力相等时；相等时； 两个屈服准则相差数大的点为一个主应力两个屈服准则相差数大的点为一个主应力等于另外两个主应力和的一半。等于另外两个主应力和的一半。 第132页/共206页2. 三向应力状态的屈服表面：123(,)P 一种应力状态一种应力状态引等倾线引等倾线ONON，13lmn在在ONON上任一点，上任一点，123m第133页/共206页过过P P点引直线，点引直线，OMOM表示应力球张量，表示应力球张量，MPMP表示应力偏张量表示应力偏张

57、量 矢量矢量PMON第134页/共206页第135页/共206页1231231()3OMlmn投影和由此得1第136页/共206页s= 根据Mises屈服准则 23sMPP P点屈服时1 1 静水应力不影响屈服，所以，以静水应力不影响屈服，所以，以ONON为轴线为轴线, ,以以 为半径作一圆柱面，则此圆柱面上的点都满足米塞为半径作一圆柱面，则此圆柱面上的点都满足米塞斯屈服准则，这个圆柱面就称为主应力空间中的米斯屈服准则，这个圆柱面就称为主应力空间中的米塞斯屈服表面。塞斯屈服表面。 23s第137页/共206页图图2-37 2-37 主应力空间的屈服准则主应力空间的屈服准则 第138页/共206

58、页由屈服表面可知：屈服表面的几何意义：屈服表面的几何意义： 若主应力空间中的一点应力状态矢量的端点位于屈服表面，若主应力空间中的一点应力状态矢量的端点位于屈服表面，则该点处于塑性状态；若位于屈服表面内部，则该点处于弹则该点处于塑性状态；若位于屈服表面内部，则该点处于弹性状态。性状态。同一母线上应力偏数量都相等；同一母线上应力偏数量都相等； 与母线相垂直斜截面上的应力球张量相等。与母线相垂直斜截面上的应力球张量相等。 第139页/共206页在主应力光向，通过圆点并垂直于等倾线在主应力光向，通过圆点并垂直于等倾线ONON的平面称为的平面称为平面平面， 第140页/共206页第141页/共206页2

59、.11.7 两种屈服准则的比较 1.相同点 （1 1）都是与应力状态无关；）都是与应力状态无关； （2 2）都与静水压力无关；）都与静水压力无关； （3 3）进入塑性状态，都为一固定常数。）进入塑性状态，都为一固定常数。2. 不同点 Mises考虑中间主应力的影响 Tresca屈服准则不考虑中间主应力的影响 第142页/共206页3. 3. 屈服轨迹的比较屈服轨迹的比较（1 1）两个屈服轨迹有六个交点，说明在这六个点上，两）两个屈服轨迹有六个交点，说明在这六个点上，两 个屈服准则是一致的。个屈服准则是一致的。（2 2）两个轨迹不相交的部分，）两个轨迹不相交的部分，MisesMises椭圆上的点

60、均在椭圆上的点均在TrescaTresca六边形之外，这表明按六边形之外，这表明按MisesMises屈服准则需要较大的屈服准则需要较大的应力才能使材料屈服。应力才能使材料屈服。（3 3）两个屈服轨迹差别最大的有六个点。）两个屈服轨迹差别最大的有六个点。第143页/共206页2.11.8、硬化材料的屈服准则 以上所讨论的屈服准则只适用于各向同性的理想塑性材以上所讨论的屈服准则只适用于各向同性的理想塑性材料。对于应变硬化材料，可以认为初始屈服仍然服从前述料。对于应变硬化材料，可以认为初始屈服仍然服从前述的准则，产生硬化后，屈服准则将发生变化，在变形过程的准则，产生硬化后，屈服准则将发生变化，在变