第六章方差分析(3)

1、第三节第三节 两因素完全随机设计两因素完全随机设计 试验资料的方差分析试验资料的方差分析 设试验考察设试验考察A、B两个因素两个因素 ，A因素分因素分a个水平，个水平，B因素分因素分b个水平。个水平。 所谓所谓交叉分组交叉分组是指是指A因素每个水平与因素每个水平与 B因素的每个水平都要碰到，两者交叉搭配形因素的每个水平都要碰到，两者交叉搭配形成成ab个水平组合即处理，试验因素个水平组合即处理，试验因素 A、B在在试验中处于平等地位试验中处于平等地位 。 一、两因素交叉分组试验资料的方差分析一、两因素交叉分组试验资料的方差分析 (一一) 两因素单个观测值试验资料的两因素单个观测值试验资料的 方差

2、分析方差分析 对于对于A、B 两个试验因素的全部两个试验因素的全部ab个水平个水平组合，每个水平组合只有一个观测值，全试验组合，每个水平组合只有一个观测值，全试验共有共有 ab 个观测值，其数据模式如个观测值，其数据模式如 表表5-17 所所示。示。 表表5-175-17两因素单个观测值试验数据模式。两因素单个观测值试验数据模式。A因素 B因素 合计 平均B1B2BjBbA1x11x12x1jx1bA2x21x22x2jx2b Aixi1xi2xijxibAaxa1xa2xajxab合计jxjx1x1x2x2xjxjxbxbx1x1xixix2x2xixixaxaxxx11111 ababij

3、ijijijxxxxab111 najijjijiixxxxa111 bbiijiijjjxxxxb两因素单个观测值试验的数学模型为：两因素单个观测值试验的数学模型为： (1,2, ;1,2, )ijijijxia jb式中式中 为总平均数；为总平均数； i，j分别为分别为Ai、Bj的效应的效应: i=i-，j=j- i、j分别为分别为Ai、Bj观测值总体平均数，观测值总体平均数，且且i=0,j=0; ij 为随机误差为随机误差 ，相互独立，相互独立 ，且服从，且服从N (0，2)。 两因素交叉分组单个观测值的试验资料，两因素交叉分组单个观测值的试验资料，A因素的每个水平有因素的每个水平有b次

4、重复，次重复，B 因素的每个因素的每个水平有水平有a次重复，每个观测值同时受到次重复，每个观测值同时受到A、B 两因素及随机误差的作用两因素及随机误差的作用 。 因此全部因此全部ab 个观测值的总变异可以分解个观测值的总变异可以分解为为 A 因素水平间变异、因素水平间变异、B因素水平间变异及试因素水平间变异及试验误差三部分。验误差三部分。平方和与自由度的分解式平方和与自由度的分解式如下：如下：TABeTABeSSSSSSSSdfdfdfdf221111()ababTijijijijSSxxxC总平方和总平方和各项平方和与自由度的计算公式为各项平方和与自由度的计算公式为矫正数矫正数2xCab误差

5、平方和误差平方和 SSe=SST-SSA-SSB22111()bbBjjjjSSaxxxCaB因素平方和因素平方和22111()aaAiiiiSSbxxxCbA因素平方和因素平方和总自由度总自由度 dfT=ab-1A因素自由度因素自由度 dfA=a-1B因素自由度因素自由度 dfB=b-1误差自由度误差自由度 dfe= dfT - dfA dfB =(a-1)(b-1) 【例【例5-5】 为了研究不同的田间管理为了研究不同的田间管理方法对草莓产量的影响，方法对草莓产量的影响， 选择了选择了 6个不同个不同的地块，每个地块分成的地块，每个地块分成 3 个小区，随机安个小区，随机安排排3种田间管理

6、方法，所得结果见种田间管理方法，所得结果见表表5-185-18，试作方差分析。试作方差分析。 表表5-18 5-18 各品系草莓不同管理措施的产量各品系草莓不同管理措施的产量( (kg/kg/区区) ) 地块（A）田间管理方法（B） 合计 平均B1(化学控制) B2(集成虫害管理)B3(改良集成虫害管理)A171737722173.67A290909227290.67A359708020969.67A475808223779.00A565606719264.00A682868525384.33合计442459483 =1384平均73.6776.5080.5076.89 jxjxxixix 这

7、是个两因素单个观测值试验结果。这是个两因素单个观测值试验结果。A因素有因素有 6 个水平，即个水平，即 a = 6；B 因素有因素有3个水个水平，平， 即即b=3；共有共有ab=63=18个观测值。个观测值。1 1、计算各项平方和与自由度、计算各项平方和与自由度222211(221272253 ) 106414.222231435.1111AiSSxCb221384106414.22226 3xCab22222(71738685 ) 106414.22221737.7778TijSSxC222211(442459483 ) 106414.22226141.4444BjSSxCa1737.777

8、81435.1111 141.4444161.2223eTABSSSSSSSS1 6 3 1 171 6 1 51 3 1 217 5 2 10TABeTAedfabdfadfbdfdfdfdf 2、列出、列出方差分析表方差分析表，进行，进行F 检验检验 变异来源 SS df MS F值 A因素（地块） 1435.1111 5 287.0222 17.80*B因素（田间管理方法） 141.4444 2 70.7222 4.39* 误 差 161.2223 10 16.1222 总变异 13075.0000 17表表5-19 5-19 表表5-185-18资料的方差分析表资料的方差分析表 F捡验

9、结果表明：捡验结果表明： 不同地块和不同田间管理方法对草莓的产量不同地块和不同田间管理方法对草莓的产量均有显著或极显著影响，有必要进一步对均有显著或极显著影响，有必要进一步对 A、B 两因素不同水平的平均产量进行多重比较。两因素不同水平的平均产量进行多重比较。3、 多重比较多重比较 (1) 不同地块的草莓平均产量比较不同地块的草莓平均产量比较 ，采用，采用q法法(见见表表5-20)。 地块平均数 -64.00 -69.67 -73.67 -79.00 -84.33A290.6726.67*21.00*17.00*11.67*6.34A684.3320.33*14.66*10.66*5.33A4

10、79.0015.00*9.33*5.33A173.679.33*4.00A369.675.67表表5-20 5-20 各地块草莓平均产量多重比较（各地块草莓平均产量多重比较（q q法）法） ixixixixixix 在两因素单个观测值试验情况下，在两因素单个观测值试验情况下，A因素因素每一水平的重复数恰为每一水平的重复数恰为B因素的水平数因素的水平数b，故故A因素的标准误为：因素的标准误为： 根据根据dfe=10，秩次距秩次距k=2,3,4,5,6从从附表附表5中查出中查出=0.05和和=0.01的临界的临界q值，与标准误相乘，计算出最小显著极差值，与标准误相乘，计算出最小显著极差LSR，q值

11、及值及LSR值列于值列于表表5-21。 16.12222.31823iexMSSb表表5-21 5-21 q q值及值及LSRLSR值值 dfe秩次距kq0.05q0.01LSR0.05LSR0.01 10 23.154.487.302310.385533.885.278.994612.216944.335.7710.037813.376054.656.1410.779614.233764.916.4311.382414.9060（2）不同田间管理方法的草莓平均产量比较）不同田间管理方法的草莓平均产量比较 B因素各水平平均数比较表见因素各水平平均数比较表见表表5-22。 表表5-22 5-22

12、 不同田间管理方法的草莓平均产量多重比较不同田间管理方法的草莓平均产量多重比较( (q q法法) ) 田间管理方法 平均数 -73.67 -76.50B3(改良集成虫害管理)80.506.83*4.00B2(集成虫害管理)76.502.83B1(化学控制)73.67jxjxjx在两因素单独观测值试验情况下，在两因素单独观测值试验情况下，B 因素因素(本例为田间管理本例为田间管理方法方法)每一水平的重复数恰为每一水平的重复数恰为A因素的水平数因素的水平数a ， 所以所以B 因因素的标准误为：素的标准误为： 根据根据dfe=10，秩次距秩次距k=2，3，查临界查临界 q 值并与值并与 相乘，相乘，

13、求得求得LSR，见见表表5-23。 6392. 161222.16.aMSSejxjxS表表5-23 5-23 q q值与值与LSRLSR值值 dfe秩次距q0.05q0.01LSR0.05LSR0.01 1023.154.485.16357.343633.885.276.36018.6386 在进行两因素或多因素的试验时，除在进行两因素或多因素的试验时，除了研究每一因素对试验指标的影响外，往了研究每一因素对试验指标的影响外，往往更希望研究因素之间的交互作用。往更希望研究因素之间的交互作用。 例如，通过对播种期、播种密度、施例如，通过对播种期、播种密度、施氮量、施钾量、施磷量对作物生长发育的氮

14、量、施钾量、施磷量对作物生长发育的影响有无交互作用的研究，对最终确定有影响有无交互作用的研究，对最终确定有利于作物生产的利于作物生产的最佳栽培技术最佳栽培技术体系是有重体系是有重要意义的。要意义的。 前面介绍的两因素单个观测值试验只适前面介绍的两因素单个观测值试验只适用于两个因素间无交互作用的情况。用于两个因素间无交互作用的情况。 若两因素间有交互作用，则每个水平组若两因素间有交互作用，则每个水平组合中只设一个试验单位合中只设一个试验单位(观察单位观察单位)的试验设的试验设计是不正确的或不完善的。这是因为：计是不正确的或不完善的。这是因为： (1) 在这种情况下，在这种情况下， SSe， df

15、e 实际上是实际上是A、B 两因素交互作用平方和与自由度两因素交互作用平方和与自由度 ，所算，所算得的得的MSe是交互作用均方，主要反映由交互作是交互作用均方，主要反映由交互作用引起的变异。用引起的变异。 (2) 这时若仍按【例这时若仍按【例5-5】 所采用的方法所采用的方法进行方差分析，由于误差均方值大进行方差分析，由于误差均方值大 (包含交互包含交互作用在内作用在内) ，有可能掩盖试验因素的显著性，有可能掩盖试验因素的显著性， 从而增大犯从而增大犯型错误的概率。型错误的概率。 因此，因此，进行两因素或多因素试验时，一般进行两因素或多因素试验时，一般应设置重复，以便正确估计试验误差，深入研应

16、设置重复，以便正确估计试验误差，深入研究因素间的交互作用究因素间的交互作用。 (3)因为每个水平组合只有一个观测值，所因为每个水平组合只有一个观测值，所以无法估计真正的试验误差，因而不可能对因以无法估计真正的试验误差，因而不可能对因素的交互作用进行研究。素的交互作用进行研究。 ( (二二) ) 两因素有重复观测值试验资料两因素有重复观测值试验资料的方差分析的方差分析 对两因素和多因素有重复观测值试验结对两因素和多因素有重复观测值试验结果的分析，能研究因素的果的分析，能研究因素的简单效应简单效应、主效应主效应和因素间的和因素间的交互作用交互作用( (互作互作) )效应效应。 1、简单效应简单效应

17、 在某因素同一水平上，另一因素在某因素同一水平上，另一因素不同水平对试验指标的影响称为简单效应不同水平对试验指标的影响称为简单效应。 如在表如在表5-24中：中： A1(不追肥)A2(追肥)A A2 2- -A A1 1平均B1(不除草)4704722 2471B2(除 草)4805123232496B B2 2- -B B1 11010404025平均47549217表表5-24 5-24 追肥与不追肥、除草与不除草的玉米产量追肥与不追肥、除草与不除草的玉米产量( (/666.7/666.7m m2 2) ) 在在A1(不追肥不追肥)上，上， B2- B 1=480-470=10 在在A2

18、(追肥追肥)上，上， B2- B1=512-472=40 在在B1 (不除草不除草)上，上，A2-A1=472-470=2 在在B2 (除草除草)上，上， A2-A1=512-480=32就是就是简单效应简单效应。 简单效应实际上是特殊水平组合间的差数简单效应实际上是特殊水平组合间的差数。 2、主效应主效应 由于因素水平的改变而引起的由于因素水平的改变而引起的平均数的改变量称为主效应平均数的改变量称为主效应。如在表。如在表5-24中，中，当当A因素由因素由A1水平变到水平变到A2水平时，水平时，A因素的主效因素的主效应为应为A2水平的平均数减去水平的平均数减去A1水平的平均数，即水平的平均数，

19、即 A因素的主效应因素的主效应=492-475=17同理同理 B因素的主效应因素的主效应=496-471=25 主效应也就是简单效应的平均主效应也就是简单效应的平均，如，如 (32+2)2=17，(40+10)2=25。 3、交互作用交互作用( (互作互作) ) 在在 多因素试验多因素试验中，一个因素的作用要受到另一个因素的影中，一个因素的作用要受到另一个因素的影响，表现为某一因素在另一因素的不同水平响，表现为某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同，这种现象称为上所产生的效应不同，这种现象称为该两因该两因素存在交互作用素存在交互作用。如在表。如在表5-28中：中：A在在B1水平上的效应

20、水平上的效应=472-470=2 A在在B2水平上的效应水平上的效应=512-480=32 B在在A1水平上的效应水平上的效应=480-470=10 B在在A2水平上的效应水平上的效应=512-472=40 A A的效应随着的效应随着B B因素水平的不同而不同，反因素水平的不同而不同，反之亦然，此时称之亦然，此时称A A、B B两因素间存在交互作用，两因素间存在交互作用，记为记为A AB B。 或者说，某一因素的简单效应随着另一因或者说，某一因素的简单效应随着另一因素水平的变化而变化时，则称该两因素间存在素水平的变化而变化时，则称该两因素间存在 交互作用。交互作用。 互作效应互作效应可由可由(

21、A1B1+A2B2-A1B2-A2B1)/2来估计。来估计。 表表5-24中的互作效应为：中的互作效应为： (470+512-480-472)/2=15 互作效应实际指的就是由于两个或两个以互作效应实际指的就是由于两个或两个以上试验因素的相互作用而产生的效应上试验因素的相互作用而产生的效应。 如在如在表表5-24中：中： A2B1-A1B1=472-470=2，这是追肥单独这是追肥单独作用的效应；作用的效应； A1B2-A1B1=480-470=10，这是除草单独这是除草单独作用的效应；作用的效应； 两者单独作用的效应总和是两者单独作用的效应总和是2+10=12。 但是，但是，A2B2-A1B

22、1=512-470=42，而不而不是是12。 这就是说，同时追肥、除草产生的效应不这就是说，同时追肥、除草产生的效应不是单独某田间管理措施所产生效应的和，而另是单独某田间管理措施所产生效应的和，而另外多增加了外多增加了30 30 ，这个，这个30 30 是两种田间管理措施是两种田间管理措施共同作用的结果。共同作用的结果。 若将其平均分到每种田间管理措施头上，若将其平均分到每种田间管理措施头上，则各为则各为15，即估计的互作效应。，即估计的互作效应。 设设A与与B两因素分别具有两因素分别具有a与与b个水平，个水平，共有共有ab个水平组合，每个水平组合有个水平组合，每个水平组合有n次重次重复，则全

23、试验共有复，则全试验共有abn个观测值。个观测值。 这类试验结果方差分析的数据模式如这类试验结果方差分析的数据模式如表表5-25所示。所示。 两因素有重复观测值试验资料的方差分析法：两因素有重复观测值试验资料的方差分析法：11111111inijijllbnijljlanjijlilabnijlijlxxxxxxxx 11111111nijllijbnijljlianijliljabnijlijlxxnxxbnxxanxxabn 两因素有重复观测值试验的两因素有重复观测值试验的数学模型数学模型为为:其中，其中， 为总平均数；为总平均数； i为为Ai的效应；的效应； j为为Bj的效应；的效应；

24、() ij为为Ai与与Bj的互作效应；的互作效应； ijl 为随机误差，相互独立，且都服从为随机误差，相互独立，且都服从N(0，2)。() (1,2, ;1,2, ;1,2, )ijlijijijlxia jb ln.,ii.ii.jj 1111110,0,()()()0abnbabijijijijijijijjiijij.)(,ijij()ij为为Ai与与Bj的互作效应的互作效应 因试验资料的因试验资料的总变异总变异可分解为可分解为水平组合间水平组合间变异变异与与水平组合内变异水平组合内变异 即即 误差误差两部分两部分 ，若，若 记记A、B 水平组合间的平方和与自由度为水平组合间的平方和与自

25、由度为 SSAB， dfAB，则，则两因素有重复观测值试验资料方差分两因素有重复观测值试验资料方差分析平方和与自由度的分解式析平方和与自由度的分解式可表示为可表示为 :eABTeABTdfdfdfSSSSSS 因因 A、B 水平组合间变异水平组合间变异可再分解为可再分解为A 因因素，素，B因素，因素，A因素与因素与B因素交互作用变异因素交互作用变异三部三部分，于是分，于是SSAB、dfAB可再分解可再分解为：为：BABAABBABAABdfdfdfdfSSSSSSSS 其中，其中，SSAB，dfAB为为A因素与因素与B因素交因素交互作用平方和与自由度互作用平方和与自由度。 eBABATeBAB

26、ATdfdfdfdfdfSSSSSSSSSS 两因素有重复观测值试验结果方差两因素有重复观测值试验结果方差分析分析平方和与自由度的分解式平方和与自由度的分解式为：为： 各项平方和、自由度的计算公式如各项平方和、自由度的计算公式如下下：21TijlTSSxCdfabn，2xCabn211ABijABSSxCdfabn，211AiASSxCdfabn，211BjBSSxCdfban ， 交互作用平方和与自由度交互作用平方和与自由度) 1)(1(,badfSSSSSSSSBABAABBA误差平方和与自由度误差平方和与自由度) 1(,nabdfSSSSSSeABTe 【例【例5-6】为了研究不同的为了

27、研究不同的种植密度种植密度和和商商业化肥业化肥对大麦产量的影响，将对大麦产量的影响，将种植密度种植密度(A)设设置置3个水平、施用的商业化肥个水平、施用的商业化肥 (B) 设置设置 5个水个水平，交叉分组，重复平，交叉分组，重复4次，完全随机设计次，完全随机设计。产。产量结果列于表量结果列于表5-265-26，试分析种植密度和施用的，试分析种植密度和施用的商业化肥对大麦产量的影响。商业化肥对大麦产量的影响。表表5-265-26不同种植密度和商业化肥的大麦试验的产量结果不同种植密度和商业化肥的大麦试验的产量结果( (kgkg/ /小区小区) ) B1B2B3B4B5Ai合计 Ai平均 A1x1j

28、l27263130252925303025 555 27.7526243031262629313024 10810412212110027.0026.0030.5030.2525.00A2x2jl3028313228 590 29.50 30273134292826303328292532322711710612413111229.2526.5031.0032.7528.00A3x3jl3333353530 665 33.25 33343334293434373331323535353013213614013712033.0034.0035.0034.2530.00 Bj合计357346386

29、389332 1810 Bj平均29.7528.8332.1732.4227.67 30.171jx1jxixix2 jx2 jx3 jx3 jxjx jx 1 1、计算各项平方和与自由度、计算各项平方和与自由度2222272930628.3333TijlSSxCC22221108104120573.33334ABijSSxCnC22181054601.66673 5 4xCabn 22221357346332207.16663 4BjSSxCanC 22221555590665315.83335 4AiSSxCbnC628.3333573.333355.0000eTABSSSSSS 573.

30、3333 315.8333207.166750.3334A BABABSSSSSSSS1 3 5 4 1 59Tdfabn 13 1215 14(1)(1)(3 1)(5 1)8ABA Bdfadfbdfab (1)3 5 (4 1)45edfab n 13 5 114ABdfab 2 2、列出、列出方差分析表方差分析表，进行，进行F F 检验检验 变异来源 SS df MS F值 种植密度（A） 315.8333 2 157.9167 129.20* 商业化肥（B） 207.1667 4 51.7917 42.38* 互作AB 50.3333 8 6.2917 5.15* 误 差 55.00

31、00 45 1.2222 总 变 异 628.3333 59表表5-27 5-27 不同种植密度和商业化肥方差试验资料的分析表不同种植密度和商业化肥方差试验资料的分析表 F F检验结果表明：检验结果表明： 种植密度、商业化肥及其互作对大麦的产种植密度、商业化肥及其互作对大麦的产量均有极显著影响。量均有极显著影响。 应进一步进行种植密度各水平平均数间、应进一步进行种植密度各水平平均数间、商业化肥各水平平均数间、种植密度与商业化商业化肥各水平平均数间、种植密度与商业化肥水平组合平均数间的多重比较和进行简单效肥水平组合平均数间的多重比较和进行简单效应的检验。应的检验。 3 3、多重比较、多重比较 (

32、1)种植密度种植密度(A)各水平平均数间的比较各水平平均数间的比较 不同种植不同种植密度平均数多重比较表见密度平均数多重比较表见表表5-28。 因为因为 A 因素各水平的重复数为因素各水平的重复数为bn，故故 A 因素各水因素各水平的标准误平的标准误(记为记为 )的计算公式为：的计算公式为：. iexMSSbnixS 由由dfe=45，秩次距秩次距k=2、3，从附表从附表5中查出中查出=0.05与与=0.01的临界的临界q值，乘以值，乘以即得各即得各LSR值值 ，所得结果列于，所得结果列于表表5-29。 1.22220.247254ixS0.2472ixS此例此例 表表5-28 5-28 不同

33、种植密度平均数比较表不同种植密度平均数比较表( (q q法法) )种植密度 平均数 -27.75 -29.50A333.255.50*3.75*A229.501.75*A127.75.ix.ix.ix表表5-29 5-29 q q值与值与LSRLSR值表值表 dfe秩次距kq0.05q0.01LSR0.05LSR0.014522.85253.80500.700.9433.43004.34750.851.08 (2)商业化肥商业化肥(B)各水平平均数间的比较各水平平均数间的比较 不同商不同商业化肥平均数多重比较表见业化肥平均数多重比较表见表表5-30。 因为因为 A 因素各水平的重复数为因素各水

34、平的重复数为an，故故 B 因素各因素各水平的标准误水平的标准误(记为记为 )的计算公式为：的计算公式为：. jexMSSan jxS 由由dfe=45，秩次距秩次距k=2,3,4,5，从附表从附表5中查出中查出=0.05与与=0.01的临界的临界q值，乘以值，乘以 即得各即得各LSR值值 ，所得结果列，所得结果列于于表表5-31。 1.22220.31913 4jxS 0.3191jxS 此例此例 表表5-30 5-30 不同商业化肥平均数比较表不同商业化肥平均数比较表( (q q法法) )商业化肥平均数 -27.67 -28.83 -29.75 -32.17B432.424.75*3.59

35、*2.67*0.25B332.174.50*3.34*2.42*B129.752.08*0.92*B228.831.16*B527.67表表5-31 5-31 q q值与值与LSRLSR值表值表 dfe秩次距kq0.05q0.01LSR0.05LSR0.014522.85253.80500.911.2133.43004.34751.101.3943.77754.67251.201.4954.02504.90251.281.56jx jx jx jx jx 以上所进行的两项多重比较，实际上是以上所进行的两项多重比较，实际上是A、B两因素主效应的检验。两因素主效应的检验。 结果表明，结果表明，种植

36、密度以种植密度以 A3 的产量最高；商的产量最高；商业化肥以业化肥以B4 的产量最高的产量最高。若若A、B 因素交互作用因素交互作用不显著，则可从主效应检验中分别选出不显著，则可从主效应检验中分别选出 A、B 因因素的最优水平相组合，素的最优水平相组合， 得到最优水平组合得到最优水平组合； 若若 A、B 因素交互作用显著，因素交互作用显著， 则应进行水平组合平则应进行水平组合平均数间的多重比较，以选出最优水平组合，同时均数间的多重比较，以选出最优水平组合，同时可进行简单效应的检验可进行简单效应的检验。 (3)各水平组合平均数间的比较各水平组合平均数间的比较 一般推荐使用一般推荐使用LSD法来进

37、行各水平组合平法来进行各水平组合平均数的多重比较和简单效应检验。也就是说，均数的多重比较和简单效应检验。也就是说，用相同的检验尺度进行各水平组合平均数间的用相同的检验尺度进行各水平组合平均数间的比较和简单效应检验比较和简单效应检验。 水平组合的重复数为水平组合的重复数为n，水平组合平均水平组合平均数差数标准误数差数标准误 （记为（记为 ）的计算公）的计算公式为：式为： ijijxxS2ijijexxMSSn22 1.22220.78174ijijexxMSSn此例此例 由由dfe=45，从从 附表附表3 中查出中查出 = 0.05、 =0.01的临界的临界t值，乘以值，乘以 ，得各得各LSD值

38、，即值，即 以上述以上述LSD值去检验各水平组合平均值去检验各水平组合平均数间的差数，结果列于表数间的差数，结果列于表5-32。0.7817ijijxxS0.050.05(45)0.010.01(45)2.014 0.7817 1.5742.690 0.78172.103ijijijijxxxxLSDtSLSDtS表表5-325-32各水平组合平均数比较表各水平组合平均数比较表( (LSDLSD法法) ) 水平组合均数 -25.0 -26.0 -26.5 -27.0 -28.0 -29.2 -30.0 -30.2 -30.5 -31.0 -32.8 -33.0 -34.0 -34.2A3B33

39、5.010.0*9.0*8.5*8.0*7.0*5.8*5.0*4.8*4.5*4.0*2.2*2.0*1.00.8 A3B434.29.2*8.2*7.7*7.2*6.2*5.0*4.2*4.0*3.7*3.2*1.41.20.2A3B234.09.0*8.0*7.5*7.0*6.0*4.8*4.0*3.8*3.5*3.0*1.21.0A3B133.08.0*7.0*6.5*6.0*5.0*3.8*3.0*2.82.5*2.0*0.2A2B432.87.8*6.8*6.3*5.8*4.8*3.6*2.8*2.6*2.3*1.8A2B331.06.0*5.0*4.5*4.0*3.0*1.8*1

40、.00.80.5A1B330.55.5*4.5*4.0*3.5*2.5*1.30.50.3A1B430.25.2*4.2*3.7*3.2*2.2*1.00.2A3B530.05.0*4.0*3.5*3.0*2.0*0.8A2B129.24.2*3.2*2.7*2.2*1.2A2B528.03.0*2.0*1.51.0A1B127.02.0*1.00.5A2B226.51.50.5A1B226.01.0A1B525.0ijxijxijxijxijxijxijxijxijxijxijxijxijxijxijx 各水平组合平均数的多重比较结果表明，各水平组合平均数的多重比较结果表明，最优水平组合最优

41、水平组合(即产量最高的组合即产量最高的组合) 是是A3B3。 当当A、B 因素的交互作用显著时，一般不因素的交互作用显著时，一般不必进行两个因素主效应的显著性检验必进行两个因素主效应的显著性检验(因为这因为这时主效应的显著性在实用意义上并不重要时主效应的显著性在实用意义上并不重要)，而直接进行各水平组合平均数的多重比较，选而直接进行各水平组合平均数的多重比较，选出最优水平组合。出最优水平组合。 (4)(4)简单效应的检验简单效应的检验 简单效应实际上是特定水平组合平均数间简单效应实际上是特定水平组合平均数间的差数，检验尺度仍为的差数，检验尺度仍为 LSD0.05=1.574 LSD0.01=2

42、.103 A因素各水平上因素各水平上B因素各水平平均数间的比较因素各水平平均数间的比较 1 jx1 jx1 jx1 jx1 jxA1水平平均数 B因素-25.0-26.0-27.0-30.2B330.55.5*4.5*3.5*0.3B430.25.2*4.2*3.2*B127.02.0*1.0B226.01.0B525.01jx1jx1jx1jx1jx2jx2jx2jx2jx2jxA2水平平均数 B因素-26.5-28.0-29.2-31.0B432.86.3*4.8*3.6*1.8*B331.04.5*3.0*1.8*B129.22.7*1.2B528.01.5B226.52 jx2 jx2

43、 jx2 jx2 jx3 jx3 jx3 jx3 jx3 jxA3水平平均数 B因素-30.0-33.0-34.0-34.2B335.05.0*2.0*1.00.8B434.24.2*1.20.2B234.04.0*1.0B133.03.0*B530.03 jx3 jx3 jx3 jx3 jxB因素各水平上因素各水平上A因素各水平平均数间的比较因素各水平平均数间的比较1ix1ix1ix A因素因素-27.0-29.2A333.06.0*3.8*A229.22.2*A127.02ix2ix2ix平均数平均数 A因素因素-26.0-26.5A334.08.0*7.5*A226.50.5A126.0

44、B2水平水平B1水平水平平均数平均数1 ix1 ix1 ix2ix2ix2ix3ix3ix3ix平均数平均数A因素因素-30.5-31.0A335.04.5*4.0*A231.00.5A130.54ix平均数平均数A因素因素-30.2-32.8A334.24.0*1.4A232.82.6*A130.23ixB3水平水平B4水平水平4ix3ix3ix4ix4ix5ix5ix5ixB5水平水平平均数平均数A因素因素-25.0-28.0A330.05.0*2.0*A228.03.0*A125.05ix5ix5ix简单效应简单效应检验结果表明：检验结果表明： 当种植密度为当种植密度为A1时，施用商业化

45、肥时，施用商业化肥B3、B4的产量极显著或显著高于施用的产量极显著或显著高于施用B1、B2、B5的产量，施用商业化肥的产量，施用商业化肥B1的产量显著高于施的产量显著高于施用用B5的产量；的产量； 当种植密度为当种植密度为A2时，施用商业化肥时，施用商业化肥B4的的产量极显著或显著高于施用产量极显著或显著高于施用B3、B1、B5、B2的产量，施用商业化肥的产量，施用商业化肥B3的产量极显著或显的产量极显著或显著高于施用著高于施用B5、B2、B1的产量，施用商业化的产量，施用商业化肥肥B1的产量极显著高于施用的产量极显著高于施用B2的产量；的产量； 当种植密度为当种植密度为A3时，施用商业化肥时

46、，施用商业化肥B3、B4、B2、B1 的产量极显著高于施用的产量极显著高于施用 B5 的产的产量，施用商业化肥量，施用商业化肥B3的产量显著高于施用的产量显著高于施用B1的产量；的产量； 无论施用哪种商业化肥，都以种植密度无论施用哪种商业化肥，都以种植密度A3的产量最高。的产量最高。 综观全试验，以水平组合综观全试验，以水平组合A A3 3B B3 3的大麦产的大麦产量最高。量最高。 三、系统分组资料的方差分析 在安排多因素试验方案时，将在安排多因素试验方案时，将A因素分为因素分为a个水平，在个水平，在A因素每个水平下又将因素每个水平下又将B因素分成因素分成b个水平，再在个水平，再在B因素每个

47、水平下将因素每个水平下将C因素分因素分c个个水平水平，这样得到各因素水平组合的方式称，这样得到各因素水平组合的方式称为为系统分组系统分组。 由系统分组方式安排的多因素试验而得到由系统分组方式安排的多因素试验而得到的资料称为的资料称为系统分组资料系统分组资料。 例如土样分析，随机取若干地块，每例如土样分析，随机取若干地块，每地块取若干个样点，每一样点的土样又作地块取若干个样点，每一样点的土样又作了数次分析的所获得的资料；了数次分析的所获得的资料； 又如调查某种果树病害，随机取若干又如调查某种果树病害，随机取若干株，每株取不同部位枝条，每枝条取若干株，每株取不同部位枝条，每枝条取若干叶片，查各叶片

48、病斑数所获得的资料等都叶片，查各叶片病斑数所获得的资料等都属于系统分组资料。属于系统分组资料。 在系统分组中，首先划分水平的因素在系统分组中，首先划分水平的因素(如如上述的地块、果树上述的地块、果树)叫叫一级因素一级因素，其次划分水，其次划分水平的因素平的因素(如上述的样点、枝条如上述的样点、枝条)叫叫二级因素二级因素，类此有三级因素类此有三级因素。 在系统分组中，二级因素的各水平套在一在系统分组中，二级因素的各水平套在一级因素的每个水平下，它们之间是从属关系而级因素的每个水平下，它们之间是从属关系而不是平等关系，不是平等关系，分析侧重于一级因素。分析侧重于一级因素。 最简单的系统分组资料是二

49、级系统分最简单的系统分组资料是二级系统分组资料。组资料。 如果如果A因素有因素有a个水平；个水平；A因素每个水因素每个水平平Ai下下B因素分因素分b个水平；个水平；B因素每个水平因素每个水平有有n个观测值，则共有个观测值，则共有abn 个观测值，其个观测值，其数据模式如数据模式如表表5-33所示。所示。 表表5-33 5-33 两因素系统分组资料数据模式两因素系统分组资料数据模式 数学模型：数学模型：iiiijijijiiijijl其中，其中，为全部观测值的总体平均数为全部观测值的总体平均数；为为Ai的效应，的效应，；为为Ai内内Bij的效应，的效应，；、分别为分别为Ai、Bij观测值总体平均

50、数；观测值总体平均数；为随机误差、相互独立、且都服从为随机误差、相互独立、且都服从 N(0,2)。iijijl(1,2, ;1,2, ;1,2, )ijliijijlxiajb ln 表表5-33资料的资料的总变异总变异可分解为可分解为A A因素各水因素各水平平( (A Ai i) )间的变异间的变异 ，A A因素各水平因素各水平( (A Ai i) )内内B B因素各因素各水平水平( (B Bijij) )间的变异间的变异 和和试验误差试验误差 三部分。三部分。平方和与自由度的分解式平方和与自由度的分解式为为 eABATeABATdfdfdfdfSSSSSSSS)()( 其中其中SSB(A)

51、、dfB(A)表示表示A因素内因素内B因素的平因素的平方和与自由度。方和与自由度。 2111abnTijkijkS SxC 各项平方和与自由度计算公式如下：各项平方和与自由度计算公式如下：2xCabn1Tdfabn22111111abnabeijkijijkijSSxxn22()11111abaB AijiijiSSxxnbn1Adfa( )(1)B Adfa b211aAiiSSxCbn(1)edfab n各项均方如下：各项均方如下：AAAdfSSMS/)()()(/ABABABdfSSMSeeedfSSMS/误差均方误差均方 A因素内因素内B因素的均方因素的均方 A因素的均方因素的均方 F F 检验时检验时 F F 值的计算：值的计算： 检验检验A因素时因素时: 检验检验A因素内因素内B因素时因素时: )(/ABAMSMSF eABMSMSF/)( 【例【例5-7】 随机选取随机选取3株植物，在每一株内株植物，在每一株内随机选取两片叶子，用取样器从每一片叶子上随机选取两片叶子，用取样器从每一片叶子上选取同样面积的两个样本，称取湿重（选取同样面积的两个样本，称取湿重（g），），结果见结果见表表5-34。分析不同植株和同一植株上的。分析不同植株和同一植株上的不同叶片间湿重差异是否显著不同叶片间湿重差异是否显著。 表表