第12讲.利用旋转添加辅助线.教师版

1、2010 年暑假 初二数学第 12 讲 教师版 page 1 of 22第十二讲第十二讲利用旋转添加辅助线利用旋转添加辅助线中考要求考试要求考试要求板块板块a 级要求级要求b 级要求级要求c 级要求级要求全等三角形全等三角形的性质及判的性质及判定定会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题知识点睛基本知识把图形绕平面上的一个定点旋转一个角度，得到图形，这样的由图形到变换叫做旋转变换，点goggg叫做旋转中心，叫做旋转角，叫做的象；叫做的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原ogggg象是全等形很明显，旋转

2、变换具有以下基本性质：旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等；对应直线的交角等于旋转角旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演2010 年暑假 初二数学第 12 讲 教师版 page 2 of 22重、难点重点：重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，hl 的判定是整个直角三角形的重点难点：难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理

3、及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化例题精讲【例例 1】 如图，等边三角形如图，等边三角形与等边与等边共顶点于共顶点于点求证：点求证：abcdeccaebddecba是等边三角形，abc60acbacbc，同理，60bcddca 60acedca dcecbcdace 在与中，bcdace ，bcacbcdacedcec bcdacebdae【巩固巩固】(】(年全国初中数学联赛武汉年全国初中数学联赛武汉杯选拔赛杯选拔赛) )如图，如图，和和均为等边三角形，均为等边三角形，2008casioabdced，

4、若若，则，则 acbcacbc2be cd 2010 年暑假 初二数学第 12 讲 教师版 page 3 of 22 6decba31易知，从而，cdbcdaedb2bcacbe2ab 由知是一条高的一部分，cdacdb cdabd不难算出答案为31【例例 2】 ( (1997 年安徽省初中数学竞赛题年安徽省初中数学竞赛题) )在等腰在等腰的斜边的斜边上取两点上取两点、，使，使，rt abcabmn45mcn记记，则以，则以、为边长的三角形的形状是为边长的三角形的形状是( ( ) )ammmnxbnnxmn a锐角三角形锐角三角形 b直角三角形直角三角形c钝角三角形钝角三角形 d随随、的变化而

5、变化的变化而变化xmnmncba mdncba如图，将绕点顺时针旋转，得，连结，cbnc90cadmd则，adbnncdcnacdbcnmcdacmacdacmbcn 904545mcn ，mdcmncmdmnx又易得，在中，有，故应选(b)454590dam rt amd222mnx【例例 3】 ( (通州区通州区 2009 一模第一模第 25 题题) )请阅读下列材料：请阅读下列材料：已知：如图已知：如图 1 在在中，中，点，点、分别为线段分别为线段上两动点，若上两动点，若rt abc90bacabacdebc探究线段探究线段、三条线段之间的数量关系三条线段之间的数量关系45daebdde

6、ec小明的思路是：把小明的思路是：把绕点绕点顺时针旋转顺时针旋转，得到，得到，连结，连结，aeca90abee d使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题：使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题： 猜想猜想、三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； bddeec 当动点当动点在线段在线段上，动点上，动点运动在线段运动在线段延长线上时，如图延长线上时，如图 2，其它条件不变，其它条件不变，中探究中探究ebcdcb的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明 1abcd

7、e 2abcde 222debdec证明：根据绕点顺时针旋转得到aeca90abe2010 年暑假 初二数学第 12 讲 教师版 page 4 of 22aecabe，beecaeaecabe eace ab 在中rt abcabac45abcacb 90abcabe即90e bd222e bbde d又45dae45badeac45e abbad即45e ad ae daed dede222debdeceedcbafedcba 关系式仍然成立222debdec证明：将沿直线对折，得，连adbadafdfe afdabd，afabfddb，fadbad afdabd 又，abacafac45f

8、aefaddaefad 9045eacbacbaedaedabdab faeeac 又aeaeafeace，feec45afeace 180135afdabdabc 1354590dfeafdafe 在中rt dfe即222dffede222debdec【例例 4】、分别是正方形分别是正方形的边的边、上的点，且上的点，且，为垂足，求证：为垂足，求证：efabcdbccd45eaf ahefhahab2010 年暑假 初二数学第 12 讲 教师版 page 5 of 22chfedba chfegdba延长至，使，连结，易证，cbgbgdfagabgadfbagdafagaf再证，全等三角形的对

9、应高相等(利用三角形全等可证得)，则有aegaefahab【巩固巩固】如图，正方形如图，正方形的边长为的边长为 ，点，点在线段在线段上运动，上运动，平分平分交交边于点边于点abcd1fcdaebafbce求证：求证：afdfbe设设( () )，与与的面积和的面积和是否存在最大值？若存在，求出此时是否存在最大值？若存在，求出此时的值的值dfx01xadfabesx及及若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由sfedcbagabcdef 证明： 如图，延长至点，使得，连结cbgbgdfag因为是正方形，所以在和中，abcdrt adfrt abgadab，90adfabg dfbg，rtrt(s

10、as)adfabg，afagdafbag 又 是的平分线aebaf，eafbae dafeafbagbae 即eadgae ，adbcgeaead ，geagae agge即agbgbe，得证afbgbe adfabesss1122df adbe ab，1adab12sdfbe由知，afdfbe所以12saf在中，rt adf1ad dfx，21afx2112sx2010 年暑假 初二数学第 12 讲 教师版 page 6 of 22由上式可知，当达到最大值时，最大而，2xs01x所以，当时，1x 最大值为s2111222x 【巩固巩固】如图所示，在四边形如图所示，在四边形 abcd 中，中，

11、ab=bc， a= c=90， b=135，k、n 分别是分别是 ab、bc 上的点，上的点，若若 bkn 的周长为的周长为 ab 的的 2 倍，求倍，求 kdn 的度数的度数nkdcba fnkedcba延长 bc 至 f，使得 cf=ab，在 cf 上取点 e，使得 ce=ak，连接 bd、de、dfabad，bccd，ab=bc rtadbrtcdbad=cdad=cd，ak=ce，abad，bccd adkcdedk=debk+bn+kn=2ab，bf=bn+ef+en=2ab，ef=cf-ce=ab-ak=bkkn=enndkndekdn=edn=cde+ndc=cde+adkabc

12、=135 kdn=(180-135)=22512点评：本题的辅助线可以看作是将adb 割下来，放到cdf 处，从而将不规则的图形转化为规则的图形，进而利用线段之间的等量关系求解【例例 5】 在等边在等边的两边的两边 ab，ac 所在直线上分别有两点所在直线上分别有两点 m，n，d 为为外一点，且外一点，且，abcabc60mdn，探究：当点，探究：当点 m，n 分别在直线分别在直线 ab，ac 上移动时，上移动时，bm，nc，mn 之间之间120bdcbdcd的数量关系及的数量关系及的周长与等边的周长与等边的周长的周长 l 的关系的关系amnabc2010 年暑假 初二数学第 12 讲 教师版

13、 page 7 of 22 abcdmnabcdmnnmdcba如图如图，当点，当点 m，n 在边在边 ab，ac 上，且上，且 dm=dn 时，时，bm，nc，mn 之间的数量关系式之间的数量关系式_；此时；此时=_lq如图如图，当点，当点 m，n 在边在边 ab，ac 上，且上，且时，猜想时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出问的两个结论还成立吗？写出dndm 你的猜想并加以证明；你的猜想并加以证明；如图如图，当点，当点 m，n 分别在边分别在边 ab，ca 的延长线上时，若的延长线上时，若 an=x，则，则 q=_(用用 x，l 表示表示)bm+nc=mn;32lqeabcdmn(2)

14、猜想：仍然成立证明：如图，延长 ac 至 e，使 ce=bm，连接 de ,120bdcdbdc且，30dbcdcb 由是等边三角形，abc90mbdncd ()mbdecd sas，,dmdebdmcde 60ednbdcmdn 在与中mdnedndmdemdnedndndn()mdnedn sasmnnencbm的周长=amnqamanmn()()ambmannc2abacab而等边的周长abc3lab2010 年暑假 初二数学第 12 讲 教师版 page 8 of 2223ql(3)223xl【巩固巩固】(】(1) )如图如图 25- -1，在四边形，在四边形 abcd 中，中，aba

15、d， b d90 ，e、f 分别是边分别是边 bc、cd 上的点，且上的点，且 eaf= =12 bad求证：求证：efbefd; ;fedcba( (2) ) 如图如图 25- -2 在四边形在四边形 abcd 中，中，abad， b+d180 ，e、f 分别是边分别是边 bc、cd 上的点，且上的点，且 eaf= = bad， ( (1) )中的结论是否仍然成立？不用证明中的结论是否仍然成立？不用证明 12fedcbafedcba( (3) ) 如图如图 25- -3 在四边形在四边形 abcd 中，中，abad， b+adc180 ，e、f 分别是边分别是边 bc、cd 延长线上延长线上

16、的点，且的点，且 eaf= = bad， ( (1) )中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们12之间的数量关系，并证明之间的数量关系，并证明2010 年暑假 初二数学第 12 讲 教师版 page 9 of 22gfedcbagfedcba证明：延长 eb 到 g，使 bg=df，联结 ag abgabc=d90， ab=ad，abgadfagaf， 121+32+3=eaf=bad12gae=eaf又 ae=ae，aegaefeg=ef eg=be+bgef= befd (2) (1)中的结论 ef= befd

17、仍然成立 (3)结论 ef=befd 不成立，应当是 ef=befd 证明：在 be 上截取 bg，使 bg=df，连接 agb+adc180，adf+adc180，badfabad，abgadfbag=daf，ag=af bag+eaddaf+ead=eaf =bad12gae=eafae=ae，aegaefeg=ef eg=be-bg 【例例 6】 ( (2005 年四川省中考题年四川省中考题) )如图，等腰直角三角形如图，等腰直角三角形中，中，为为中点，中点，abc90b abaoac求证：求证：为定值为定值eoofbebf2010 年暑假 初二数学第 12 讲 教师版 page 10

18、of 22obecfa 4321obecfa连结由上可知，而，ob1290 2390 13 445c oboc，obeocfbefcbebfcfbfbca【巩固巩固】等腰直角三角形等腰直角三角形，为为中点，中点，试猜想，试猜想，abc90abc abaoac45eof 、三者的关系三者的关系bebfefobecfa obegcfa如图，过点作，交于，连结，易知，oogoebcgobogcobe，又，becgeoog45eoffog ofof，oefogfeffgbebfefcgbffgaba又，、又存在另一关系式90b bebfef222bfbeef【例例 7】 如图所示正方形如图所示正方形

19、abcd 中，在边中，在边 cd 上任取一点上任取一点 q，连，连 aq，过，过 d 作作 dpaq，交，交 aq 于于 r，交，交bc 于于 p，正方形对角线交点为，正方形对角线交点为 o，连，连 op，oq求证：求证：opoqqrpodcba欲证 opoq，即证明cop+coq=90然而，coq+qod=90，因此只需证明cop=doq 即可这归结为证明copdoq，又归结为证明 cp=dq，最后，再归结为证明adqdcp 的问题证 在正方形 abcd 中，因为 aqdp，所以，在 rtadq 与 rtrdq 中有rdq=qad所以，在rtadq 与 rtdcp 中有 ad=dc，adq=

20、dcp=90，qad=pdc，所以adqdcp(asa)，dq=cp又在doq 与cop 中，do=co，odq=ocp=45，所以doqcop(sas)，doq=cop2010 年暑假 初二数学第 12 讲 教师版 page 11 of 22从而poq=cop+coq=doq+coq=cod=90，即 opoq说明 (1)利用特殊图形的特殊性质，常可发现有用的条件，如正方形对角线互相垂直，对角线与边成45角，及 oa=ob=oc=od 等均在推证全等三角形中被用到(2)两个三角形的全等与对应元素相等，这两者互为因果，这是利用全等三角形证明问题的基本技巧【巩固巩固】如图，正方形如图，正方形绕正

21、方形绕正方形中点中点旋转，其交点为旋转，其交点为、，求证：，求证：oghkabcdoefaecfab54321ohbedkgcfa正方形中，abcd1245 oaob而，3490 4590 ，35aoebof，aebfaefcbffcbcab【例例 8】 ( (2004 河北河北) )如图，已知点如图，已知点是正方形是正方形的边的边上一点，点上一点，点是是的延长线上一点，且的延长线上一点，且eabcdcdfcb 求证：求证：eaafdebfdcbefa证明：因为四边形是正方形，所以，abcdabad因为，90badadeabf eaaf所以，所以 90bafbaebaedae ，故，故 baf

22、dae rt abfrt adedebf【巩固巩固】如图所示，在四边形如图所示，在四边形中，中，于于，若四边形，若四边形abcd90adcabc adcddpabp 的面积是的面积是 16，求，求的长的长abcddp2010 年暑假 初二数学第 12 讲 教师版 page 12 of 22pdcbaabcdep如图，过点作，延长交于点，容易证得(实际上就是把ddedpbcdeeadpcde逆时针旋转，得到正方形)adp90dpbe正方形的面积等于四边形面积为，dpbeabcd164dp 【例例 9】 已知已知：如图，点：如图，点为线段为线段上一点，上一点，、是等边三角形求证：是等边三角形求证：

23、cabacmcbnanbmmdnecbfa、是等边三角形，acmcbn，mcaccncbacnmcb ，acnmcbanbm【点评】此题放在例题之前回忆，此题是旋转中的基本图形【巩固巩固】如图，如图，三点共线，且三点共线，且与与是等边三角形，连结是等边三角形，连结，分别交分别交，于于bceabcdcebdaeacdc，点求证：点求证：mncmcnnmedcba与都是等边三角形abcdce，及bcaccdce60acbdce ，三点共线bce，180bcddce 180bcaace 120bcdace 在与中bcdace ，bcacbcdacedcec bcdacecancbm 2010 年暑假

24、 初二数学第 12 讲 教师版 page 13 of 22，120bcdace 60bcmnce 60acd在与中bcmacn ，60bcacbcmacncbmcan bcmacncmcn【巩固巩固】已知：如图，点已知：如图，点为线段为线段上一点，上一点，、是等边三角形求证：是等边三角形求证：平分平分cabacmcbncfafbmdnecbfa gmh dnecbfa过点作于，于，由，ccgangchbmhacnmcb利用进而再证，可得到，故平分aasbchncdcgchcfafb【巩固巩固】如图，点如图，点为线段为线段上一点，上一点，、是等边三角形是等边三角形cabacmcbn请你证明：请你

25、证明：；anbm；deab平分平分cfafbmdnecbfa此图是旋转中的基本图形其中蕴含了许多等量关系与三角形各内角相等，60mcn及平行线所形成的内错角及同位角相等；全等三角形推导出来的对应角相等推到而得的：；afcbfc ，；anbmcdceadmendbe，；amcncmbndeab，；acnmcbadcmcendcbec为等边三角形dec、是等边三角形，acmcbn，mcaccncbacnmcb ，acnmcbanbm由易推得，所以，又，acnmcbndcbeccdce60mcn2010 年暑假 初二数学第 12 讲 教师版 page 14 of 22进而可得为等边三角形易得decd

26、eab过点作于，于，由，ccgangchbmhacnmcb利用进而再证，可得，故平分aasbchncdafcbfc cfafb【例例 10】如图，点如图，点为线段为线段上一点，上一点，、是等边三角形，是等边三角形，是是中点，中点，是是中点，中点，cabacmcbndanebm求证：求证：是等边三角形是等边三角形cdemdnecba，acnmcbanbmabmanc 又、分别是、的中点，deanbm，bcencdcecdbcencd 60dcencdncebcencencb 是等边三角形cde【巩固巩固】(】(年全国初中数学竞赛海南区初赛年全国初中数学竞赛海南区初赛) )如下图，在线段如下图，在

27、线段同侧作两个等边三角形同侧作两个等边三角形和和2008aeabc( () )，点，点与点与点分别是线段分别是线段和和的中点，则的中点，则是是( ( ) )cde120acepmbeadcpmpmbcdeaa钝角三角形钝角三角形 b直角三角形直角三角形c等边三角形等边三角形 d非等腰三角形非等腰三角形易得所以可以看成是绕着点顺时针旋转而得到的又为线段acdbcebceacdc60m中点，为线段中点，故就是绕着点顺时针旋转而得所以且，adpbecpcmc60cpcm，故是等边三角形，选 c60pcmcpm【例例 11】平面上三个正三角形平面上三个正三角形，两两共只有一个顶点，求证：两两共只有一个

28、顶点，求证：与与互相平分互相平分acfabdbceefcdfedbca连接与dedf，dbaebc badcaf 2010 年暑假 初二数学第 12 讲 教师版 page 15 of 22，dbeabc bacdaf 在与中dbeabcdbabdbeabcbebc (sas)dbeabcdecafc在与中dfabcadabadafbacafac (sas)dfabcadfbcec为平行四边形，decf，互相平分efcd【例例 12】已知：如图，已知：如图，、都是等边三角形，且都是等边三角形，且、共线，共线，求求abccdeehkadkaddk证：证：也是等边三角形也是等边三角形hbdekhcd

29、bamabdchke连结，ebcecdceeabead所以，并且与的夹角为，beadbead60延长交于，ebakm则360300ebhbhdhdebedhdmmdemedmmdemedhdmhdk又因为，hkadbebhhd所以behdkh所以，hkheehdehddhkbhe 【例例 13】( (1997 年安徽省竞赛题年安徽省竞赛题) )如图，在如图，在外面作正方形外面作正方形与与，为为的的abcabefacghadabc高，其反向延长线交高，其反向延长线交于于，求证：，求证：( (1) );(;(2) )fhmcfbh mhmf 2010 年暑假 初二数学第

30、12 讲 教师版 page 16 of 22mefhgdcba证明;(2)作，先证，abhafcpmdfp于qmdhq于afpbadacd，再证haqfpmhqm【巩固巩固】(】(2008 年怀化市初中毕业学业考试试卷年怀化市初中毕业学业考试试卷) )如图，四边形如图，四边形、都是正方形，连接都是正方形，连接、abcddefgae求证：求证：cgaecggfedcbaadcedg cdgade 在和中cdgade cdadcdgadedgde cdgadeaecg【巩固巩固】以以 abc 的两边的两边 ab、ac 为边向外作正方形为边向外作正方形 abde、acfg，求证：，求证：ce=bg，

31、且，且 cebg ogfedcba易证aecabg，故ace=agb，又 acag，aog=boc，故 cebg2010 年暑假 初二数学第 12 讲 教师版 page 17 of 22【例例 14】( (北京市初二数学竞赛试题北京市初二数学竞赛试题) ) 如图所示，在五边形如图所示，在五边形中，中，abcde90be ，求此五边形的面积，求此五边形的面积abcdae1bcdeedcba fedcba我们马上就会想到连接、，因为其中有两个直角三角形，但又发现直接求各三角形的面积并acad不容易，至此思路中断我们回到已知条件中去，注意到，这一条件应当如何利用？联想到在证明线段相等时我1bcde们

32、常用的“截长补短法”，那么可否把拼接到的一端且使呢(如图所示)？据此，连接bcdeefbc，则发现，且，是底、高各为 的三角形，其面afabcaef1fd afacaeabadf1积为，而与全等，从而可知此五边形的面积为 12acdafd1【巩固巩固】(】(江苏省数学竞赛试题江苏省数学竞赛试题) )如图，已知五边形如图，已知五边形 abcde 中，中， abc= aed=90，ab=cd=ae=bc+de=2求该五边形的面积求该五边形的面积edcba fedcba延长 cb 至 f，使得 bf=de，连接 af、ac、adabc=aed=90，ab=ae，bf=deabfaedaf=adcd=

33、 bc+de=bc+bf=cf，ac=acacfacdab=cd=cf=2该五边形的面积为 16点评：本题可看作将五边形 abcde 分割成三块，通过割补重新组合成一个规则的图形【巩固巩固】(】(希望杯全国数学邀请赛初二第二试试题希望杯全国数学邀请赛初二第二试试题) ) 在在五边形五边形中，已知中，已知，abcdeabaebcdecd，连接，连接求证：求证：平分平分180abcaed adadcde2010 年暑假 初二数学第 12 讲 教师版 page 18 of 22edcba fedcba连接由于，acabae180abcaed 我们以为中心，将逆时针旋转到的位置因，所以点与点重合，而a

34、abcaefabaebe，180aefaedabcaed 所以、在一条直线上，点旋转后落在点的位置，且，defcfafacefbc所以dfdeefdebccd在与中，acdafd因为，acafcdfdadad故，acdafd因此，即平分adcadf adcde【例例 15】( (2008 山东山东) )在梯形在梯形中，中，是是中中abcdabcd90a 2ab 3bc 1cd ead点，试判断点，试判断与与的位置关系，并写出推理过程的位置关系，并写出推理过程ecebabcde fedcba延长交延长线于点becdf是中点，eaddeae，abcd90a 90edfeab abedfe 在和中，

35、aebfedabedfeeabedfaede ，aebfedfebe又，2,3,1abbccdcfbc在和中，fcebcefcbccecefebe，fcebceceeb2010 年暑假 初二数学第 12 讲 教师版 page 19 of 22家庭作业【习题习题 1】如图，已知如图，已知和和都是等边三角形，都是等边三角形，、在一条直线上，试说明在一条直线上，试说明与与abcadebcdce相等的理由相等的理由accdedcba，acabcaebad aeadaecadbcebd又bdbccdaccdceaccd【习题习题 2】(】(湖北省黄冈市湖北省黄冈市 2008 年初中毕业生升学考试年初中毕

36、业生升学考试) )已知：如图，点已知：如图，点是正方形是正方形的边的边上任意一上任意一eabcdab点，过点点，过点作作交交的延长线于点的延长线于点求证：求证：ddfdebcfdedffedcbaadcedf adecdf 在和中adecdfdaedcfadcdadecdf adecdf dedf【习题习题 3】如图，正方形如图，正方形 abcd 的边长为的边长为 1，ab、ad 上各存一点上各存一点 p、q，若，若 apq 的周长为的周长为 2，求，求 pcq 的的度数度数2010 年暑假 初二数学第 12 讲 教师版 page 20 of 22qpdcba qpfdcba把cdq 绕点 c 旋转 90到cbf 的位置，cq=cfaq+ap+qp=2，又 aq+qd+ap+pb=2，qd+bp=qp又 dq=bf，pq=pfqcp=fcpqcpfcp又qcf=90，pcq=45【习题习题 4】已知：如图，点已知：如图，点