二重积分习题练习及解析

1、1补充补充轮换轮换对称性结论对称性结论: :若若d关于关于x,y满足轮换对称性满足轮换对称性(将将d的边界的边界曲线方程中的曲线方程中的x与与y交换位置交换位置,方程不变方程不变),则则( , )d d( , )d d .ddf x yx yf y xx y 211证证yxyxybxaiddd)()()()( 设设的的对对称称性性得得由由区区域域关关于于直直线线xy yxxyxbyaiddd)()()()( 所以所以, dyxbaidd)(2)(21bai ,1 , 0)(上上的的正正值值连连续续函函数数为为设设x )(21dd)()()()(bayxyxybxad 证明：证明：为为常常数数，

2、其其中中ba,xy ba xyo 1,0),( yxyxd例例习习 题题 课课二二 重重 积积 分分知识要点知识要点 解题技巧解题技巧典型例题典型例题4其中其中 iiniidfyxfi ),(limd),(10一、二重积分的概念与性质一、二重积分的概念与性质 是各小闭区域的直径中的最大值是各小闭区域的直径中的最大值.几何意义几何意义二重积分二重积分i表示以表示以d为底为底,柱体的体积柱体的体积.z =f (x, y)为曲顶为曲顶, 侧面是侧面是（一）二重积分的定义（一）二重积分的定义,几何意义与物理意义几何意义与物理意义定义定义1.平面上有界闭区域平面上有界闭区域d上二元有界函数上二元有界函数

3、z = f (x, y)的二重积分的二重积分2.当连续函数当连续函数,0),(时时 yxfz以以d的边界为准线的边界为准线,母线平行于母线平行于z轴的柱面的轴的柱面的曲顶曲顶一般情形一般情形,知识要点知识要点 5 dyxf d),(物理意义物理意义3.xoy平面上方的曲顶柱体体积平面上方的曲顶柱体体积减减xoy平面下方的曲顶柱体体积平面下方的曲顶柱体体积.若平面薄片占有平面内有界闭区域若平面薄片占有平面内有界闭区域d,),(yx 则它的质量则它的质量m为为:它的面它的面密度为连续函数密度为连续函数.d),( dyxm 6性质性质1(线性运算性质线性运算性质)为常数为常数, 则则(重积分与定积分

4、有类似的性质重积分与定积分有类似的性质) dyxgyxf d),(),( 、设设 ddyxgyxf d),(d),(性质性质2 将区域将区域d分为两个子域分为两个子域 dyxf d),()(21ddd 对积分区域的可加性质对积分区域的可加性质. 1d),(dyxf 2d),(dyxf ,21dd（二）二重积分的性质（二）二重积分的性质7以以1为高的为高的 性质性质3(几何应用几何应用) 若若 为为d的面积的面积 注注 d d既可看成是以既可看成是以d为底为底,柱体体积柱体体积. d d1 d d又可看成是又可看成是d的面积的面积. dyxf d),(特殊地特殊地性质性质4(4(比较性质比较性质

5、) ),(),(yxgyxf 设设,),(dyx 则则 dyxg d),( dyxf d),( dyxf d),( ( (保序性保序性) )8 dmyxfm d),(几何意义几何意义以以m为高和以为高和以m为高的为高的性质性质5(5(估值性质估值性质) ),),(myxfm 设设为为d的面积的面积, 则则,),( , 0),(dyxyxf 设设则曲顶则曲顶柱体的体积介于以柱体的体积介于以d为底为底,两个平顶柱体体积之间两个平顶柱体体积之间.9性质性质6(6(二重积分中值定理二重积分中值定理) ),( dyxf d),(体体积等于以体体积等于以d为底为底),( f以以几何意义几何意义域域d上连续

6、上连续,为为d的面积的面积, 则在则在d上至少存在一点上至少存在一点使得使得 ),(f,),( , 0),(dyxyxf 设设则曲顶柱则曲顶柱 为高的平顶柱体体积为高的平顶柱体体积.设设f (x, y)在闭区在闭区10(1)设设f (x, y)在有界闭区域在有界闭区域d上连续上连续. dyxyxfdd),(若若d关于关于,dd),(21yxyxfd 则则x轴对称轴对称, f (x, y)对对y为奇函数为奇函数, 即即, 0,),(),(),(dyxyxfyxf f (x, y)对对y为偶函数为偶函数, 即即,),(),(),(dyxyxfyxf 则则 dyxyxfdd),(其中其中;01 yd

7、d（三）对称区域上奇偶函数的积分性质（三）对称区域上奇偶函数的积分性质11(2)设设f (x, y)在有界闭区域在有界闭区域d上连续上连续. dyxyxfdd),(若若d关于关于,dd),(21yxyxfd 则则 y轴对称轴对称, f (x, y)对对x为奇函数为奇函数, 即即, 0,),(),(),(dyxyxfyxf f (x, y)对对x为偶函数为偶函数, 即即,),(),(),(dyxyxfyxf 则则 dyxyxfdd),(其中其中;01 xddd12(3)设设f (x, y)在有界闭区域在有界闭区域d上连续上连续.则则对称对称关于直线关于直线若闭区域若闭区域,xyd ddyxxyf

8、yxyxf;dd),(dd),(13),()(,),( 21xyxbxayxd 其中函数其中函数 、)(1x )(2x b)(2xy )(1xy ad在区间在区间a, b上连续上连续.二、在直角坐标系中化二重积分为二、在直角坐标系中化二重积分为xoy累次积分累次积分(1) 设设f (x, y)在平面有界闭区域在平面有界闭区域d上连续上连续. dyxf d),( baxxyyxfx)()(21d),(d 先对先对y 后对后对x的二次积分的二次积分14),()(,),( 21yxydycyxd 其中函数其中函数 、)(1y )(2y 在区间在区间c, d上连续上连续.(2) 设设f (x, y)在

9、平面有界闭区域在平面有界闭区域d上连续上连续. dyxf d),( dcyyxyxfy)()(21d),(d 先对先对x 后对后对y的二次积分的二次积分.xoyd)(2yx cd)(1yx 15 dyxf d),( ddrr极坐标系中的面积元素极坐标系中的面积元素 drrrrf dd)sin,cos(三、在极坐标系中化二重积分为三、在极坐标系中化二重积分为累次积分累次积分 )(1 r)(2 road(1)设设f (x, y)在平面有界平面闭区域在平面有界平面闭区域d上连续上连续.)()(,),( 21 ryxd其中函数其中函数.,)()(21上连续上连续在区间在区间、 d )(2)(1;d)s

10、in,cos( rrrrf16d;d)sin,cos(d)(0 rrrrf dyxf d),(ao )( r(2)设设f (x, y)在平面有界平面闭区域在平面有界平面闭区域d上连续上连续.)(0 ,),( ryxd其中函数其中函数.,)(上连续上连续在区间在区间 17 )(020d)sin,cos(d rrrrf极坐标系极坐标系下区域的下区域的面积面积.dd drr doa)( r(3)设设f (x, y)在平面有界平面闭区域在平面有界平面闭区域d上连续上连续.)(0 ,20),( ryxd dyxf d),(其中函数其中函数.,)(上连续上连续在区间在区间 18再确定再确定交换积分次交换积

11、分次1. 交换积分次序交换积分次序:先依给定的积分次序写出积分域先依给定的积分次序写出积分域d的的不等式不等式, 并画并画d的草图的草图;序后的积分限序后的积分限;2. 如被积函数为如被积函数为圆环域时圆环域时,或积分域为或积分域为),(22yxf ),(22yxf ),(xyf)(arctanxyf圆域、扇形域、圆域、扇形域、则用极坐标计算则用极坐标计算; 解题技巧解题技巧19 3. 注意利用对称性质注意利用对称性质,数中的绝对值符号数中的绝对值符号.以便简化计算以便简化计算;4. 被积函数中含有绝对值符号时被积函数中含有绝对值符号时, 应应将积分域分割成几个子域将积分域分割成几个子域, 使

12、被积函数在使被积函数在每个子域中保持同一符号每个子域中保持同一符号, 以消除被积函以消除被积函20.d1d13102yyxyxx 解解例例 计算积分计算积分xoy2xy 11交换积分次序交换积分次序. . 原式原式 = xxyyydd13 00y1 1032d121yyy 10331)d(161yy).12(31 典型例题典型例题1.1.交换积分次序交换积分次序21计算计算 222.d)232(2ayxyxx 解解 积分域是圆积分域是圆,222ayx 故关于故关于x、y轴、轴、故将被积函数分项积分故将被积函数分项积分: 222d)32(ayxyx 0 而而 222d2ayxx 222d2ayx

13、y 222)d(2122ayxyx 极坐标极坐标 arr0320dd21 .44a 又又 222d2ayx ,22a所以所以原式原式 =.2424aa 对称对称,xy 例例直线直线2.2.利用对称性利用对称性22222cyx 0,)()()()(222 zcyxyxybxaz 曲面曲面. 0, 0, 0 cba且且证证yxyxybxavddd)()()()( yxxyxbyayxybxadddd)()()()()()()()(21 dyxbadd)(21xy xyo所围立体的体积等于所围立体的体积等于),(212bac )(u 其中其中是连续是连续的正值函数的正值函数,所求立体在所求立体在xo

14、y面上的投影区域为面上的投影区域为.:222cyxd 有有:).(212bac 例例 证明证明: :23 cos2 .2:,dd)(22xyxdyxyxd 其中其中计算二重积分计算二重积分解解 原式原式 = rrrdcosd2cos020 .用极坐标用极坐标. .xoyrr ddcos22cos2020 20cos203d)(cos32 r 203dcoscos316 204dcos316 22143316对称性对称性积分区域关于积分区域关于x轴对称轴对称2例例 3.3.坐标系的选择坐标系的选择24若函数若函数 f (x, y)在矩形区域在矩形区域d:解解, 1),(d)d,(2 yxfyxy

15、xfxyd10 , 10 yx上连续上连续, 且且求求 f (x, y) .设设 dyxyxfid)d,(i1),(2 yxfxyi两边积分两边积分, 得得 ddyxyxyxfdddd),( 11i1 i1dd10102 iyyxxi dyxxyidd21412 ii2 i.41),(xyyxf xoy11id例例 2511计算二重积分计算二重积分d2 d)1(221yxd d)1(222 yxd极坐标极坐标,d|1|22 dyx例例将将d分成分成d1与与d2两部分两部分.d1其中其中解解yox122 yx d|1|22 dyx由于由于 d)1(221yxd 10220d)1(drrr 8 d

16、)1(222 yxd直角坐标直角坐标 1122102d)1(dxyyxx3.3.被积函数带绝对值、最大被积函数带绝对值、最大( (小小) )值符号的积分值符号的积分.10 , 10),( yxyxd26 d)1(222 yxd 1122102d)1(dxyyxx 101132d32xyyyxx 102322d)1(3232xxx 102d)32(xx 10232d)1(32xxi3231 其中其中 10232d)1(xxitxsin 204dcostt.16322143 .318 因此因此 d|1|22dyx.3143188 8d)1(221 yxd2711,dd,max|2 dyxyxxy其

17、中其中 .10 , 10),( yxyxd选择适当的坐标计算选择适当的坐标计算: xyo2xy xy 解解原式原式 = 1d3d2d 1dd,max|2dyxyxxy 2dd,max|2dyxyxxy 3dd,max|2dyxyxxy例例2811,dd,max|2 dyxyxxy其中其中 .10 , 10),( yxyxd选择适当的坐标计算选择适当的坐标计算: xyo解解原式原式 = 1d3d2d 1210d)(dxyyxyx xxyxxyx2d)(d210 20210d)(dxyxyxx.4011 2xy xy 例例29 计算计算,dd|)|(| dyxyx0, 1|:| xyxd解解 积分

18、区域积分区域d关于关于x轴对称轴对称,被积函数关于被积函数关于y为偶函数为偶函数.原式原式=记记d1为为d的的y0的部分的部分. yxyxdd|)|(| 1dd)(2dyxxy xyxyx1001d)(d2则则21d32 xyod111 1 yx1 1 yx30,)( 为连续函数为连续函数设设tf证明证明 daattatfyxyxfd|)|)(dd)().0(2| ,2| aayaxd常数常数为矩形域：为矩形域：其中其中xoy证证2ax 2a2a2a dyxyxfdd)( 2222d)(daaaayyxfxtyx 22daaxtydd 2ax 2a ttfd)(交换积分次序交换积分次序xot2a 2a2a2a xttfdd)( xttfdd)(0a 2a 2at 2at 0a2a累次积分累次积分d法一法一31 xttfdd)