第5章时变电磁场(电磁场与电磁波)

1、1第第5章、时变电磁场章、时变电磁场 5.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律5.2 位移电流位移电流5.3 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组5.4 时变电磁场的边界条件时变电磁场的边界条件5.5 坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量5.6 波动方程波动方程5.7 动态位与滞后位动态位与滞后位5.8 时谐电磁场时谐电磁场5.9 电磁对偶性（略）电磁对偶性（略）5.10 似稳电磁场（略）似稳电磁场（略）2静态场静态场场大小不随时间发生改变（静电场，恒定磁场）场大小不随时间发生改变（静电场，恒定磁场）特性：电场和磁场相互独立，互不影响特性：电场和磁场相互独立，互不影响 特性：电场和磁场相互

2、激励，从而形成不可分隔的特性：电场和磁场相互激励，从而形成不可分隔的统一的整体，称为电磁场统一的整体，称为电磁场 时变场时变场：场的大小随时间发生改变：场的大小随时间发生改变5.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律3一、电磁感应现象一、电磁感应现象 实验表明实验表明：当穿过导体回路的磁通量发生变化时，：当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中会出现感应电流。回路中会出现感应电流。电磁感应现象电磁感应现象 4NSBv二、楞次定律二、楞次定律 闭合的导线回路中所闭合的导线回路中所出现的感应电流，总是使出现的感应电流，总是使它自己所激发的磁场反抗它自己所激发的磁场反抗任何引发电磁感应的原因任何引

3、发电磁感应的原因（反抗相对运动、磁场变（反抗相对运动、磁场变化或线圈变形等）化或线圈变形等）.F5NBSvNSBv用楞次定律判断感应电流方向II6 楞次定律是能量楞次定律是能量守恒定律的一种表现守恒定律的一种表现viI 维持滑杆运动必须外加一力，此过程为外力克维持滑杆运动必须外加一力，此过程为外力克服安培力做功转化为焦耳热服安培力做功转化为焦耳热.机械能机械能焦耳热焦耳热 楞次定律楞次定律 闭合的导线回路中所出现的感应电闭合的导线回路中所出现的感应电流，总是使它自己所激发的磁场反抗任何引发电磁流，总是使它自己所激发的磁场反抗任何引发电磁感应的原因感应的原因.mF+ + + + + + + +

4、+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +B7 当穿过闭合回路所围当穿过闭合回路所围面积的磁通量发生变化时，面积的磁通量发生变化时，回路中会产生感应电动势，回路中会产生感应电动势，且感应电动势正比于磁通且感应电动势正比于磁通量对时间变化率的负值量对时间变化率的负值.三、法拉第电磁感应定律三、法拉第电磁感应定律SddB dSdtdt 闭合回路由闭合回路由 N 匝密绕线圈组成匝密绕线圈组成 1Niidddtdt 8四、法拉第电磁感应定律微分形式四、法拉第电磁感应定律微分形式 . 令感应电场为令感应电场为 inEinldEdldt

5、如果空间同时还存在由静止电荷产生的如果空间同时还存在由静止电荷产生的保守电保守电场场 ，则，则总电场总电场 cininllllE dlEdlEdlEdllSddE dlB dSdtdt cEcinEEE感应电动势感应电动势感应电场感应电场9lSSdBE dlB dSdSdtt 根据根据斯托克斯斯托克斯(Stokes)定理定理()SSBEdSdSt 上式对上式对任意任意面积均成立面积均成立BEt lSddE dlB dSdtdt 当当回路静止回路静止时时法拉第电磁感应定律微分形式法拉第电磁感应定律微分形式 10BEt 法拉第电磁感应定律微分形式法拉第电磁感应定律微分形式 物理意义：随时间变化的磁

6、场将产生电场。物理意义：随时间变化的磁场将产生电场。 讨讨 论论对法拉第电磁感应定律的讨论对法拉第电磁感应定律的讨论 式中等式右边为式中等式右边为B对对t的偏导数，该式用于分析时变场的偏导数，该式用于分析时变场式中的式中的E是磁场随时间变化而激发的，称为感应电场是磁场随时间变化而激发的，称为感应电场感应电场是有旋场，磁场随时间变化处会激发旋涡状感应电场是有旋场，磁场随时间变化处会激发旋涡状的电场的电场对任意回路（不一定有导体存在）成立对任意回路（不一定有导体存在）成立磁场不随时间变化时，有磁场不随时间变化时，有 ，与静电场的形式，与静电场的形式相同，可见静电场是时变场的特殊情况相同，可见静电场

7、是时变场的特殊情况0E11SSCdBB dSdS(B v) dldtt 当当磁场不磁场不随时间随时间变化变化时时 CSCdE dlB dS(vB) dldt v 导体中的感应电场实际上是导体中单位电荷所受的导体中的感应电场实际上是导体中单位电荷所受的洛仑兹力，同时也可以说明，感应电场是由于电荷在磁洛仑兹力，同时也可以说明，感应电场是由于电荷在磁场中运动而形成的场中运动而形成的. FEvBq FqvB 当导体当导体回路回路以速度以速度 运动运动时时,可以证明可以证明12 例例 设有一半径为设有一半径为R ,高度为高度为h 的铝圆盘的铝圆盘, 其电导其电导率为率为 . 把圆盘放在磁感强度为把圆盘放

8、在磁感强度为 的均匀磁场中的均匀磁场中, 磁磁场方向垂直盘面场方向垂直盘面.设磁场随时间变化设磁场随时间变化, 且且 为一常量为一常量.求盘内的感应电流值求盘内的感应电流值.（圆盘内感应电流自（圆盘内感应电流自己的磁场略去不计）己的磁场略去不计）BktBddRBhrrdrrdh13已知已知, R, h, , BktBdd求求I解解 如图取一半径为如图取一半径为 ,宽度宽度为为 ,高度为高度为 的圆环的圆环.rrd h则圆环中的感生电动势的值为则圆环中的感生电动势的值为SLstBlEddddkiE代入已知条件得代入已知条件得2i dddrkstBSE又又rhrRd 21 d所以所以rrkhId2

9、 drrdrrdh14rrkhId2 d由计算得圆环中电流由计算得圆环中电流于是圆盘中的感应电流为于是圆盘中的感应电流为RrrkhII0d2 dhRk241rrdrrdh15五、涡电流五、涡电流 感应电流不仅感应电流不仅能在导电回能在导电回 路内出路内出现，而且当现，而且当大块导大块导体体与磁场有相对运与磁场有相对运动或处在变化的磁动或处在变化的磁场中时，在这块导场中时，在这块导体中也会激起感应体中也会激起感应电流电流.这种在大块导这种在大块导体内流动的感应电体内流动的感应电流流,叫做叫做涡电流涡电流 , 简简称涡流称涡流. 应用：热效应、电磁阻尼效应应用：热效应、电磁阻尼效应16一、安培环路

10、定律的局限性一、安培环路定律的局限性IsjlHSL1dd+-I（以（以 L 为边做任意曲面为边做任意曲面 S ）IlHldssj d恒定磁场中恒定磁场中,安培环路定律安培环路定律0dd2SLsjlH1S2SL结论结论:恒定磁场中推导得到的安培环路定律不实用恒定磁场中推导得到的安培环路定律不实用于时变场问题于时变场问题5.2 位移电流位移电流17二、位移电流假说二、位移电流假说 在电容板之间，不存在自由电流，但存在随时间在电容板之间，不存在自由电流，但存在随时间变化的电场。变化的电场。 为了克服安培环路定律的局限性，麦克斯韦提出为了克服安培环路定律的局限性，麦克斯韦提出了位移电流假说：了位移电流

11、假说：在电容器之间，存在着因变化的电在电容器之间，存在着因变化的电场而形成的电流，其性质与传导电流完全不同场而形成的电流，其性质与传导电流完全不同,量值与量值与回路中自由电流相等回路中自由电流相等.由电流连续性方程由电流连续性方程,知在极板间，有知在极板间，有cSdqJdSdt cSSdJdSD dSdt cSSDJdSdSt ()0cSDJdSt 18定义定义:位移电流位移电流密度密度 ()0cSDJdSt 全电流密度全电流密度ScdcDJJJJt cJ 式中式中 为为传导电流传导电流dDJt 0sSJdS 全电流遵从电流守恒定律全电流遵从电流守恒定律19三、安培环路定律广义形式三、安培环路

12、定律广义形式()ScLSSDH dlJdSJdSt 由一般情况下由一般情况下,时变场空间同时存在时变场空间同时存在真实电流真实电流（传（传导电流）和导电流）和位移电流位移电流()cSSDH dSJdSt cDHJt 广义安培环路定律广义安培环路定律物理意义物理意义：随时间变化的电场能产生磁场：随时间变化的电场能产生磁场201）全电流是连续的；）全电流是连续的；2）位移电流和传导电流一样激发磁场；）位移电流和传导电流一样激发磁场；3）传导电流产生焦耳热，位移电流不产生焦耳热）传导电流产生焦耳热，位移电流不产生焦耳热.+-dIcI 全电流全电流dcsIII位移电流和传导电流的比较位移电流和传导电流

13、的比较21讨讨 论论对安培环路定律和位移电流的讨论对安培环路定律和位移电流的讨论 时变场情况下，磁场仍是有旋场，但旋涡源除传导电时变场情况下，磁场仍是有旋场，但旋涡源除传导电流外，还有位移电流流外，还有位移电流.位移电流代表电场随时间的变化率，当电场发生变化位移电流代表电场随时间的变化率，当电场发生变化时，会形成磁场的旋涡源（位移电流），从而激发起时，会形成磁场的旋涡源（位移电流），从而激发起磁场磁场.推广的安培环路定律物理意义：随时间变化的电场推广的安培环路定律物理意义：随时间变化的电场会激发磁场会激发磁场.位移电流是一种假想电流，由麦克斯韦用数学方法位移电流是一种假想电流，由麦克斯韦用数学

14、方法引入，但在此假说的基础上，麦克斯韦预言了电磁波引入，但在此假说的基础上，麦克斯韦预言了电磁波的存在，而赫兹通过实验证明了电磁波确实存在，从的存在，而赫兹通过实验证明了电磁波确实存在，从而反过来证明了位移电流理论的正确性而反过来证明了位移电流理论的正确性. 22 例例 计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的比计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的比值。设铜中的电场为值。设铜中的电场为E0sint，铜的电导率铜的电导率=5.8107S/m, 0。tEEJcsin0tEtEtDJdcos0ffJJcd1979106 . 9108 . 5103612 解解： 铜中的传导电流大小为铜中的传导电流大小

15、为 23麦克斯韦方程组是揭示了时变电磁场基本性质的基麦克斯韦方程组是揭示了时变电磁场基本性质的基本方程组本方程组时变电磁场中，电场和磁场相互激励，形成统一不时变电磁场中，电场和磁场相互激励，形成统一不可分的整体可分的整体 一、麦克斯韦方程组的微分形式一、麦克斯韦方程组的微分形式 0B DBEt cDHJt 推广的安培环路定律推广的安培环路定律 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 磁通连续性原理磁通连续性原理 高斯定理高斯定理 5.3 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组24变化的电场和变化的磁场变化的电场和变化的磁场二、麦克斯韦方程组的积分形式二、麦克斯韦方程组的积分形式 lSDH dlJd St

16、lSBE dldSt 0SB dS SVD dSdV 真实源（变化的电流和电荷）真实源（变化的电流和电荷）时变电磁场的时变电磁场的源源：注意注意25三、麦克斯韦方程组的限定形式三、麦克斯韦方程组的限定形式 在媒质中，场量之间必须满足媒质的本构关系。在媒质中，场量之间必须满足媒质的本构关系。在线性、各向同性媒质中：在线性、各向同性媒质中： DEBH JE 将将本构关系本构关系代入麦克斯韦方程组，则得代入麦克斯韦方程组，则得0H ()EHEt EHEt 麦克斯韦方程组限定形式麦克斯韦方程组限定形式 注：麦克斯韦方程组限定形注：麦克斯韦方程组限定形式与式与媒质特性媒质特性相关相关 26麦克斯韦方程组

17、揭示的麦克斯韦方程组揭示的物理涵义物理涵义时变电场的时变电场的激发源激发源除电荷以外，还有变化的磁场；时除电荷以外，还有变化的磁场；时变磁场的激发源除传导电流以外，还有变化的电场变磁场的激发源除传导电流以外，还有变化的电场 电场和磁场电场和磁场互为激发源互为激发源，相互激发，相互激发 电场和磁场不再相互独立，而是电场和磁场不再相互独立，而是相互关联相互关联，构成一，构成一个整体个整体电磁场，电场和磁场分别为电磁场的两个电磁场，电场和磁场分别为电磁场的两个物理量物理量 麦克斯韦方程预言了电磁波的存在，且已被事实麦克斯韦方程预言了电磁波的存在，且已被事实所证明所证明 说明说明：静态场只是时变场的一

18、种：静态场只是时变场的一种特殊情况特殊情况 27例例 已知在无源的自由空间中，已知在无源的自由空间中， 0cos()xEe Etz其中其中E0、为常数，求为常数，求H000 xyzxeeeHExyztE 解解：所谓无源，就是所研究区域内没有场源电流和：所谓无源，就是所研究区域内没有场源电流和电荷电荷，即即J=0, =0。2800sin()yxyzxyze Etze He He Ht 由上式可以写出：由上式可以写出： 00cos()yEHetz 00cos()yEHtz 00sin()yHEtzt0,0 xzHH29麦克斯韦方程组可以应用于任何麦克斯韦方程组可以应用于任何连续的连续的介质内部介质

19、内部在两种介质界面上，介质性质有突变，电磁场也会突变在两种介质界面上，介质性质有突变，电磁场也会突变 推导边界条件的依据是麦克斯韦方程组的推导边界条件的依据是麦克斯韦方程组的积分形式积分形式 分界面两边电磁场按照某种规律突变，称这种突变关分界面两边电磁场按照某种规律突变，称这种突变关系为电磁场的系为电磁场的边值关系边值关系或或边界条件边界条件 一、边界条件的一般形式一、边界条件的一般形式 lSDH dlJdSt 1H 2H L1磁场强度的边界条件磁场强度的边界条件 H 5.4 时变电磁场的边界条件时变电磁场的边界条件30麦克斯韦方程组的积分形式麦克斯韦方程组的积分形式 lSDH dlJd St

20、 lSBE dldSt 0SB dS SVD dSdV 31lSDH dlJdSt SttJHH2112()SnHHJ 写成写成矢量形式矢量形式 11220()hSSDH sinH sinllimJ dSdSt 1200limlimtthhIDHHhhl ht 1H 2H L结论结论：磁场强度在不同媒：磁场强度在不同媒质分界面两侧的切向分量质分界面两侧的切向分量不不连续连续，其差值恰好等于分界，其差值恰好等于分界面上的电流面密度面上的电流面密度H 32lSBE dldSt 12ttEE120limtthBEEht 21()0nEE写成写成矢量形式矢量形式 结论结论：电场强度在不同媒质分界面两侧

21、的切向：电场强度在不同媒质分界面两侧的切向分量分量连续连续 电场强度的边界条件电场强度的边界条件 EE1E2EL1233磁感应强度的边界条件磁感应强度的边界条件 120Bn SBn S 12nnBB写成写成矢量形式矢量形式 21()0nBB 0SB ds 结论结论： 磁感应强度在不同媒质分界面两侧的法向分量磁感应强度在不同媒质分界面两侧的法向分量连续连续B 34电通密度的边界条件电通密度的边界条件 2D121DSVD dSdV 21SDn SDn SqS 21nnSDD21()SnDD写成写成矢量形式矢量形式 结论结论：电通密度在不同媒质分界面两侧的法向分量：电通密度在不同媒质分界面两侧的法向

22、分量不不连续连续，其差值等于分界面上自由电荷面密度，其差值等于分界面上自由电荷面密度 D35二、理想介质分界面上的边界条件二、理想介质分界面上的边界条件理想介质是指导电率为零的媒质，理想介质是指导电率为零的媒质， 0在理想介质内部和表面上，不存在自由电荷和传导电流在理想介质内部和表面上，不存在自由电荷和传导电流 12()SnHHJ 21()0nEE21()0nBB 21()SnDD12ttHH12ttEE12nnBB12nnDD结论结论：在理想介质分界面上，矢量：在理想介质分界面上，矢量切向切向连续连续在理想介质分解面上，矢量在理想介质分解面上，矢量法向法向连续连续EH B D36三、理想导体

23、表面上的边界条件三、理想导体表面上的边界条件 理想导体是电导率为无穷大的导体理想导体是电导率为无穷大的导体 电场强度和磁感应强度均为零电场强度和磁感应强度均为零 表面上，一般存在自由电荷和传导电流表面上，一般存在自由电荷和传导电流 设区域设区域2为理想导体，区域为理想导体，区域1为介质，为介质，SnHJ 0nE12()SnHHJ 21()0nEEtSHJ0tE 2nD2nB2tE2tH有，为零有，为零37SnHJ 0nE0n B Sn D 12()SnHHJ 21()0nEE21()0nBB 21()SnDDtSHJ0tE 0nB nSD理想介质和理想导体只是理想介质和理想导体只是理论上理论上

24、存在。在存在。在实际应用中，某些媒质导电率极小或者极大，则可视实际应用中，某些媒质导电率极小或者极大，则可视作理想介质或理想导体进行处理作理想介质或理想导体进行处理 注意注意38例例 设区域设区域(z0)的的媒质参数媒质参数r2=5, r2=20, 2=0。区域。区域中的电场强度为中的电场强度为 88160cos(15 105 )20cos(15 105 )(/)xEetztzV m区域区域中的中的电场强度电场强度为为 82cos(15 105 )(/)xEe Atz V m试求试求：(1) 常数常数A；(2) 磁场强度磁场强度H1和和H2；(3) 证明在证明在z=0处处H1和和H2满足边界条

25、件。满足边界条件。 39解：解：(1) 在无耗媒质的分界面在无耗媒质的分界面z=0处，处， 有有 88160 cos(15 10 )20 cos(15 10 )xEett由于由于E1和和E2恰好为切向电场，恰好为切向电场， mVA/80880 cos(15 10 )xet82cos(15 10 )xEe At40 (2) 根据根据麦克斯韦方程麦克斯韦方程 111HEt 所以所以 1111111yEHEett 所以所以 8180.1592 cos(15105 )0.0531 cos(15105 )(/)yHetztzA m 8811300 sin(15 105 )100 sin(15 105 )

26、yetztz 41同理，同理， 可得可得 820.1061 cos(15 1050 )(/)yHetzA m (3) 将将z=0代入代入(2)中得中得 810.106 cos(15 10 )yHet 820.106 cos(15 10 )yHet 42例 在由理想导电壁( )限定的区域 内存在一个以下各式表示的电磁场 0 xa0sinsinyaxEHkzta 0sinsinxaxHH kkzta0coscoszxHHkzta这个电磁场满足的边界条件如何？导电壁上电流密度值如何？43分析：对于理想导体：1. 内部的电场强度和磁场强度均为零！3. 表面可能有感应电流和自由电荷！2.电场强度切向分量

27、和磁场强度法向分量为零！44解：在 面上， 0 x 00sinsin0yaEHkzta 0 xH 000coscoscoszHHkztHkzta在 面上， xa0sinsin0yaaEHkzta 0 xH 00coscoscoszaHHkztHkzta 说明：在理想导体表面，不存在电场切向分量；也不存在磁场法向分量！45在 面上，电流密度为 0 x 0sxJnH0 xxxzzxHHeee0 xzzxHee0zyxH e0cos()yHkzt e在 面上，电流密度为 xasx aJnHxxxzzx aHH eeexzzx aHeezyx aHe0cos()yHkzt e46 能量守恒定律能量守恒

28、定律是一切物质运动过程遵守的普遍规律，作是一切物质运动过程遵守的普遍规律，作为特殊形态的物质，电磁场及其运动过程也是遵守这一规律。为特殊形态的物质，电磁场及其运动过程也是遵守这一规律。 一、电磁场能量密度和能流密度一、电磁场能量密度和能流密度 电磁场的能量密度：它表示单位体积中电磁场的能量，电磁场的能量密度：它表示单位体积中电磁场的能量，为电场能量和磁场能量之和为电场能量和磁场能量之和. . 电场能量密度电场能量密度： 磁场能量密度磁场能量密度： 电磁波能量密度电磁波能量密度： 211( )( )( )22ewD rE rE r 22111( )( )( )( )222mwB rH rH rB

29、 r 221()2emwwwEH5.5 坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量471电磁场的电磁场的能量流密度能量流密度：电磁波：电磁波电磁振荡定向运动电磁振荡定向运动伴随电磁场能量移动，其流动情况用电磁场能量流密度伴随电磁场能量移动，其流动情况用电磁场能量流密度（能流密度）（能流密度）s s表示，其表示，其数值数值为单位时间垂直流过单位为单位时间垂直流过单位面积的能量，面积的能量，方向方向为能量流动方向为能量流动方向. . 二、坡印廷定理和坡印廷矢量二、坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理的数学推导坡印廷定理的数学推导 DHJt BEt HEEH BDHE JEtt ()()()EHHEE

30、H 利用利用矢量恒等式矢量恒等式 48()BDEHHEE Jtt 2211()()()22EHHEE Jtt ()mewwEHE Jtt 坡印廷定理微分形式坡印廷定理微分形式 ()emSVVVdEHdSw dVw dVE JdVdt ()()meVVwwEH dVE J dVtt 将坡印廷定理微分形式在将坡印廷定理微分形式在一定体积一定体积V V内内进行进行积分积分49坡印廷定理的坡印廷定理的物理意义物理意义 设区域设区域v v中电磁场能量随时间减少，由于能量守恒，中电磁场能量随时间减少，由于能量守恒，减少的能量可能通过边界流出，或因对减少的能量可能通过边界流出，或因对v v中电荷做功而中电荷

31、做功而消耗，即消耗，即 减少量减少量 = = 流出量流出量 + + 消耗量消耗量 ()emSVdEHdSWWE JdVdt 坡印廷定理积分形式坡印廷定理积分形式 ()emSVdWWEHdSE JdVdt 坡印廷定理坡印廷定理物理意义物理意义：流入流入体积体积v v内的内的电磁功率电磁功率等于体等于体积积v v内内电磁能量的增加率电磁能量的增加率与体积与体积v v内内损耗的电磁功率损耗的电磁功率之和。之和。250表示流入闭合面表示流入闭合面s s的电磁功率，因此的电磁功率，因此坡印廷矢量坡印廷矢量()SEHdS EH 为一与能流密度有关的矢量，称为为一与能流密度有关的矢量，称为坡印廷矢量坡印廷矢

32、量 定义定义：坡印廷矢量（用符号：坡印廷矢量（用符号 表示）表示） 瞬时瞬时坡印廷矢量坡印廷矢量(Poynting vector)(Poynting vector) ( )( )( )S tE tH t 3S 51关于坡印廷矢量的关于坡印廷矢量的说明说明：上式中坡印廷矢量为时间上式中坡印廷矢量为时间t的函数，表示的函数，表示瞬时瞬时功率功率 流密度流密度公式中公式中E,H表达式应为场量的表达式应为场量的实数实数表达式表达式坡印廷矢量的坡印廷矢量的大小大小表示表示单位时间单位时间内通过内通过垂直垂直于能量于能量传输方向的传输方向的单位面积单位面积的电磁能量的电磁能量 坡印廷矢量的坡印廷矢量的方向

33、方向即为电磁能量传播方向即为电磁能量传播方向瞬时瞬时坡印廷矢量坡印廷矢量 ( )( )( )S tE tH t 52时变电磁场的时变电磁场的平均坡印廷矢量平均坡印廷矢量 对某些时变场，电场和磁场随时间呈周期性变化，对某些时变场，电场和磁场随时间呈周期性变化，此时求解一个周期内通过某个平面的电磁能量，才能反此时求解一个周期内通过某个平面的电磁能量，才能反映电磁能量的传递情况映电磁能量的传递情况 平均坡印廷矢量平均坡印廷矢量：将瞬时形式坡印廷矢量在一个周期：将瞬时形式坡印廷矢量在一个周期内取平均，用内取平均，用 ; ;即即: : 4avS 0011( )( )( )TTavSS t dtE tH

34、t dtTT 与时间与时间t t无关无关 avS 注意注意: : 53()rUEe arbbrlna22zUISEHebr lna 解解：分别根据：分别根据高斯定理高斯定理和和安培环路定律安培环路定律，可以求出同轴，可以求出同轴线内、线内、 外导体间的外导体间的电场电场和和磁场磁场： 例例 一同轴线的内导体半径为一同轴线的内导体半径为a，外导体半径为，外导体半径为b，内、，内、外导体间为空气，内、外导体均为理想导体，载有直流电外导体间为空气，内、外导体均为理想导体，载有直流电流流I，内、，内、 外导体间的电压为外导体间的电压为U。求同轴线的能流密度矢。求同轴线的能流密度矢量和传输功率。量和传输

35、功率。()2IHearbr 能流密度矢量能流密度矢量54 上式说明电磁能量沿上式说明电磁能量沿z轴方向流动，由电源向负载轴方向流动，由电源向负载传输。传输。 通过同轴线内、外导体间任一横截面的通过同轴线内、外导体间任一横截面的功率功率为为 222bSaUIPS dSrdrUIbr lna 这一结果与电路理论中熟知的这一结果与电路理论中熟知的结果一致结果一致。 55 考虑媒质考虑媒质均匀均匀、线性线性、各向同性各向同性的的无源无源区域区域(J=0, =0)且且 的情况，这时麦克斯韦方程变为的情况，这时麦克斯韦方程变为 0H 0EHEt EHt 0B DBEt cDHJt 05.6 波动方程波动方

36、程562()EE 2220HHt HEt 2()()EEHt 2220EEt20EEttEtt 无源无源区域区域无源区无源区电场电场波动方程波动方程无源区无源区磁场磁场波动方程波动方程57 例如在直角坐标系中，由例如在直角坐标系中，由 的矢量波动方程可以的矢量波动方程可以得到三个得到三个标量波动方程标量波动方程： 222222220 xxxxEEEExyzt222222220yyyyEEEExyzt222222220zzzzEEEExyztE58 从上方程可以看出：时变电磁场的电场场量和磁从上方程可以看出：时变电磁场的电场场量和磁场场量在空间中是以波动形式变化的，因此称时变电场场量在空间中是以

37、波动形式变化的，因此称时变电磁场为磁场为电磁波电磁波。 通过解波动方程，可以求出空间中电场场量和磁通过解波动方程，可以求出空间中电场场量和磁场场量的分布情况场场量的分布情况. .但需要注意的是：但需要注意的是：只有少数特殊情只有少数特殊情况况可以通过直接求解波动方程求解。可以通过直接求解波动方程求解。2220HHt 2220EEt无源区无源区电场电场波动方程波动方程无源区无源区磁场磁场波动方程波动方程说明：说明：59 例例 在无源区求均匀导电媒质中电场强度和磁场强在无源区求均匀导电媒质中电场强度和磁场强度满足的波动方程。度满足的波动方程。HEt 2()EEHt 解解：考虑到各向同性、线性、均匀

38、的导电媒质和：考虑到各向同性、线性、均匀的导电媒质和无源区域，由麦克斯韦方程有无源区域，由麦克斯韦方程有 2()EEEEtt 60所以，电场强度所以，电场强度 满足的波动方程为满足的波动方程为 2220EEEtt同理同理，可得磁场强度满足的波动方程为，可得磁场强度满足的波动方程为 2220HHHtt E615-24 导出各向同性均匀媒质（无运流电流）中的E和H满足 的非齐次波动方程(P175)222ct HHJ2221cttJEE分析： 在该媒质中无运流电流，也就是没有外部强加的电流源，但有传导电流；另外还有自由电荷。62BA 0B ()BEAtt 0AEt AEt AEt ( , )A r

39、t ( , )r t动态动态矢量位矢量位动态动态标量位标量位一、动态位一、动态位 说明说明：1 1、时变场电场场量和磁场场量均为时间和空间、时变场电场场量和磁场场量均为时间和空间位置的函数，因此位置的函数，因此动态矢量位动态矢量位和和动态标量位动态标量位也为时间和也为时间和空间位置的函数。空间位置的函数。2 2、由于时变场电场和磁场为统一整体，因此动态标量、由于时变场电场和磁场为统一整体，因此动态标量位和动态矢量位也是一个位和动态矢量位也是一个统一的整体统一的整体。5.7 动态位与滞后位动态位与滞后位63洛伦兹规范条件洛伦兹规范条件的引入的引入由于在定义中动态矢量位函数仅仅确定了其旋度式，由于

40、在定义中动态矢量位函数仅仅确定了其旋度式，而没有确定散度式，因此满足定义的矢量位函数有而没有确定散度式，因此满足定义的矢量位函数有无限多个无限多个。为了使时变电磁场场量和动态位之间满。为了使时变电磁场场量和动态位之间满足足一一对应一一对应关系，须引入额外的关系，须引入额外的限定条件限定条件规范规范条件。条件。对于时变场来说，动态位函数常用的规范条件为洛对于时变场来说，动态位函数常用的规范条件为洛伦兹规范条件伦兹规范条件At 洛伦兹规范条件洛伦兹规范条件AEt BA 0B 64二、达朗贝尔方程二、达朗贝尔方程 AEt 2()At 1EHAJt AJtt 222()AAAJtt 65222AAJA

41、tt At 222AAJt 222t 达朗贝尔方程达朗贝尔方程 222()AAAJtt 2()At 66关于关于动态位动态位和和达朗贝尔方程达朗贝尔方程的讨论的讨论引入动态标量位和矢量位引入动态标量位和矢量位可以简化可以简化电磁问题的电磁问题的求解求解原因原因：1 1、标量位和矢量位方程、标量位和矢量位方程形式相同形式相同，解解形式相同形式相同2 2、矢量位矢量位方向与方向与电流方向电流方向相同相同从达朗贝尔方程可知：从达朗贝尔方程可知：电荷电荷是产生是产生标量标量位的位的源源，电电流流是产生是产生矢量矢量位的位的源源动态标量位和矢量位是以动态标量位和矢量位是以波动的形式波动的形式随时间变化而

42、随时间变化而变化的变化的讨论讨论67 例例 已知时变电磁场中矢量位已知时变电磁场中矢量位 ， 其中其中Am、k是常数，求电场强度、磁场强度和坡印廷矢量。是常数，求电场强度、磁场强度和坡印廷矢量。 sin()xmAe Atkz 解：解： cos()xyymABAee kAtkzt 0,ACt cos()xmAEeAtkzt cos()ymkHeAtkz 68坡印廷矢量的坡印廷矢量的瞬时值瞬时值为为 ( )( )( )S tE tH t cos()cos()xymmkeAtkzeAtkz 2cos()zmkeAtkz69第五章 作业5-1 5-15 5-17 5-26 5-2870一、正弦场的复数

43、表示一、正弦场的复数表示 电磁场随时间作正弦变化时，在直角坐标系内，电磁场随时间作正弦变化时，在直角坐标系内，电场强度的三个分量可以电场强度的三个分量可以余弦形式余弦形式表示为表示为()( )cos( )xxmxE r,tErtr()( )cos( )yymyEr,tErtr()( )cos( )zzmzE r,tErtrcossinjej欧拉公式欧拉公式 5.8 时谐电磁场时谐电磁场711复数振幅复数振幅 电场的三个分量用复数的实部表示为电场的三个分量用复数的实部表示为j( )j()( )( )xtrtxxmxmE r,tRe Er eRe Er ej( )j()( )( )ytrtyymy

44、mEr,tRe Er eRe Er ej( )j()( )( )ztrtzzmzmE r,tRe Er eRe Er ej( )( )( )xrxmxmErEr ej( )( )( )yrymymErEr ej( )( )( )zrzmzmErEr e复数振幅复数振幅 72j te：时间因子(time factor, time dependence)R. F. Harrington. Time-Harmonic Electromagnetic Fields“正弦电磁场”进一步阅读文献：John Wiley & Sons, Inc. 2001732复矢量复矢量 (complex vect

45、or) ()()()()xyzxyzE r,tE r,t eE r,t eE r,t e j( )tmRer eEj( )( )( )txyzxmymzmReEr eEr eEr ee ( )( )( )( )xyzmxmymzmrEr eEr eEr e E称为电场强度称为电场强度复矢量复矢量。 74同理同理 j( , )( )tmH r tRer e Hj()( )tmD r,tRer e Dj()( )tmB r,tRer e Bj()( )tmJ r,tRer e J复矢量：每个“分量”都是“复数”的矢量。 它只是一个记号! 不能像实矢量一样用三维空间中的箭矢表示； 不能用复平面上的一

46、个复数表示。复矢量运算规则：首先按矢量规则；其次按复数规则。 每个复数振幅可以用复平面上的一个复数表示！753场量对时间微积分的复数表示场量对时间微积分的复数表示 22j2j22()( )( )ttmmE r,tRer eRer ett EEjj1()d( )d( )ttmmE r,ttRer etRer ej EE场量为场量为标量标量时的运算同此时的运算同此 j()j( )tmr,tRer etjjj()( )( )( )tttmmmE r,tRer eRer eRe jr ettt EEE764场量对空间求导的复数表示场量对空间求导的复数表示 jj()( )( )ttmmE r,tRer

47、eRer e EEjj()( )( )ttmmE r,tRer eRer e EE可以看出，jt1dtj注意：这两个等价和时间因子有关！77二、麦克斯韦方程组的复数形式二、麦克斯韦方程组的复数形式 把时谐场的上述复数表示法把时谐场的上述复数表示法代入麦克斯韦方程组代入麦克斯韦方程组 jjRe( )Re( )j( )ttmmmr erreHJD( )( )j( )mmmrrrHJD 一般来说，仅实部相等并不意味着复数相等；但一般来说，仅实部相等并不意味着复数相等；但上式须在上式须在任意时刻任意时刻都成立，于是就只有等式两边的复都成立，于是就只有等式两边的复数相等。约掉时间因子数相等。约掉时间因子

48、 j te为了方便，约定不写出时间因子，去掉下标为了方便，约定不写出时间因子，去掉下标 jHJD 78同理同理可得可得jEB jHJD 0B D好处： 将四维 三维 时域问题变为频域问题79例 将场矢量的瞬时值改为复数，复数改为瞬时值。 00sinsincoscosxzaxxH kkztHkztaaeeH(1) 解：00sinsincoscosxzaxxH kkztHkztaaeeH00sincoscoscos2xzaxxH ktkzHtkzaaee00sinRecosRejt kzjt kzxzaxxH kjeHeaaee所以， 复矢量为 00sincosjkzjkzmxzaxxjH keH

49、eaaeeH80882.5 cos 100.5cos 10dItt (2)解：882.5 cos 100.5cos 10dItt 88100.5102.5Re2.5Rejtjtee 则jdmIe (3) sin02cos sincosj xxmEjEze 解：sin02cossincosj xxmEjEze sin202cos sincosjj xEzeesin202cos sincosjxEze则瞬时值为 00( , , )2cos sincoscossin22cos sincossinsinxEx z tEztxEztx81复介电常数 复磁导率无源区的麦克斯韦方程可推出波

50、动方程. 有源区的麦克斯韦方程无法推出波动方程。为此要引入复介电常数jjjj HEEEE定义 j为复介电常数。 0rj相对复介电常数 虚部来源：媒质的导电性 (来源之一) 1. 媒质的导电性822. 介质色散 在时变场中， 为是频率的函数，因此是复数。 j这种介质被称为色散介质(dispersive media) 色散也会造成热损耗 (介质损耗) 热损耗公式：*1Re2avdPE J211Re*Re22jE jE* Ej222111Re222EjEE若 ，则 。 00avP 83磁介质在高频时，也有色散特性，也为复数。 j表征介质损耗程度用损耗角正切(loss tangent) tane对磁介

51、质tanm介质分类：当 为空间坐标的函数，介质为非均匀介质, 当 为频率的函数，为色散介质 当 为场的函数，称为非线性介质(nonlinear media) , , 电磁特性与外加电磁场方向有关的介质，称为各向异性介质 (anisotropic media).84 理想介质85对正弦电磁场，当场矢量用复数表示时：对正弦电磁场，当场矢量用复数表示时： 1( )ReRe*2j tj tj tE tEeEeE e1( )ReRe*2j tj tj tH tHeHeHe从而坡印廷矢量从而坡印廷矢量瞬时值瞬时值可写为可写为 11( )( )( )*22j tj tj tj tS tE tH tEeE eHeHe三、复坡印廷矢量三、复坡印廷矢量 221 11 1*2 22 2jtjtEHEHEHeEHe211Re*Re22jtEHEHe86它在一个周期它在一个周期T=2/内的内的平均值平均值为为 TavSHEdttSTS0Re*21Re)(1式中：式中： *