多项式除法经典实用

1、关于多项式除以多项式两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算例如，我们来计算(7x26x2)÷(2x1)，仿照672÷21，计算如下：(7x26x2)÷(2x1)=3x2由上面的计算可知计算步骤大体是，先用除式的第一项2x去除被除式的第一项6x2，得商式的第一项3x，然后用3x去乘除式，把积6x23x写在被除式下面(同类项对齐)，从被除式中减去这个积，得4x2，再把4x2当作新的被除式，按照上面的方法继续计算，直到得出余式为止上式的计算结果，余式等于0如果一个多项式除以另一个多项式的余式为0，我

2、们就说这个多项式能被另一个多项式整除，这时也可说除式能整除被除式整式除法也有不能整除的情况按照某个字母降幂排列的整式除法，当余式不是0而次数低于除式的次数时，除法计算就不能继续进行了，这说明除式不能整除被除式例如，计算(9x22x35)÷(4x3x2)解：所以商式为2x1，余式为2x8与数的带余除法类似，上面的计算结果有下面的关系：9x22x35(4x3x2)(2xl)(2x8)这里应当注意，按照x的降幂排列，如果被除式有缺项，一定要留出空位当然，也可用补0的办法补足缺项当除式、被除式都按降幂排列时，各项的位置就可以表示所含字母的次数因此，计算时，只须写出系数，算出结果后，再把字母和

3、相应的指数补上去这种方法叫做分离系数法按照分离系数法，上面例题的计算过程如下：于是得到商式=2x1，余式=2x8对于多项式的乘法也可用分离系数法进行计算，例如，(2x35x4)(3x27x8)按分离系数法计算如下：所以，(2x35x4)(3x27x8)=6x514x4x323x212x32如果你有兴趣，作为练习，可用上面的方法计算下面各题1(6x3x21)÷(2x1)2(2x33x4)÷(x3)3(x32x25)(x2x21)4(xy)(x2xyy2)【本讲教育信息】一. 教学内容：单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式 二. 重点、难点整式的除法与

4、我们以前所学的整式的加法、减法、乘法有很多不同，特别是多项式除以多项式，虽然是选学内容，但多项式除以多项式在解决代数式求值，及复杂的因式分解都有很大的用处。 【典型例题】例1 化简求值：，其中，解：    当，时原式    例2 a.         b.        c.         d.

5、以上都不对解析：解这道题如用正规途径应对比等式左右两边系数从左边到右边少了，所以所求代数式的系数为2而最后一项为1，所以所求代数式为。但这是一道选择题可以用代入法把a、b、c四个答案代入试试，很快发现也是a。说明：同学们在做选择题时应选用较为灵活的方法。例3 化简解：原式        例4 计算我们仿照小学学习的多位数除以多位数的法则建立多项式除以多项式的法则所以规则：1. 先把除式与被除式按降幂排列，如果除式与被除式中有缺项，缺项的位置补0。2. 用被除式的第一项除以除式的第一项，得商式的第一项再用这个商式去乘以除式，再

6、把积写在被除式下面（同类项对齐），从被除式中减去这个积再把差当作新的被除式，按照上面的方法继续计算，直到得出余式为止。 例5 计算此题已把除式与被除式按降幂排列好了先用被除式的首项除以除式的首项得商式首项，再用乘以得把它写在被除式下面同类项对齐作减法得（），再把作为新的被除式，用除以得再用乘以得写在下面作减法得0除完。例6 在用多项式除以多项式法则之前，我们观察被除式，发现被除式有缺项，如果忽视这个问题那么按法则去做，则同类项不能对齐。所以应该在缺项的地方补0。现在新的问题出来了，再用除以会得负指数，这是不行的，这时除法已经结束，我们仿照多位数除以多位数把叫做余式。所以说明：如果多项式除以多项

7、式有除不尽的情况，那么写成被除式= 除式×商式+余式余式的定义：当在做多项式除以多项式的除法时，如果新的被除式的最高次项小于除式的最高次项，则这个新的被除式为余式。 例7 已知多项式能被整除求值。解： 多项式能被整除 余式    例8 已知能被整除，求的值。解： 能被整除       例9 已知求的值分析：设法把用含有的代数式表示 说明：在这里我们用除以，有些同学存在困惑怎能做除数，这里作除法是寻找两个多项式之间的关系，并不是除0这一点，同学们要好好体会。 【模拟试题】（答题时间：30分钟）1.

8、 计算 2. 计算 3. 计算4. 已知多项式能被整除且商式是，求的值。5. 如果能被整除，求的值。6. 已知，求7. 确定a的值使多项式能被除余数为1。8. 求除以的商式和余数9. 已知多项式可被和整除，求、的值及此式的因式。15 / 15实用精品文档一、選擇：1. （ ）若多項式a除以多項式b得商式為q，餘式為r，則下列敘述何者恆正確？(a)ar是q的倍式(b)ar是b的因式(c)a是b的倍式(d)b是a的倍式答案a詳解：由題意得：abqr(b)arbq，即ar是b的倍式(c)當r0時，a才是b的倍式(d)當r0時，a是b的倍式，b是a的因式故選(a)2. （ ）若2xxmx6為x2的倍式

9、，則2xxmx6亦為下列何者的倍式？(a)x3 (b)x3 (c)2x3 (d)2x3答案c詳解：因為2xxmx6為x2的倍式所以x2能整除2xxmx6用x2去除2xxmx6得到：62(m10)0解得m72xxmx6(x2)(2x5x3)(x2)(x1)(2x3)故選(c)3. （ ）3x13xaxb是x2x3的倍式，則ab？(a)152 (b)44 (c)38 (d)2答案b詳解：用x2x3除3x13xaxb得：a230，b210所以a23，b21故ab44，選(b)4. （ ）若(x2)和(2x3)都是8xmx17xn的因式，試求n？(a)6 (b)6 (c)12 (d)12答案a詳解：(

10、x2)(2x3)2x27x6用2x27x6除8xmx17xn得：n3(m28)0又m26解得n6，故選(a)5. （ ）若(x2)和(2x3)都是8xmx17xn的因式，則m？(a)26 (b)26 (c)30 (d)30答案a詳解：(x2)(2x3)2x27x6用2x27x6除8xmx17xn得：7(m28)0解上式得：m26，故選(a)6. （ ）若不是2x1的倍式，則下列哪一個不可能是a的值？(a)3(b)1(c)1(d)3答案a詳解：用2x1去除得餘式為a3因為不是2x1的倍式所以餘式a3不可能為0即a值不可能為3故選(a)二、填充：1. 已知x2與4x1都是8x2x41x10的因式，

11、則因式分解8x2x41x10 。答案(x2)(4x1)(2x5)詳解：(x2)(4x1)4x29x2用4x29x2除8x2x41x10得商式為2x5所以8x2x41x10(x2)(4x1)(2x5)2. 如圖，翊寧做了一個多項式直式除法，發現多項式2x3是多項式4xax9xb的因式，其中部分係數以a、b、c、d、e、f表示，則：(1)a ，b ，c ，d ，e ，f 。(2)4xax9xb的另一個因式為 。答案(1)8，9，1，2，3，0(2)2xx3詳解：(1)由直式除法可知：2c2，c1e3c3d20，d2f0(整除，餘式為0)b90，b9(2)2x2cx32x2x3是4xax9xb的因式

12、3. 若x3xm為5x9xnx12的因式，則m，n。答案2，28詳解：用x3xm除5x9xnx12得：(n5m)180，126m0解得：m2，n284. 已知xx1為xk的因式，則：(1)k 。(2)因式分解xk 。答案(1)1 (2)(xx1)(x1)詳解：(1)用xx1除xk得：k10，故k1(2) 用xx1除xk得到的商式為x1所以xkx1(x1)( xx1)5. 若x1與x2皆為x6xkx6的因式，則：(1)k 。(2)因式分解x6xkx6 。答案(1)11 (2)(x1)(x2)(x3)詳解：(1)(x1)(x2)x23x2用x23x2除x6xkx6得：(k2)90解得：k11(2)

13、用x23x2除x6xkx6得商式為：x3所以x6xkx6(x1)(x2)(x3)6. 已知xxx1有因式x1，則因式分解xxx1 。答案(x1)(x1)詳解：用x0x1(缺項補0)除xxx1得商式為：x1故xxx1(x1)(x1)7. 若xmxnx10為x2與x5的倍式，則：(1)(m , n) 。(2)xmxnx10的因式分解為 。答案(1)(2 , 13)(2)(x2)(x5)(x1)詳解：(1)(x2)(x5)x23x10用x23x10除xmxnx10得：(n10)3(m3)01010(m3)0解得：m2，n13故(m , n)(2 , 13)(2) 用x23x10除x2x13x10得商

14、式為x1所以x2x13x10(x23x10)( x1)(x2)(x5)(x1)8. 已知3x11x27x14是x3x7的倍式，則因式分解3x11x27x14 。答案(x3x7)(3x2)詳解：用x3x7除3x11x27x14得商式為：3x2即3x11x27x14)( x3x7) (3x29. 設2x1是4xmx6的因式，則：(1)m 。(2)x2是否為4xmx6的因式？答： 。(3)因式分解4xmx6 。答案(1)13 (2)是(3)(2x1)(x2)(2x3)詳解：(1)用2x1除4x0x2mx6(缺項補0)得：6(m1)0解得：m13(2)用x2除4x0x213x6(缺項補0)得商式為4x

15、28x3，餘式為0，整除故)x2是4xmx6的因式(3)由(2)知：4x13x6(x2)( 4x28x3)用2x1除4x28x3得商式為2x3，餘式為0即4x28x3(2x1)( 2x3)故4x13x6(2x1)(x2)(2x3)10. 若xx1是多項式2x5xax3的因式，則a 。答案1詳解：用xx1除2x5xax3得(a2)30故a111. 設x1及2x3都是6xax13xb的因式，則2ab 。答案2詳解：(x1)(2x3)2x2x3用2x2x3除6xax13xb得：4(a3)0，b(a3)0解得：a5，b12故2ab2×5(12)212. 若多項式(x2)(x2x4x8)有因式

16、x4，則此多項式可因式分解為 答案(x2)(x4)(x2)用x0x4(缺項補0)除x2x4x8得商式為：x2所以x2x4x8(x4)(x2)故(x2)(x2x4x8(x2)(x4)(x2)13. 若xax3xb為x2x1的倍式，則：(1)a。 (2)b。答案(1)0 (2)2詳解：用x2x1除xax3xb得：42(a2)0，b(a2)0解得：a0，b214. 欲使x3x1為x4的倍式，則必須在x3x1中加上常數k，則k 。答案5詳解：用x4除x3x1k得餘式為：k5因為x3x1為x4的倍式所以k50故k5三、計算：1. 若x2xb為3x2xax12的因式，則：(1)a、b的值分別為何？(2)因

17、式分解3x2xax12？答案(1)a1，b3 (2)(x2x3)(3x4)詳解：(1)因為x2xb為3x2xax12的因式所以x2xb可以整除3x2xax12即(a3b)(8)0a3b8(1)124b0b3(2)將(2)式代入(1)式中，解出a1(2)由上面的除法可知(3x2xax12)÷(x2xb)3x4也就是說3x2xax12可以因式分解為(x2x3)(3x4) 2. 若2x3xb是2x7xax2的因式，則：(1)a、b之值分別為何？(2)承上題，請因式分解2x7xax2。答案(1)a5，b1(2)(2x3x1)(x2)詳解：(1)2x3xb是2x7xax2的因式2x3xb能整除2x7xax2則(2)2x7xax2(2x3xb)(x2)又a5，b12x7x5x2(2x3x1)(x2)3. 已知6x11x19x6是x3與2x1的倍式，則因式分解6x11x19x6？答案(x3)(2x1)(3x2)詳解：因為(x3)(2x1)2x5x3而且6x11x19x6是x3與2x1的倍式所以6x11x19