2020版高中数学第4章章末练习无答案新人教A版必修2通用

1、第4章章末练习 一、选择题1.圆心在x轴上,半径为3,且过点(-1,3)的圆的方程为().a.x2+(y+1)2=3b.(x+1)2+y2=3c.x2+(y+1)2=9d.(x+1)2+y2=9【解析】 设圆心坐标为(a,0),则由题意知=3,解得a=-1,故圆的方程为(x+1)2+y2=9.【答案】d2.圆(x+2)2+(y-4)2=4关于直线x-y+8=0对称的圆的方程为().a.(x+3)2+(y+2)2=4b.(x+4)2+(y-6)2=4c.(x-4)2+(y-6)2=4d.(x+6)2+(y+4)2=4【解析】圆心(-2,4)关于直线的对称点为(-4,6),又因为圆的半径不变,圆的

2、方程为:(x+4)2+(y-6)2=4.【答案】b3.过点(0,6)且与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切的直线的方程为().a.12x-5y+30=0b.12x+5y-30=0c.x=0或12x+5y-30=0d.x=0或12x-5y+30=0【解析】 设过点(0,6)的直线的斜率为k,则直线方程为kx-y+6=0,因为直线与圆相切,所以=1,即k=-,则直线方程为12x+5y-30=0.又因y轴也与圆相切,故选c.【答案】c4.已知m(-2,1),n(2,3), 则以mn为斜边的直角三角形的直角顶点p的轨迹方程是().a.x2+(y-2)2=5b.x2+(y-2)2=15c.x2+(y-

3、2)2=5(x2y-4)d.x2+(y-2)2=15(x2y-4)【解析】设p(x,y),rtpmn中mn2=pm2+pn2,代入整理得:x2+(y-2)2=5,又因为p,m,n三点构成三角形,三点不能共线,故x2y-4.【答案】c5.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点c,则以c为圆心,半径为的圆的方程为().a.x2+y2-2x+4y=0b.x2+y2+2x+4y=0c.x2+y2+2x-4y=0d.x2+y2-2x-4y=0【解析】由已知得c点坐标为(-1,2),又圆c的半径为,所以圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5,化成一般形式为 x2+y2+2x-4y=0

4、.【答案】c6.已知点p(a,b)在圆c:x2+y2=4内,则直线ax+by+1=0与圆c的位置关系是().a.相交 b.相切 c.相离 d.不能确定【解析】 点p(a,b)在圆x2+y2=4内,a2+b2<4,圆心到直线距离d=>,<2.直线与圆c位置关系不能确定.【答案】d7.圆c1:x2+y2+4x-4y+7=0和圆c2:x2+y2-4x-10y+13=0的公切线有().a.2条b.3条c.4条d.以上均错【解析】 将圆的方程化为标准方程分别为:圆c1:(x+2)2+(y-2)2=1,圆c2:(x-2)2+(y-5)2=16,即圆c1:圆心(-2,2),半径r1=1,圆

5、c2:圆心(2,5),半径r2=4,|c1c2|=5=r1+r2,c1与c2外切,公切线有3条.【答案】b8.已知点a(-1,1)和圆c:(x-5)2+(y-7)2=4,则一束光线从点a经x轴反射到圆周c上的最短路程为().a.6-2b.8c.4d.10【解析】 点a关于x轴的对称点为a'(-1,-1),a'与圆心(5,7)的距离为=10.所以所求最短路程为10-2=8.【答案】b9.若圆心在y轴上、半径为的圆c位于x轴下侧,且被直线x+2y=0截得的弦长为4,则圆c的方程为().a.(x-)2+y2=5b.(x+)2+y2=5c.x2+(y-)2=5d.x2+(y+)2=5【

6、解析】 设圆心为(0,a)(a<0),因为截得的弦长为4,所以弦心距为1,则d=1,解得a=-,所以所求圆的方程为:x2+(y+)2=5.【答案】d10.已知p(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,pa、pb是圆c:x2+y2-2y=0的两条切线,a、b是切点,若四边形pacb的最小面积是2,则k的值为().a.3b.c.2d.2【解析】 由圆的方程得x2+(y-1)2=1,所以圆心为(0,1),半径为r=1,如下图所示四边形的面积s=2spbc,所以若四边形pacb的最小面积是2,则spbc的最小值为1,而spbc=r|pb|,即|pb|的最小值为2,此时|pc|最

7、小且为圆心到直线的距离,即d=,即k2=4,因为k>0,所以k=2,选d.【答案】d11.若集合a=(x,y)|y=,b=(x,y)|y=x+b,当ab时,则b的取值范围是().a.-3,3b.-3,3c.-3,3d.-3,3【解析】 y=可化为x2+y2=9(y0),依题意直线y=x+b与半圆x2+y2=9(y0)有交点,如图,-3b3.故选b.【答案】b12.已知直线+=1(a、b是非零常数)与圆x2+y2=100有公共点,且公共点的横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有().a.60条b.66条c.72条d.78条【解析】 在第一象限内圆x2+y2=100上的整数点只有(6,8

8、),(8,6),又点(10,0),(0,10)在圆上,由对称性知x2+y2=100上横、纵坐标均为整数的点共有12个:(6,8),(8,6),(6,-8),(-8,6),(-6,8),(8,-6),(-6,-8),(-8,-6),(10,0),(0,10),(-10,0),(0,-10).过这12个点的圆x2+y2=100的切线有12条,割线有=66条,共78条.其中垂直于坐标轴的有14条,过原点与坐标轴不垂直的有4条,共有78-18=60条.【答案】a二、填空题13.昨夜狂风大作,暴雨滂沱,公园里一棵大树被刮断,直立部分高约1米,倒地部分长约7米.请你以此为背景建立恰当的坐标系,写出这个直角

9、三角形的外接圆的一个方程:. 【解析】 建立如图所示的坐标系,o(0,0),a(0,1),b(7,0),设圆的方程为:x2+y2+dx+ey+f=0,则解得 所以这个直角三角形的外接圆的一个方程x2+y2-7x-y=0.【答案】 x2+y2-7x-y=0(答案不唯一)14.在z轴上求一点a使它到点b(1,1,2)与点c(1,3,-2)的距离相等,则a点坐标为 . 【解析】设a(0,0,z),则有|ab|=|ac|,即2+(z-2)2=10+(z+2)2,解得z=-1.【答案】(0,0,-1)15.已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一

10、个圆,则实数m的取值范围为;该圆半径r的取值范围是. 【解析】 将圆方程配方得:(x-m-3)2+(y-4m2+1)2=-7m2+6m+1,由-7m2+6m+1>0,得m的取值范围是-<m<1;由于r=,0<r.【答案】(-,1)(0,)16.如图,a,b是直线l上的两点,且ab=2.两个半径相等的动圆分别与l相切于a,b点,c是这两个圆的公共点,则圆弧ac,cb与线段ab围成图形面积s的最大值是.  【解析】当两圆相外切时,面积最大,s=2×1-2×=2-.【答案】2-三、解答题17.已知圆c经过a(5,2)、b(-1,4)两点

11、,圆心在x轴上,求圆c的方程.【解析】 设圆心坐标为c(a,0),则ac=bc,即=,解得a=1,所以半径r=2,所以圆c的方程是(x-1)2+y2=20.18.已知三点a(3,2),b(5,-3),c(-1,3),以点p(2,-1)为圆心做一个圆,使abc三点中一点在圆外,一点在圆内,一点在圆上,求此圆的标准方程.【解析】 由已知可得:pa=,pb=,pc=.pc最大,pa最小,以点p为圆心作圆,使得点a在圆内,点b在圆上,点c在圆外.圆的半径为,圆的标准方程为:(x-2)2+(y+1)2=13.19.一束光线l自a(-3,3)发出,射到x轴上,被x轴反射后与圆c:x2+y2-4x-4y+7

12、=0有公共点.(1)求反射光线通过圆心c时,光线l所在直线的方程;(2)求在x轴上,反射点m的横坐标的取值范围.【解析】 圆c的方程可化为(x-2)2+(y-2)2=1.(1)圆心c关于x轴的对称点为c'(2,-2),过点a,c'的直线的方程x+y=0即为光线l所在直线的方程.(2)a关于x轴的对称点为a'(-3,-3),设过点a'的直线为y+3=k(x+3).当该直线与圆c相切时,有=1,解得k=或k=,所以过点a'的圆c的两条切线分别为y+3=(x+3),y+3=(x+3).令y=0,得x1=-,x2=1,所以在x轴上反射点m的横坐标的取值范围是-,

13、1.20.已知圆c1:x2+y2=2和圆c2,直线l与圆c1相切于点(1,1);圆c2的圆心在射线2x-y=0(x0)上,圆c2过原点,且被直线l截得的弦长为4.(1)求直线l的方程;(2)求圆c2的方程.【解析】 (1)(法一)点(1,1)在圆c1:x2+y2=2上,直线l的方程为x+y=2,即x+y-2=0.(法二)当直线l垂直x轴时,不符合题意.当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y-1=k(x-1),即kx-y-k+1=0.则圆心c1(0,0)到直线l的距离d=r=,即=,解得k=-1,直线l的方程为x+y-2=0. (2)设圆c2的方程为:(x-a)2+(y-2a)2=r2(a0

14、).圆c2过原点,5a2=r2, 圆c2的方程为(x-a)2+(y-2a)2=5a2(a0).圆c2被直线l截得的弦长为4,圆心c2(a,2a)到直线l:x+y-2=0的距离d=.整理得:a2+12a-28=0,解得a=2或a=-14.a0,a=2,圆c2的方程为:(x-2)2+(y-4)2=20.21.某城市规划交通,拟在半径为50 m的高架圆形道东侧某处开一个出口,以与圆形道相切的方式,引伸一条直道接到距圆形道圆心正北150 m处的道路上.试建立适当的坐标系,写出引伸直道的方程,并计算出口应开在圆形道的何处?【解析】 以圆形道圆心o为原点,正北方向为y轴正向,建立如图直角坐标系,则圆形道的

15、方程为x2+y2=502,引伸直道与北向道路的交接点c的坐标为(0,150),设出口开在圆形道的点p处,问题的几何表述是:在点c处引圆o的切线,求切点p的坐标,设点p坐标为(x0,y0),因为点p是pc与圆o的切点,则pc方程可以表示为x0x+y0y=502,因为点c在pc上,以其坐标(0,150)代入得150y0=2500,解得y0=,因为p在圆o上,以其坐标(x0,y0)代入圆方程,又得+()2=502,x0=±,据实际问题,因为点p在圆心o的东侧,故应取x0=,所以引伸直道在所建坐标系中的方程为(2x+y)=502,即2x+y-150=0,出口点p在所建坐标系中的坐标为(,).

16、22.已知圆o:x2+y2=1,圆c:(x-2)2+(y-4)2=1,由两圆外一点p(a,b)引两圆切线pa、pb,切点分别为a、b,如图,满足|pa|=|pb|.(1)求实数a、b间满足的等量关系;(2)求切线长|pa|的最小值;(3)是否存在以p为圆心的圆,使它与圆o相内切并且与圆c相外切?若存在,求出圆p的方程;若不存在,说明理由.【解析】 (1)如图连接po、pc,|pa|=|pb|,|oa|=|cb|=1,|po|2=|pc|2,从而a2+b2=(a-2)2+(b-4)2,化简得实数a、b间满足的等量关系为:a+2b-5=0.(2)由a+2b-5=0,得a=-2b+5,|pa|=.当

17、b=2时,|pa|min=2.(3)不存在.圆o和圆c的半径均为1,若存在半径为r的圆p,与圆o相内切并且与圆c相外切,则有|po|=r-1且|pc|=r+1.于是有:|pc|-|po|=2,即|pc|=|po|+2,从而得=+2,两边平方,整理得=4-(a+2b),将a+2b=5代入上式得:=-1<0,故满足条件的实数a、b不存在,不存在符合题设条件的圆p.必修2模块测试评估卷一、选择题1.如图所示,甲、乙、丙是三个几何体的三视图,甲、乙、丙对应的标号正确的是().长方体 圆锥三棱锥圆柱a.b.c.d.【解析】 由这三个几何体的三视图可以判断出选a.【答案】a2.已知a(1,2),b(

18、k,1),c(3,-2)三点共线,则k的值为().a.-b.c.d.-【解析】 因为a(1,2),b(k,1),c(3,-2)三点共线,所以kab=kac,即=,所以k=.【答案】c3.充满氢气的球形飞艇可以供游客旅行,现有一飞艇若要它的半径扩大为原来的2倍,那么它的体积应增大到原来的() .a.2倍b.8倍c.4倍 d.倍【解析】 由于球的体积公式为v=r3,半径扩大2倍,则体积扩大到原来的8倍,故选b.【答案】b4.若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+ky=0相交于一点,则k的值等于().a. 2b. c.-2d.-【解析】 解方程组 代入x+ky=0得k=-,选d.【答案】

19、d5.已知下列命题:若直线l上有无数个点不在平面内,则l.若直线l与平面平行,则l与平面内的任意一条直线都平行.如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条直线也与这个平面平行.若直线l与平面平行,则l与平面内的任意一条直线都没有公共点.其中正确的个数为().a.0b.1c.2d.3【解析】 借助长方体模型分析,如图:a1a上有无数个点在平面abcd外,但aa1与平面abcd相交,不正确;a1b1平面abcd,显然a1b1不平行于bd,不正确;a1b1ab,a1b1平面abcd,但ab平面abcd,不正确;l与平面平行,则l与平面无公共点,即l与平面内的所有直线都没有公共点,所以正确

20、.应选b.【答案】b6.经过三点o(0,0),a(1,1),b(4,2)的圆的方程为().a.x2+y2-8x+6y=0b.x2+y2-8x-6y=0 c.x2+y2+8x+6y=0d.x2+y2+8x-6y=0【解析】 设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0(也可设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,但运算较繁),将三点o(0,0),a(1,1),b(4,2)代入圆的方程得解得d=-8,e=6,f=0,故选a项.也可将三个点分别代入各选项,只有a满足.【答案】a7.在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的几何体的体积是().a.

21、b.c.d.【解析】 截去的每个小三棱锥的体积为××××=×()4,则剩余部分体积v=1-×()4×8=1-=.【答案】d8.经过圆x2+2x+y2=0的圆心g,且与直线x+y=0垂直的直线方程是().a.x-y+1=0b.x-y-1=0c.x+y-1=0d.x+y+1=0【解析】由已知得k=1,且直线过圆心g(-1,0),故直线方程为y=x+1,即x-y+1=0,故选a.【答案】a9.定义运算=ad-bc,则符合条件=0的点p(x,y)的轨迹方程为().a.(x-1)2+4y2=1b.(x-1)2-4y2=1c.(x-1)

22、2+y2=1d.(x-1)2-y2=1【解析】 由定义运算可知=(x-1)2-1+4y2=0,即(x-1)2+4y2=1,故选a.【答案】a10.圆心为c(1,-2),半径为r=2的圆在x轴上截得的弦长为().a.8b.6c.6d.4【解析】 如图,cd=2,cb=2bd=4ab=8,故选a.【答案】a11.矩形abcd中,ab=4,bc=3,沿ac将矩形abcd折成一个直二面角b-ac-d,则四面体abcd的四个顶点所在球的体积为().a.b.c.d.【解析】 连接矩形abcd的对角线ac、bd交于o,则ao=bo=co=do,翻折后仍然ao=bo=co=do,则o为四面体abcd四个顶点所

23、在球的圆心,因此四面体abcd四个顶点所在球的半径为,故球的体积为()3=.选c.【答案】c12.已知直线ax+by+c=0(abc0)与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形().a.是锐角三角形b.是直角三角形 c.是钝角三角形d.不存在【解析】由题意知圆心坐标为(0,0),半径为1,因为直线和圆相切,利用点到直线距离公式得:d=1,即a2+b2=c2,所以,以|a|、|b|、|c|为边的三角形是直角三角形.选b.【答案】b二、填空题13.点p(1,2,3)关于oz轴的对称点的坐标为. 【解析】 空间一点关于某坐标轴对称点的求法:点m(x,y,z)关

24、于oz轴的对称点的坐标为m'(-x,-y,z),也可以借助图形,抓住对称特点来求,所以答案是(-1,-2,3).【答案】(-1,-2,3)14.点m(3,4)到圆x2+y2=1上一点的最大值等于,最小值等于. 【解析】 设圆心为o,半径r=1,则点m(3,4)到圆x2+y2=1上一点的最大值dmax=|om|+r,即dmax=+1=6;点m(3,4)到圆x2+y2=1上一点的最小值dmin=|om|-r=4 .【答案】6415.已知圆柱的高为h,底面半径为r,轴截面为矩形a1abb1,在母线aa1上有一点p,且pa=a,在母线bb1上取一点q,使b1q=b,则圆柱侧面上p、q

25、两点的最短距离为. 【解析】 如图甲,沿圆柱的母线aa1剪开得矩形(如图乙),过点p作peab交bb1于点e,则pe=ab=·2r=r,qe=h-a-b.pq=.【答案】16.如图,点s在平面abc外,sbac,sb=ac=2,e、f分别是sc和ab的中点,则ef的长等于. 【解析】 取sa的中点h,连接eh、fh.因为sbac,则ehfh,在efh中,应用勾股定理得ef=.【答案】三、解答题17.已知两条直线l1:3x+4y-2=0与l2:2x+y+2=0的交点为p,求满足下列条件的直线方程:(1)过点p且过原点的直线方程;(2)过点p且垂直于直线l3:x-2y

26、-1=0的直线l的方程.【解析】 由 解得 点p的坐标是(-2,2).(1)所求直线方程为y=-x.(2)所求直线l与l3垂直,设直线l的方程为 2x+y+c=0,把点p的坐标代入得 2×(-2)+2+c=0 ,解得c=2.所求直线l的方程为 2x+y+2=0.18.如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋,如果冰淇淋融化了,会溢出杯子吗?请用你的计算数据说明理由.【解析】 因为v半球=×r3=××43(cm3),v圆锥=r2h=×42×12=64(cm3),所以v半球<v圆锥,所以冰淇淋融化了,不会溢出杯子.19.已

27、知直线l:y=2x+1和圆c:x2+y2=4,(1)试判断直线和圆的位置关系.(2)求过点p(-1,2)且与圆c相切的直线的方程.【解析】 (1)因为x2+y2=4,所以圆心为(0,0),半径r=2.又因为y=2x+1,所以圆心到直线的距离为d=<2=r.所以直线与圆相交. (2)设过点p(-1,2)且与圆c相切的直线的方程的斜率为k,则切线方程为kx-y+k+2=0,由=2,化简得3k2-4k=0,解得k=0或k=.所以切线方程为y=2或4x-3y+10=0.20.如图,在正方体abcda1b1c1d1中,e、f分别是bb1、cd的中点.(1)证明:add1f;(2)证明:平面aed平面a1fd1.【解析】 (1)由正方体abcd-a1b1c1d1,可得ad面d1dcc1.因为d1f面d1dcc1, 所以add1f.(2)由正方体可知a1d1面a1abb1,所以a1d1ae.取ab的中点g,