数学物理方程深圳大学

1、一、数学物理方程的基本概念与定义一、数学物理方程的基本概念与定义二、热传导方程的介绍与推导二、热传导方程的介绍与推导三、生物热传导方程的介绍三、生物热传导方程的介绍数学物理方程：数学物理方程：它们反映了未知函数关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约它们反映了未知函数关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系，同时刻画了物理现象和过程的基本规律。关系，同时刻画了物理现象和过程的基本规律。偏微分方程：偏微分方程：含有未知函数以及未知函数的某些偏导数的等式。含有未知函数以及未知函数的某些偏导数的等式。常微分方程：常微分方程：是求带有导数的方程，比如说是求带有导数的方程，比如说y+4y-2

2、=0y+4y-2=0这样子的。这样子的。（多个变量的微分方程）（多个变量的微分方程）（单变量的微分方程）（单变量的微分方程）比如，设u=u(x,y,.)的未知函数，那么关于u的偏微分方程的一般形式：0,.,.,）（yxuuuyxfu=u(x,y,.).,yuxu基本概念偏微分方程的阶：偏微分方程的阶：出现在偏微分方程中的最高阶偏导数的阶数。出现在偏微分方程中的最高阶偏导数的阶数。 线性偏微分方程：线性偏微分方程：如果一个偏微分方程对未知函数及它的所有偏导数都是线性的，且它们如果一个偏微分方程对未知函数及它的所有偏导数都是线性的，且它们的系数都仅依赖于自变量的已知函数。的系数都仅依赖于自变量的已

3、知函数。（波动方程）如：),(2txfuauxxtt（热传导方程）),(2txfuauxxt（拉普拉斯方程）0zzyyxxuuu（冲击波方程）如：0 xtuuu方程）（kdvuuuuxxxxt0非线性方程非线性方程0,.,.,）（yxuuuyxf偏微分方程：设方程的阶数为m，函数u=u(x,y,.)在区域中具有m阶的连续偏导数，且在中满足方程，则称u为区域内方程的解，又称古典解。进一步，如果方程的解u的表达式中含有m个任意函数，则称u是方程的通解或者一般解。哈密顿算子：）（xnxx,.,2,1222222122nxxxn维拉普拉斯算子：22222212nxxx222222z),y,(x,zuy

4、uxuuuu关于函数关于函数 的的n维波动方程是维波动方程是 ),(21txxxuun为常数02auautt当当n=1时，它描述弦的振动或声波在管中的传播时，它描述弦的振动或声波在管中的传播当当n=2时，它描述浅水面上的水波或薄膜的振动时，它描述浅水面上的水波或薄膜的振动当当n=3时，它描述声波或光波在空间中的传播时，它描述声波或光波在空间中的传播（自变量t表示时间，x=(x1,x2,.,xn)表示n维空间变量。）当空间中一个导热体的密度和比热容都是常数时，其温度分布函数当空间中一个导热体的密度和比热容都是常数时，其温度分布函数u(x,y,z,t)满足三维热传导方程：满足三维热传导方程：)uu

5、(uzzyyxx2 aut其中其中a0为常数为常数研究粒子的扩散过程时，例如，气体的扩散、液体的渗透研究粒子的扩散过程时，例如，气体的扩散、液体的渗透以及半导体材料中杂质的扩散，也会遇到类似的方程以及半导体材料中杂质的扩散，也会遇到类似的方程关于函数关于函数 的的n维拉普拉斯方程是：维拉普拉斯方程是：02211xnxnxxxxuuuu)x,x,(xn21u应用中非常广泛，该方程可以用来描述无源静电场的电势、应用中非常广泛，该方程可以用来描述无源静电场的电势、引力场、弹性薄膜的平衡位移、稳态热传导问题的温度分布引力场、弹性薄膜的平衡位移、稳态热传导问题的温度分布等物理现象。等物理现象。 所谓热传

6、导，就是由于物体内部温度分布的不均匀，热所谓热传导，就是由于物体内部温度分布的不均匀，热量要从物体内温度较高的点流向温度较低的点。量要从物体内温度较高的点流向温度较低的点。物体内部温度的分布状态物体内部温度的分布状态无热源情况：在物体中任取一闭曲面s ，u(x,y,z,t)表示物体在t时刻，m=m(x,y,z)处的温度。根据根据fourier热传导定律，在无热传导定律，在无穷小时段穷小时段dt内流过的一个无穷内流过的一个无穷小面积小面积ds的热量的热量dq与时间与时间dt、曲面面积曲面面积ds以及物体温度以及物体温度u沿沿曲面曲面ds的外法线的外法线n的方向导数的方向导数三者成正比，即三者成正

7、比，即nudsdtnukdq对于对于内任一封闭曲面内任一封闭曲面s，设其所，设其所包围的空间区域为包围的空间区域为v，那么从时，那么从时刻刻t1到到t2经曲面经曲面s流出的热量为：流出的热量为：dsdtnuq t2t1s1k-dsdtnukdq 211ttsdqqdsdtnuq t2t1s1k-设物体的比热容为设物体的比热容为c（x,y,z），密度为），密度为（x,y,z）,则在区域则在区域v内，温度由内，温度由u（x,y,z,t1）到）到u（x,y,z,t2）所需的热量为：）所需的热量为： vtvdvdttuccqt212t2)dvz,y,u(x,-t1)z,y,u(x,12qq根据热量守恒

8、定律，有：根据热量守恒定律，有： 21t21ttstvdsdtnukdvdttuc0uk21 dvdtxxtucttv假如函数假如函数u（x,y,z,t）关于）关于x,y,z具有二阶连续偏导数，关于具有二阶连续偏导数，关于t具有一阶连续偏导数，那么由高斯公式得：具有一阶连续偏导数，那么由高斯公式得：dvdtzukzyukyxukxdvdttucttvttv 2121fdvfdsv 21t21ttstvdsdtnukdvdttuc0uk21 dvdtxxtucttv由于时间间隔由于时间间隔t1,t2及区域及区域v是任意的，且被积函数是连是任意的，且被积函数是连续的，因此在任何时刻续的，因此在任何

9、时刻t，在，在内任意一点都有：内任意一点都有：0ukxxtucxxtucukxxtucuk（非均匀的各向同性体的热传导方程）（非均匀的各向同性体的热传导方程）如果物体时均匀的，此时如果物体时均匀的，此时k,c,为常数，移项得：为常数，移项得：，得：另cka 2uazuyuxuatu22222222xxcktuu（三维热传导方程）（三维热传导方程）若考虑物体内有热源，其热源密度为若考虑物体内有热源，其热源密度为f(x,y,z,t),则有热源的热则有热源的热传导方程为：传导方程为：cfuautt)z,y,(x,2类似的，当考虑的物体时一根均匀细杆，如果它的侧面绝类似的，当考虑的物体时一根均匀细杆，

10、如果它的侧面绝缘且在同一截面上的温度分布相同，那么温度缘且在同一截面上的温度分布相同，那么温度u只与只与x,t有有关，三维热传导方程变成一维热传导方程：关，三维热传导方程变成一维热传导方程：xxtuau2考虑一块薄板的热传导，并且薄板的侧面绝热，则可得二维考虑一块薄板的热传导，并且薄板的侧面绝热，则可得二维热传导方程：热传导方程：yyxxtuuau2高强度聚集超声（高强度聚集超声（hifu）已成为对局部肿瘤组织及其他病灶）已成为对局部肿瘤组织及其他病灶部位进行消融治疗的一种手段，同时成功的治疗往往需要了部位进行消融治疗的一种手段，同时成功的治疗往往需要了解治疗部位的组织及其周边血管的热学变化特性解治疗部位的组织及其周边血管的热学变化特性.灌注组织的灌注组织的pennes