2021届高考数学二轮考前复习第三篇直击压轴大题搏高分必须攻克的6个热点专题专题5导数与函数的零点课件文

1、专题5导数与函数的零点真题再研析真题再研析提升审题力提升审题力【典例【典例】(12(12分分)(2020)(2020全国全国卷卷) )已知函数已知函数f(xf(x)=e)=ex x-a(x+2).-a(x+2).(1)(1)当当a=1a=1时时, ,讨论讨论f(xf(x) )的单调性的单调性; ;(2)(2)若若f(xf(x) )有两个零点有两个零点, ,求求a a的取值范围的取值范围. .【审题【审题正向思维正向思维】(1)(1)函数求导函数求导解不等式解不等式确定单调区间确定单调区间; ;(2)(2)问题转化问题转化方程有两解方程有两解构造函数构造函数单调性求解单调性求解. .【标准答案【

2、标准答案】(1)(1)当当a=1a=1时时,f(x,f(x)=e)=ex x-(x+2),-(x+2),f(xf(x)=e)=ex x-1,-1,2 2分分令令f(xf(x)0,)0,解得解得x0,x0,)0,解得解得x0,x0,4 4分分所以所以f(xf(x) )的减区间为的减区间为(-,0),(-,0),增区间为增区间为(0,+);(0,+);5 5分分 (2)(2)若若f(xf(x) )有两个零点有两个零点, ,即即e ex x-a(x+2)=0-a(x+2)=0有两个解有两个解, ,因为因为f(-2)=ef(-2)=e-2-20,0,所以所以f(xf(x) )的解一定不是的解一定不是-

3、2,-2,所以所以a= a= 有两个解有两个解, ,令令h(xh(x)= (x-2),)= (x-2), 7 7分分则有则有h(xh(x)= ,)= ,xex2xex2xxx22e (x2)ee (x1)(x2)(x2)令令h(xh(x)0,)0,解得解得x-1,x-1,令令h(xh(x)0,)0,解得解得x-2x-2或或-2x-1,-2x-1,所以函数所以函数h(xh(x) )在在(-,-2)(-,-2)和和(-2,-1)(-2,-1)上单调递减上单调递减, ,在在(-1,+)(-1,+)上单调递增上单调递增, ,9 9分分且当且当x-2x-2时时,h(x,h(x)0,)h(-1)= ,ah

4、(-1)= ,1111分分满足条件的满足条件的a a的取值范围是的取值范围是: .: .1212分分 xex21e1( ,)e【深度解读【深度解读】测测试试目目标标(1)(1)利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性; ;(2)(2)构造函数构造函数, ,结合函数单调性求解结合函数单调性求解测测试试目目标标数学抽象数学抽象: :由零点问题抽象出方程有解由零点问题抽象出方程有解; ;逻辑推理逻辑推理: :函数单调性与方程有解函数单调性与方程有解; ;数学建模数学建模: :构造函数构造函数; ;数学运算数学运算: :函数求导函数求导, ,解不等式解不等式【模拟考场【模拟考场】已知函数已知函

5、数f(xf(x)=e)=ex x-1,g(x)= +x.(-1,g(x)= +x.(其中其中e e是自然对数的底数是自然对数的底数,e=2.718 28,e=2.718 28) )(1)(1)证明证明: :函数函数h(x)=f(x)-g(xh(x)=f(x)-g(x) )在区间在区间(1,2)(1,2)上有零点上有零点; ;(2)(2)说明方程说明方程f(x)=g(xf(x)=g(x) )的根的个数的根的个数. .x【解析】【解析】(1)h(x)=f(x)-g(x(1)h(x)=f(x)-g(x)=e)=ex x-1- -x,-1- -x,所以所以h(1)=eh(1)=e1 1-1- -1=e

6、-30,-1- -1=e-30,-3- 0,又又h(xh(x) )在在(1,2)(1,2)上连续上连续, ,所以所以h(xh(x) )在区间在区间(1,2)(1,2)上有零点上有零点. .(2)(2)由由(1)(1)可知可知h(x)=f(x)-g(xh(x)=f(x)-g(x)=e)=ex x-1- -x.-1- -x.由由g(xg(x)= +x)= +x知知x0,+),x0,+),而而h(0)=0,h(0)=0,则则x=0 x=0为为h(xh(x) )的一个零点的一个零点. .又又h(xh(x) )在在(1,2)(1,2)内有零点内有零点, ,因此因此h(xh(x) )在在0,+)0,+)上

7、至少有两个零点上至少有两个零点. .x122xxh(xh(x)=e)=ex x- -1,- -1,记记(x(x)=e)=ex x- -1,- -1,则则(x(x)=e)=ex x+ +当当x(0,+)x(0,+)时时,(x,(x)0,)0,因此因此(x(x) )在在(0,+)(0,+)上单调递增上单调递增, ,易知易知(x(x) )在在(0,+)(0,+)内至多有一个零点内至多有一个零点, ,即即h(xh(x) )在在(0,+)(0,+)内至多有两个零点内至多有两个零点, ,则则h(xh(x) )在在0,+)0,+)上有且只有两个零点上有且只有两个零点, ,所以方程所以方程f(x)=g(xf(

8、x)=g(x) )的根的个数为的根的个数为2.2.121x2121x2321x.4【考场秘技【考场秘技】1.1.求解函数零点个数问题的三个步骤求解函数零点个数问题的三个步骤第一步第一步: :转化为函数的图象与转化为函数的图象与x x轴轴( (或直线或直线y=k)y=k)在该区间上的交点问题在该区间上的交点问题; ;第二步第二步: :利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值( (最值最值) )、端点值等性质、端点值等性质, ,进而画出其图象进而画出其图象; ;第三步第三步: :结合图象求解结合图象求解. .2.2.根据函数零点情况求参数范围根据函数零点

9、情况求参数范围(1)(1)要注意端点的取舍要注意端点的取舍; ;(2)(2)选择恰当的分类标准进行讨论选择恰当的分类标准进行讨论. .3.3.求与函数零点有关的参数范围的四个技巧求与函数零点有关的参数范围的四个技巧(1)(1)对函数求导对函数求导; ;(2)(2)分析函数在区间分析函数在区间(a,b(a,b) )上的单调情况上的单调情况; ;(3)(3)数形结合分析极值点数形结合分析极值点; ;(4)(4)依据零点的个数确定极值的取值范围依据零点的个数确定极值的取值范围, ,从而得到参数的范围从而得到参数的范围. .【万能模板【万能模板】利用导数研究函数零点的思路利用导数研究函数零点的思路第一

10、步求导数第一步求导数: :利用运算法则求导利用运算法则求导, ,要注意函数的定义域要注意函数的定义域; ;第二步找关系第二步找关系: :根据几何意义根据几何意义, ,极值点极值点, ,极值等寻求等量关系极值等寻求等量关系; ;第三步寻突破第三步寻突破: :利用第一问的结论利用第一问的结论, ,或函数的单调性或函数的单调性, ,结合图形结合图形, ,寻找讨论的依据寻找讨论的依据; ;第四步逐段清第四步逐段清: :分段讨论分段讨论, ,确定每段的结论确定每段的结论; ;第五步得结论第五步得结论: :根据每段的情况根据每段的情况, ,下结论下结论. .【阅卷点评【阅卷点评】1.1.关键分关键分: :

11、解题过程的关键点解题过程的关键点, ,有则给分有则给分, ,无则没分无则没分. .如分类讨论确定是否存在零如分类讨论确定是否存在零点点. .2.2.计算分计算分: :计算准确是根本保证计算准确是根本保证. .3.3.规范分规范分: :审视思路审视思路, ,规划并书写规范步骤规划并书写规范步骤. .4.4.重视转化思想在研究函数零点中的应用重视转化思想在研究函数零点中的应用, ,如方程的解、两函数图象的交点均可如方程的解、两函数图象的交点均可转化为函数零点转化为函数零点, ,充分利用函数的图象与性质充分利用函数的图象与性质, ,借助导数求解借助导数求解. . 1.(1.(参数范围参数范围) )若

12、函数若函数f(xf(x)=ax)=ax3 3-bx+4(a,br),-bx+4(a,br),当当x=2x=2时时, ,函数函数f(xf(x) )有极值有极值- .- .(1)(1)求函数的解析式求函数的解析式; ;(2)(2)求函数的极值求函数的极值; ;(3)(3)若关于若关于x x的方程的方程f(xf(x)=k)=k有三个零点有三个零点, ,求实数求实数k k的取值范围的取值范围. .高考演兵场高考演兵场检验考试力检验考试力431.1.【解析【解析】(1)f(1)f（x x）=3ax=3ax2 2-b,-b,由题意知由题意知 解得解得 故所求的解析式为故所求的解析式为f(xf(x)= x)

13、= x3 3-4x+4-4x+4; ;f (2)12ab0,4f(2)8a2b4,31a,3b4,13(2)(2)由由(1)(1)可得可得f(xf(x)=x)=x2 2-4=(-4=(x x2)(x+22)(x+2),),令令f(xf(x) =0,) =0,得得x=2x=2或或x=-2,x=-2,列表如下列表如下: :所以当所以当x=-2x=-2时时,f(x,f(x) )有极大值有极大值f(-2)= ,f(-2)= ,当当x=2x=2时时,f(x,f(x) )有极小值有极小值f(2)=- ;f(2)=- ;28343(3)(3)由由(2)(2)知知, ,当当x-2x2x2时时,f(x,f(x)

14、 )为增函数为增函数; ;当当-2x2-2x2时时,f(x,f(x) )为减函数为减函数, ,所以函数所以函数f(xf(x)= x)= x3 3-4x+4-4x+4的图象大致如图的图象大致如图, ,由图可知当由图可知当- k - k 时时,f(x,f(x) )与与y=ky=k有三个交点有三个交点, ,所以实数所以实数k k的取值范围为的取值范围为 13283434 28(,)332.(2.(零点个数零点个数) )已知已知f(xf(x)=e)=ex x-mx-mx. .(1)(1)若曲线若曲线y=lny=ln x x在点在点(e(e2 2,2),2)处的切线也与曲线处的切线也与曲线y=f(xy=

15、f(x) )相切相切, ,求实数求实数m m的值的值; ;(2)(2)试讨论函数试讨论函数f(xf(x) )零点的个数零点的个数. .2.2.【解析【解析】(1)(1)曲线曲线y=lny=ln x x在点在点(e(e2 2,2),2)处的切线方程为处的切线方程为y-2= (x-ey-2= (x-e2 2),),即即y= x+1.y= x+1.令切线与曲线令切线与曲线f(xf(x)=e)=ex x-mx-mx相切于点相切于点(x(x0 0, -mx, -mx0 0),),则切线方程为则切线方程为y=( -m)xy=( -m)x- (x- (x0 0-1),-1),所以所以 所以所以 21e21e

16、0 xe0 xe0 xe000 x2xx0eme,ex e1,22(me)1ln(me)1，令令m+em+e-2-2=t,=t,则则t(1-ln t)=1,t(1-ln t)=1,记记g(t)=t(1-ln t),g(t)=1-(1+ln t)=-lng(t)=t(1-ln t),g(t)=1-(1+ln t)=-ln t, t,于是于是,g(t,g(t) )在在(0,1)(0,1)上单调递增上单调递增, ,在在(1,+)(1,+)上单调递减上单调递减, ,所以所以g(t)g(t)maxmax=g(1)=1,=g(1)=1,于是于是t=m+et=m+e-2-2=1,m=1-e=1,m=1-e-

17、2-2. .(2)f(x)=e(2)f(x)=ex x-m,-m,当当m0m0)0恒成立恒成立,f(x,f(x) )在在r r上单调递增上单调递增, ,且且f(0)=10, -10, -10m0时时, ,令令f(xf(x)0,)0,则则xlnxln m, m,即函数即函数f(xf(x) )的增区间是的增区间是(ln(ln m,+), m,+),同理同理, ,减区间是减区间是(-,ln(-,ln m), m),所以所以f(x)f(x)minmin=m(1-ln m).=m(1-ln m).1m1f()em( () )若若0me,0m0,f(x)=m(1-ln m)0,f(x)在在r r上没有零点

18、上没有零点; ;( () )若若m=e,m=e,则则f(xf(x)=e)=ex x-ex-ex有且仅有一个零点有且仅有一个零点; ;( () )若若me,me,则则f(x)f(x)minmin=m(1-ln m)0.=m(1-ln m)eme时时,h(m,h(m) )单调递增单调递增,h(m)h(e,h(m)h(e)0.)0.所以所以f(2ln m)=mf(2ln m)=m2 2-2mln m=m(m-2ln m)m(e-2)0,-2mln m=m(m-2ln m)m(e-2)0,又因为又因为f(0)=10,f(0)=10,2m所以所以f(xf(x) )在在r r上恰有两个零点上恰有两个零点,

19、 ,综上所述综上所述, ,当当0me0me时时, ,函数函数f(xf(x) )没有零点没有零点; ;当当m0meme时时,f(x,f(x) )恰有两个零点恰有两个零点. .3.(3.(零点与单调性零点与单调性) )已知函数已知函数f(x)=ln x-ax(f(x)=ln x-ax(arar).).(1)(1)讨论讨论f(xf(x) )的单调性的单调性; ;(2)(2)若若a=-1,a=-1,当当x0 x0时时, ,函数函数g(xg(x)=x)=x2 2-2mf(-2mf(x)(m0)x)(m0)有且只有一个零点有且只有一个零点, ,求求m m的值的值. .【解析【解析】(1)(1)函数函数f(

20、xf(x) )的定义域为的定义域为( (0,+0,+),),且且f(xf(x)= )= 当当a0a0时时,f(x,f(x)0,)0,所以函数所以函数f(xf(x) )在在( (0,+0,+) )上单调递增上单调递增. .当当a0a0时时, ,令令f(xf(x)=0,)=0,得得x= ,x= ,由由f(xf(x)0)0得得0 x ,0 x ,由由f(xf(x)0) ,x ,所以函数所以函数f(xf(x) )在在 上单调递增上单调递增, ,在在 上单调递减上单调递减. .11axa.xx1a1a1a1(0, )a1( ,)a(2)(2)由题意知由题意知g(xg(x)=x)=x2 2-2mln x-

21、2mx(-2mln x-2mx(m m0),0),则则g(xg(x)= ,x0,)= ,x0,令令g(xg(x)=0,)=0,得得x x1 1= 0(= 0(舍去舍去),),x x2 2= = 当当x(x(0,x0,x2 2) )时时,g(x,g(x)0,g(x)0,g(x)0,g(x)在在( (x x2 2,+,+) )上单调递增上单调递增; ;所以所以g(xg(x) )的最小值为的最小值为g(g(x x2 2),),22x2mx2mx2mm4m22mm4m2，因为函数因为函数g(xg(x) )有且只有一个零点有且只有一个零点, ,所以所以g(g(x x2 2)=0.)=0.由由 得得 所以

22、所以2mln x2mln x2 2+mx+mx2 2-m=0,-m=0,因为因为m0,m0,所以所以2ln x2ln x2 2+x+x2 2-1=0.(-1=0.(* *) )设函数设函数y=2ln x+x-1,y=2ln x+x-1,易知当易知当x0 x0时时, ,该函数是增函数该函数是增函数, ,且当且当x=1x=1时时,y=0,y=0,所以方程所以方程( (* *) )的解为的解为x x2 2=1,=1,所以所以x x2 2= =1,= =1,解得解得m= .m= .22g(x )0,g (x )0,2222222x2mln x2mx0,xmxm0,2mm4m2124.(4.(零点与最值

23、零点与最值) )已知函数已知函数f(xf(x)= )= (1)(1)当当a=-2a=-2时时, ,求求f(xf(x) )的最值的最值; ;(2)(2)讨论讨论f(xf(x) )的零点个数的零点个数. .xx1a(ar)e【解析【解析】(1)(1)因为因为a=-2,a=-2,所以所以f(xf(x) = +2,) = +2,所以所以f(xf(x)=- ,)=- ,令令f(xf(x)0,)0,得得x0;x0;令令f(xf(x)0,)0,x0,则则f(xf(x) )在在( (,0,0) )上单调递增上单调递增, ,在在( (0,+0,+) )上单调递减上单调递减, ,故故f(xf(x) )在在x=0

24、x=0时取得最大值时取得最大值,f(0)=3,f(0)=3,没有最小值没有最小值. .xx1exxe(2)(2)令令f(xf(x)= -a=0,)= -a=0,得得a= .a= .设设g(xg(x)= ,)= ,则则g(xg(x)= )= 当当x0 x0时时,g(x,g(x)0,)0,当当x0 x0,)0,所以所以g(xg(x) )在在( (,0,0) )上单调递增上单调递增, ,在在( (0,+0,+) )上单调递减上单调递减, ,所以所以g(x)g(0)=1,g(x)g(0)=1,而当而当x-1x-1时时,g(x,g(x)0;)0;当当x-1x-1时时,g(x,g(x)0.)1a1时时,

25、,方程方程g(xg(x)=a)=a无解无解, ,即即f(xf(x) )没有零点没有零点; ;当当a=1a=1时时, ,方程方程g(xg(x)=a)=a有且只有一解有且只有一解, ,即即f(xf(x) )有唯一的零点有唯一的零点; ;当当0a10a1a1时时,f(x,f(x) )没有零点没有零点; ;当当a=1a=1或或a0a0时时,f(x,f(x) )有唯一的零点有唯一的零点; ;当当0a10a1时时,f(x,f(x) )有两个零点有两个零点. .5.(5.(零点与极值零点与极值) )已知函数已知函数f(xf(x)=(x+2)ln x+ax)=(x+2)ln x+ax2 2-4x+7a(ar)

26、.-4x+7a(ar).(1)(1)若若a= ,a= ,求函数求函数f(xf(x) )的所有零点的所有零点; ;(2)(2)若若a ,a ,证明函数证明函数f(xf(x) )不存在极值不存在极值. .1212【解析【解析】(1)(1)当当a= a= 时时,f(x,f(x)=)=（x+2x+2）lnln x+ x x+ x2 2-4x+ ,-4x+ ,函数函数f(xf(x) )的定义域为的定义域为( (0,+0,+),),且且f(x)=lnf(x)=ln x+ +x-3. x+ +x-3.设设g(x)=lng(x)=ln x+ +x-3, x+ +x-3,则则g(xg(x)= )= 121272

27、2x2x222212xx2(x2)(x 1)1( x0)xxxx 当当0 x10 x1时时,g(x,g(x)0;)1x1时时,g(x,g(x)0,)0,即函数即函数g(xg(x) )在在( (0,10,1) )上单调递减上单调递减, ,在在( (1,+1,+) )上单调递增上单调递增, ,所以当所以当x0 x0时时,g(x)g(1)=0(,g(x)g(1)=0(当且仅当当且仅当x=1x=1时取等号时取等号).).即当即当x0 x0时时,f(x)0(,f(x)0(当且仅当当且仅当x=1x=1时取等号时取等号).).所以函数所以函数f(xf(x) )在在( (0,+0,+) )上单调递增上单调递增

28、, ,至多有一个零点至多有一个零点. .因为因为f(1)=0,f(1)=0,所以所以x=1x=1是函数是函数f(xf(x) )唯一的零点唯一的零点. .所以若所以若a= ,a= ,则函数则函数f(xf(x) )的所有零点只有的所有零点只有x=1.x=1.12(2)(2)方法一方法一: :因为因为f(xf(x)=()=(x+2x+2)ln x+ax)ln x+ax2 2-4x+7a,-4x+7a,函数函数f(xf(x) )的定义域为的定义域为( (0,+0,+),),且且f(x)=lnf(x)=ln x+ +2ax-4. x+ +2ax-4.当当a a 时时,f(x)ln,f(x)ln x+ +

29、x-3, x+ +x-3,由由(1)(1)知知lnln x+ +x-30. x+ +x-30.即当即当x0 x0时时f(x)0,f(x)0,所以所以f(xf(x) )在在( (0,+0,+) )上单调递增上单调递增. .所以所以f(xf(x) )不存在极值不存在极值. .x2x122x2x方法二方法二: :因为因为f(xf(x)= ()= (x+2x+2)ln x+ax)ln x+ax2 2-4x+7a,-4x+7a,函数函数f(xf(x) )的定义域为的定义域为( (0 0，+),),且且f(f(x x)=ln)=ln x+ +2ax-4. x+ +2ax-4.设设m(x)=lnm(x)=l

30、n x+ +2ax-4, x+ +2ax-4,则则m(xm(x)= +2a= )= +2a= 设设h(xh(x)=2ax)=2ax2 2+x-2(+x-2(x0 x0),),则则m(m(x x) )与与h(h(x x) )同号同号. .当当a a 时时, ,由由h(xh(x)=2ax)=2ax2 2+x-2=0,+x-2=0,解得解得x x1 1= 0,x= 0.= 0.x2xx2x212xx222axx2(x0)x1211 16a4a 11 16a4a可知当可知当0 xx0 xx2 2时时,h(x,h(x)0,)0,即即m(xm(x)0,)xxx2 2时时,h(x,h(x)0,)0,即即m(

31、xm(x)0,)0,所以所以f(xf(x) )在在( (0,x0,x2 2) )上单调递减上单调递减, ,在在( (x x2 2,+,+) )上单调递增上单调递增. .由由(1)(1)知知lnln x+ +x-30. x+ +x-30.则则ff(x(x2 2) )=ln=ln x x2 2+ +x+ +x2 2-3+(-3+(2a2a1 1)x)x2 2(2a2a1 1)x)x2 20.0.所以所以ff(x)(x)ff(x(x2 2) )0,0,即即f f(x(x) )在定义域上单调递增在定义域上单调递增. .所以所以f(xf(x) )不存在极值不存在极值. .2x22x6.(6.(零点与极值

32、、单调性零点与极值、单调性) )已知函数已知函数f(x)=xlnf(x)=xln x+x x+x2 2-ax(ar).-ax(ar).(1)(1)若若a=3,a=3,求求f(xf(x) )的单调性和极值的单调性和极值; ;(2)(2)若函数若函数y=f(xy=f(x)+ )+ 至少有至少有1 1个零点个零点, ,求求a a的取值范围的取值范围. .x1e6.6.【解析【解析】(1)(1)当当a=3a=3时时,f(x)=xln,f(x)=xln x+x x+x2 2-3x,-3x,所以所以f(x)=lnf(x)=ln x+2x-2, x+2x-2,当当0 x10 x1时时,ln,ln x0,2x

33、-20, x0,2x-20,所以所以f(x)=lnf(x)=ln x+2x-20, x+2x-21x1时时,ln,ln x0,2x-20, x0,2x-20,所以所以f(x)=lnf(x)=ln x+2x-20, x+2x-20,所以所以f(xf(x) )在在(0,1)(0,1)上单调递减上单调递减, ,在在(1,+)(1,+)上单调递增上单调递增, ,f(xf(x) )在在x=1x=1处取得极小值处取得极小值, ,极小值为极小值为f(1)=-2,f(1)=-2,无极大值无极大值. .(2)(2)因为因为f(x)+ =xlnf(x)+ =xln x+x x+x2 2-ax+ ,-ax+ ,由由

34、xlnxln x+x x+x2 2-ax+ =0-ax+ =0得得a=ln x+xa=ln x+x+ ,+ ,令令g(x)=ln x+xg(x)=ln x+x+ ,+ ,则则g(xg(x)= )= 由由g(xg(x)=0)=0得得xexex x=1.=1.令令h(x)=xeh(x)=xex x, ,当当x0 x0时时,h(x,h(x)=(x+1)e)=(x+1)ex x0,0,所以所以h(x)=xeh(x)=xex x在在(0,+)(0,+)上单调递增上单调递增, ,因为因为 1,1,x1ex1ex1ex1xex1xexx2x2x2x2x(xe1) x11x1xex ex 11,xx ex e

35、x e 1eh()22所以存在所以存在x x0 0 , ,使得使得x x0 0 =1, =1,且当且当x(x(0,x0,x0 0) )时时,h(x,h(x)1,)1,即即xexex x-10,-11,)1,即即xexex x-10,-10,因为因为x+10,xx+10,x2 2e ex x0,0,所以当所以当x(x(0,x0,x0 0) )时时,g(x,g(x)0;)0,)0,所以所以g(xg(x) )在在( (0,x0,x0 0) )上单调递减上单调递减, ,在在( (x x0 0,+,+) )上单调递增上单调递增, ,所以所以g(xg(x) )在在x=xx=x0 0处取得最小值处取得最小值

36、g(g(x x0 0)=ln)=ln x x0 0+x+x0 0+ ,+ ,1( ,1)20 xe0 x01x e因为因为x x0 0 =1, =1,所以所以ln =lnln =ln 1=0, 1=0,即即lnln x x0 0+x+x0 0=0,=0,所以所以lnln x x0 0+x+x0 0+ =0+ =1,+ =0+ =1,即即g(g(x x0 0)=1,)=1,所以当所以当a1aa,+ a,所以函数所以函数y=f(xy=f(x)+ )+ 至少有至少有1 1个零点个零点, ,故故a a的取值范围是的取值范围是1,+).1,+).0 xe0 x0(x e )0 x01x e11x1ea1

37、aex1e7.(7.(与数列结合与数列结合) )已知函数已知函数f(x)=xlnf(x)=xln x+1-ax(ar). x+1-ax(ar).(1)(1)讨论讨论f(xf(x) )的零点个数的零点个数. .(2)(2)正项数列正项数列 a an n 满足满足a a1 1= ,a= ,an+1n+1=ln=ln +1(nn +1(nn* *),),求证求证: :23na1212n111n1.aaa7.7.【解析【解析】(1)f(x)(1)f(x)的定义域为的定义域为 , ,令令f(x)=lnf(x)=ln x+1-a=0, x+1-a=0,则则x=ex=ea-1a-1. .当当0 xe0 xe

38、a-1a-1时时,f(x,f(x)0;)exea-1a-1时时,f(x,f(x)0,)0,所以所以f(xf(x) )在在(0,e(0,ea-1a-1) )上单调递减上单调递减, ,在在(e(ea-1a-1,+),+)上单调递增上单调递增, ,所以所以f(xf(x) )的最小值为的最小值为f(ef(ea-1a-1)=1-e)=1-ea-1a-1. .当当a1a0,0,此时此时f(xf(x) )无零点无零点, ,当当a=1a=1时时,1-e,1-ea-1a-1=0,=0,此时此时f(xf(x) )只有一个零点只有一个零点, ,当当a1a1时时,1-e,1-ea-1a-10,f(e0,)=10,又又

39、e ea aeea-1a-1, ,所以所以f(xf(x) )在在(e(ea-1a-1,+),+)上有且只有一个零点上有且只有一个零点. .f(ef(e-a-a)=1-2ae)=1-2ae-a-a= ,= ,令令h(ah(a)=e)=ea a-2a,h(a)=e-2a,h(a)=ea a-2,-2,因为因为a1,a1,所以所以h(ah(a)0,)0,所以所以h(ah(a)h(1)=e-20,)h(1)=e-20,所以所以2ae2a0,)0,所以所以f(xf(x) )在在(0,e(0,ea-1a-1) )上有且只有一个零点上有且只有一个零点. .aae2ae综上综上: :当当a1a1a1时时, ,

40、函数有两个零点函数有两个零点. .(2)(2)由由(1)(1)知知: :当当a=1a=1时时,f(x)0,f(x)0,所以所以lnln x1- , x1- ,所以所以a an+1n+1=ln=ln +12- +12- 所以所以 所以所以 所以所以 1xna12nnn2a2a1a1，nn 1nnn 1na11111111(1)a2a2a2a2 a，所以 ，2n1nnnn1n21n11111111111(1)(1)(1)1,a2 a2a2a2a2，所以nn12n111( ) 111122nn1()n1.1aaa2128.(8.(探索问题探索问题) )已知函数已知函数f(x)=ax-ln x-a(f(x)=ax-ln x-a(arar).).(1)(1)求函数求函数f(xf(x) )的极值的极值; ;(2)(2)是否存在实数是否存在实数a,a,使方程使方程f(xf(x)=0)=0有两个不同的实数根有两个不同的实数根?