九年级数学上相似三角形期末复习题及答案

1、相似三角形提优训练题一选择题（共10 小题）1如图，在平行四边形ABCD 中， AB=6 ， AD=9 ， BAD于 G，BG=，则 EFC 的周长为（）的平分线交BC于 E，交DC的延长线于F， BG AEA 11B10C9D82如图，在平行四边形则 AF 的长为（）ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED ，CD=3cm ，A 5cmB 6cmC 7cmD 8cm3如图，在 ABC 中，AB=AC=a ，BC=b（ ab）在 ABC 内依次作 CBD= A， DCE= CBD ， EDF= DCE 则EF 等于（）ABCD4如图，正方形ABCD 是一块

2、绿化带，其中阴影部分EOFB ， GHMN 都是正方形的花圃已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）ABCD6如图，在 ?ABCD 中， E 为 CD 上一点，连接AE 、 BD ，且 AE 、 BD 交于点 F，SDEF： S ABF =4：25，则 DE：EC=（）A 2：5B2：3C3：5D3：28如图所示，在平行四边形则 DF： FC=（）ABCD中， AC与BD相交于点O，E 为 OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，A 1：4B1：3C2：3D1：2二填空题（共10 小题）12如图，在 ?ABCD 中， AB=6cm ，AD=9cm ， BAD垂足为

3、 G， BG=4cm，则 EF+CF 的长为_的平分线交cmBC于点E，交DC的延长线于点F，BG AE ，13如图所示，在的平分线交 CE 于 ABC 中， BC=6 ，E、F 分别是Q，当 CQ= CE 时， EP+BP=AB 、AC 的中点，动点_P 在射线EF 上，BP 交CE于D， CBP14如图，小明在打网球时， 使球恰好能打过网， 而且落在离网4 米的位置上， 则球拍击球的高度h 为_15正方形 ABCD 的边长为1cm，M、N 分别是 BC 、CD 上两个动点， 且始终保持AM MN ，当 BM=_cm 时，四边形 ABCN 的面积最大，最大面积为_ cm217在 ABC 中，

4、 P 是 AB 上的动点（ P 异于 A 、 B），过点 P 的直线截 ABC ，使截得的三角形与 ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点 P 的 ABC 的相似线，简记为 P（ lx）（ x 为自然数）（ 1）如图 ， A=90 °， B= C，当 BP=2PA 时， P（ l1）、P（ l2）都是过点P 的 ABC 的相似线（其中l1 BC ，l 2 AC ），此外，还有_条；（ 2）如图 ， C=90 °， B=30 °，当=_时， P（ lx）截得的三角形面积为 ABC 面积的18如图，在Rt ABC 中， ABC=90 °， BA=BC 点 D

5、 是 AB 的中点，连接CD，过点 B 作 BG 丄 CD，分别交CD、 CA 于点 E、 F，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G，连接 DF给出以下四个结论：； 点F是 GE的中点； AF=AB； SABC =5S BDF，其中正确的结论序号是_ 19如图，n 个边长为 1 的相邻正方形的一边均在同一直线上， BnBn+1 的中点， B1C1M 1 的面积为 S1， B 2C2M 2 的面积为点 M 1，M 2，M 3，M n 分别为边S2，B nCnM n 的面积为Sn，则B1B 2，B 2B3，B 3B4，Sn=_（用含 n 的式子表示）20如图， ABC 是斜边 AB 的长为 3

6、 的等腰直角三角形，在 ABC 内作第 1 个内接正方形A 1B1D1E1（ D 1、 E1在 AB 上，A 1、B 1 分别在 AC 、BC 上），再在 A1B 1C 内接同样的方法作第2 个内接正方形A 2B 2D2E2，如此下去，操作 n 次，则第 n 个小正方形 A nBnD nEn 的边长是 _ 三解答题（共8 小题）21如图， 在 Rt ABC 中，C=90 °，点 P 为 AC 边上的一点， 将线段 AP 绕点 A 顺时针方向旋转 （点 P 对应点 P），当 AP 旋转至 AP AB 时，点 B、 P、 P恰好在同一直线上，此时作PE AC 于点 E（ 1）求证： CB

7、P= ABP ；（ 2）求证： AE=CP ；（ 3）当， BP=5时，求线段AB 的长25在 ABC 中， CAB=90 °，AD BC 于点 D ，点 E 为 AB 的中点， EC 与 AD 交于点 G，点 F 在 BC 上（ 1）如图 1， AC ： AB=1 ： 2， EF CB ，求证： EF=CD （ 2）如图 2， AC ： AB=1 ：，EF CE，求 EF： EG 的值28如图，点B 在线段 AC 上，点 D， E 在 AC 同侧， A= C=90 °， BD BE ， AD=BC （ 1）求证： AC=AD+CE ；（ 2）若 AD=3 ， CE=5，点

8、 P 为线段 AB 上的动点，连接DP，作 PQ DP，交直线BE 于点 Q；（ i ）当点 P 与 A ，B 两点不重合时，求的值；（ ii ）当点 P 从 A 点运动到 AC 的中点时，求线段 DQ 的中点所经过的路径（线段）长 （直接写出结果，不必写出解答过程）29如图，在直角梯形ABCD 中， AD BC， BCD=90 °， ABC=45 °，AD=CD ， CE 平分 ACB 交 AB 于点 E，在 BC 上截取 BF=AE ，连接 AF 交 CE 于点 G，连接 DG 交 AC 于点 H，过点 A 作 AN BC ，垂足为 N，AN 交 CE于点 M求证： C

9、M=AF ； CEAF ； ABF DAH ； GD 平分 AGC（）九年级数学相似三角形提优训练题参考答案与试题解析一选择题（共10 小题）1（ 2013?自贡）如图，在平行四边形ABCD 中， AB=6 ， AD=9 ， BADF， BG AE 于 G，BG=，则 EFC 的周长为（）的平分线交BC于E，交DC的延长线于A 11B 10C 9D 8考点 ： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质分析：判断出 ADF 是等腰三角形， ABE 是等腰三角形，DF 的长度，继而得到EC 的长度，在Rt BGE 中求出 GE，继而得到AE ，求出 ABE 的周长， 根据相似三角形的周长

10、之比等于相似比，可得出 EFC 的周长解答：解：在 ?ABCD 中， AB=CD=6 ， AD=BC=9 ， BAD 的平分线交BC 于点 E， BAF= DAF ， AB DF ， AD BC， BAF= F= DAF ， BAE= AEB ， AB=BE=6 ， AD=DF=9 ， ADF 是等腰三角形，ABE 是等腰三角形， AD BC， EFC 是等腰三角形，且FC=CE， EC=FC=9 6=3 ，在 ABG 中， BGAE ， AB=6 ， BG=4， AG=2 ， AE=2AG=4 ， ABE 的周长等于16，又 CEF BEA ，相似比为1： 2， CEF 的周长为8故选 D点

11、评：本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大2（2013?重庆）如图，在平行四边形 CD=3cm ，则 AF 的长为（ ）ABCD中，点E 在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED ，A 5cmB 6cmC 7cmD 8cm考点 ： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质分析：由边形 ABCD 是平行四边形，可得AB CD ，即可证得 AFE DEC ，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案解答：解：四边形ABCD 是平行四边形， AB CD， AFE DEC ， AE ： DE=AF ： CD ， A

12、E=2ED ， CD=3cm ， AF=2CD=6cm 故选 B点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用3（ 2013?孝感） 如图，在 ABC 中， AB=AC=a ，BC=b（a b）在 ABC 内依次作 CBD= A ， DCE= CBD ， EDF= DCE则 EF 等于（）ABCD考点 ： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质专题 ： 压轴题分析：依次判定 ABC BDC CDE DFE ，根据相似三角形的对应边成比例的知识，可得出解答：解： AB=AC ， ABC= ACB ，又 CBD= A ，ABCBDC同理可

13、得： ABC BDC CDE DFE ，EF 的长度=，=，=，=， AB=AC ， CD=CE ，解得： CD=CE=， DE=， EF=故选 C点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容易找到，难点在于根据对应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错4（ 2013?咸宁）如图，正方形ABCD 是一块绿化带，其中阴影部分EOFB ， GHMN 都是正方形的花圃已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）ABCD考点 ： 相似三角形的应用；正方形的性质；几何概率专题 ： 压轴题分析：求得阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积的比即可求得小鸟在

14、花圃上的概率；解答：解：设正方形的ABCD 的边长为a，则 BF=BC= ， AN=NM=MC=a，222，阴影部分的面积为（） +（a） =a小鸟在花圃上的概率为=故选 C点评：本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴影正方形的边长，最后表示出面积6（ 2013?内江）如图，在25，则 DE ： EC=（）?ABCD中，E 为CD上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD交于点F， S DEF： SABF =4：A 2：5B2：3C3：5D3：2考点 ： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质分析： 先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出 D

15、EF BAF ，再根据 SDEF： SABF =4： 25 即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE ： AB 的值，由 AB=CD 即可得出结论解答： 解：四边形ABCD 是平行四边形， AB CD， EAB= DEF ， AFB= DFE， DEF BAF ， SDEF：SABF =4： 25， DE： AB=2 ： 5， AB=CD ， DE： EC=2 ： 3故选 B点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键8（ 2013?恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD 中， AC 与 BD 相

16、交于点 O，E 为 OD 的中点，连接AE 并延长交 DC 于点 F，则 DF： FC=（）A 1：4B1：3C2：3D1：2考点 ： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质分析：首先证明 DFE BAE ，然后利用对应变成比例，E 为 OD 的中点，求出DF ： AB 的值，又知AB=DC ，即可得出DF ： FC 的值解答：解：在平行四边形ABCD 中， AB DC ，则 DFE BAE ， = ， O 为对角线的交点， DO=BO ，又 E 为 OD 的中点， DE= DB ，则 DE： EB=1： 3， DF： AB=1 ： 3， DC=AB ， DF： DC=1 ： 3， DF：

17、FC=1 ： 2故选 D点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明 DFE BAE ，然后根据对应边成比例求值二填空题（共10 小题）12（ 2013?南通）如图，在 ?ABCD 中， AB=6cm ， AD=9cm ， BAD 的平分线交 BC 于点 E，交 DC 的延长线于点F， BG AE ，垂足为 G， BG=4 cm，则 EF+CF 的长为 5 cm考点 ： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质专题 ： 压轴题分析：首先，由于AE 平分 BAD ，那么 BAE= DAE ，由 AD BC，可

18、得内错角DAE= BEA ，等量代换后可证得 AB=BE ，即 ABE 是等腰三角形， 根据等腰三角形“三线合一 ”的性质得出AE=2AG ，而在 Rt ABG中，由勾股定理可求得AG 的值，即可求得AE 的长；然后，利用平行线分线段成比例的性质分别得出EF，FC 的长，即可得出答案解答：解： AE 平分 BAD ， DAE= BAE ；又 AD BC ， BEA= DAE= BAE ， AB=BE=6cm ， EC=9 6=3（ cm）， BG AE ，垂足为 G， AE=2AG 在 Rt ABG 中， AGB=90 °， AB=6cm ， BG=4cm， AG=2（ cm）， A

19、E=2AG=4cm ； ECAD ，=，=，=，解得： EF=2（ cm）， FC=3（cm ）， EF+CF 的长为 5cm故答案为： 5点评：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中13（ 2013?菏泽）如图所示，在ABC中， BC=6 ，E、 F 分别是AB 、AC的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE于 D，CBP的平分线交CE于 Q，当CQ=CE 时， EP+BP=12考点 ： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理专题 ： 压轴题分析：延长 BQ

20、交射线 EF 于 M ，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF BC ，根据两直线平行，内错角相等可得 M= CBM ，再根据角平分线的定义可得PBM= CBM ，从而得到M= PBM ，根据等角对等边可得BP=PM ，求出EP+BP=EM ，再根据CQ=CE 求出EQ=2CQ ，然后根据 MEQ和BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可解答：解：如图，延长BQ 交射线 EF 于 M ， E、 F 分别是 AB 、 AC 的中点， EFBC， M=CBM， BQ 是 CBP 的平分线， PBM= CBM ， M=PBM， BP=PM ， EP+BP=EP+PM=EM ， CQ= CE

21、， EQ=2CQ ，由 EF BC 得， MEQ BCQ ，=2， EM=2BC=2 ×6=12，即 EP+BP=12 故答案为： 12点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长出 EP+BP=EM 并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点BQ构造出相似三角形，求14（ 2013?巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4 米的位置上，则球拍击球的高度h为1.5米考点 ： 相似三角形的应用分析：根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DEBC可知， ADE ACB ，根据其相似比即可求解解答：解： DEBC ， ADE ACB ，即=

22、，则=， h=1.5m 故答案为： 1.5 米点评：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题15（ 2012?自贡）正方形 ABCD 的边长为1cm，M 、N 分别是 BC、CD 上两个动点， 且始终保持AM MN ，当 BM=cm 时，四边形ABCN 的面积最大，最大面积为cm2考点 ： 相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质专题 ： 压轴题分析： 设 BM=xcm ，则 MC=1 xcm，当 AM MN 时，利用互余关系可证ABM MCN ，利用相似比求CN ，根据梯形的面积公式表示四边形

23、ABCN 的面积，用二次函数的性质求面积的最大值解答： 解：设 BM=xcm ，则 MC=1 xcm， AMN=90 °， AMB+ NMC=90 °， NMC+ MNC=90 °， AMB= MNC ，又 B= C ABM MCN ，则，即，解得 CN=x （ 1x）， S 四边形 ABCN =2x+ ，×1×1+x （ 1 x）= x + 0，当 x= =cm 时， S 四边形 ABCN 最大，最大值是×（） 2+× +=cm2故答案是：，点评：本题考查了二次函数的性质的运用关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求

24、函数关系式17（ 2012?泉州）在 ABC 中，P 是 AB 上的动点（P 异于 A 、B），过点 P 的直线截 ABC ，使截得的三角形与ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P 的 ABC 的相似线，简记为P（ lx）（ x 为自然数） （ 1）如图 ， A=90 °， B= C，当 BP=2PA 时， P（ l1）、P（ l2）都是过点 P 的 ABC 的相似线（其中 l1 BC ， l 2 AC ），此外，还有 1 条；（ 2）如图 ， C=90 °， B=30 °，当=或或时， P（l x）截得的三角形面积为 ABC 面积的考点 ： 相似三角形的判定与性

25、质专题 ： 压轴题分析：（ 1）过点 P 作 l 3 BC 交 AC 于 Q，则 APQ ABC ， l3 是第 3 条相似线；（ 2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线总共有4 条，注意不要遗漏解答：解：（ 1）存在另外1 条相似线如图 1 所示，过点 P 作 l 3 BC 交 AC 于 Q，则 APQ ABC ；故答案为： 1；（ 2）设 P（ l x）截得的三角形面积为S， S=SABC ，则相似比为1： 2如图 2 所示，共有 4 条相似线： 第 1条 l1，此时 P 为斜边 AB 中点， l 1 AC ，=； 第 2条 l2，此时 P 为斜边 AB 中点， l 2 BC ，=

26、； 第 3条 l3，此时 BP 与 BC 为对应边，且=，=； 第 4条 l4，此时 AP 与 AC 为对应边，且=，=， =故答案为：或或点评：本题引入 “相似线 ”的新定义， 考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的运算；似线，不要遗漏难点在于找出所有的相18（ 2012?嘉兴）如图，在CD，分别交 CD、 CA 于点Rt ABC 中，E、 F，与过点 AABC=90 °， BA=BC 点 D 是且垂直于 AB 的直线相交于点AB 的中点，连接CD ，过点 B 作G，连接 DF 给出以下四个结论：BG丄； 点F是GE的中点；AF=AB ； SABC =5S BDF，其中正确的结

27、论序号是考点 ： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形专题 ： 压轴题分析：首先根据题意易证得 AFG CFB ，根据相似三角形的对应边成比例与BA=BC ，继而证得正确；由点 D 是 AB 的中点，易证得BC=2BD ，由等角的余角相等，可得DBE= BCD ，即可得 AG=AB ，继而可得 FG= BF；即可得 AF=AC ，又由等腰直角三角形的性质，可得AC=AB ，即可求得 AF=AB ；则可得 S ABC=6SBDF解答：解：在Rt ABC 中， ABC=90 °， AB BC，AGAB ， AGBC， AFG CFB ， BA=BC ，故 正确； ABC=90

28、 °， BG CD ， DBE+ BDE= BDE+ BCD=90 °， DBE= BCD ， AB=CB ，点 D 是 AB 的中点， BD= AB= CB ， tanBCD= ，在 RtABG 中， tanDBE=， = ， FG= FB， GEBF，点 F 不是 GE 的中点故 错误； AFG CFB ， AF ： CF=AG ： BC=1 ： 2， AF= AC ，AC=AB，AF=AB，故 正确； BD= AB ， AF= AC ， SABC =6SBDF，故 错误故答案为： 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识此题难度适中，

29、解题的关键是证得 AFG CFB ，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用19（ 2012?泸州）如图， n 个边长为1 的相邻正方形的一边均在同一直线上，点 M 1，M 2，M 3，M n 分别为边B1B 2，B 2B3，B3B 4，B nBn+1 的中点， B 1C1M 1 的面积为 S1，B 2C2 M2 的面积为 S2， BnCnM n 的面积为 Sn，则 Sn= （用含 n 的式子表示）考点 ： 相似三角形的判定与性质专题 ： 压轴题；规律型分析：由 n 个边长为1 的相邻正方形的一边均在同一直线上，点 M 1，M2，M 3，M n 分别为边B 1B2，B 2B3，B 3B4，B nB

30、n+1 的中点， 即可求得 B 1C1M n 的面积，又由 BnCn B1C1，即可得 BnCnM n B 1C1M n，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案解答：解： n 个边长为1 的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M 1， M 2， M 3， M n 分别为边B1B2， B2B 3，B 3B4 ， BnB n+1 的中点， S1= ×B1C1×B1M1= ×1× = ，SB1C1M2 =×B1C1×B1M 2=×1× =，SB1C1M3 =×B1C1×B1M 3=

31、5;1× =，SB1C1M4 =×B1C1×B1M 4=×1× =，SB1C1Mn =×B1C1×B1M n=×1×=， BnCn B1C1， BnCnM n B1C1M n， SBnCnMn ：SB1C1Mn =（） 2=（） 2，即 Sn：=， Sn=故答案为：点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式此题难度较大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键20（2013?荆州）如图， ABC 是斜边 AB 的长为 3 的等腰直角三角形， 在

32、ABC 内作第 1 个内接正方形A 1B 1D1E1（ D1、E1 在 AB 上， A1、B 1 分别在 AC 、BC 上），再在 A 1B1C 内接同样的方法作第2 个内接正方形 A2B 2D2E2，如此下去，操作 n 次，则第 n 个小正方形 A nBnDnEn 的边长是考点 ： 相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形专题 ： 规律型分析：求出第一个、第二个、第三个内接正方形的边长，总结规律可得出第n 个小正方形A nB nDnEn 的边长解答：解： A= B=45 °， AE 1=A 1E=A 1B 1=B 1D 1=D 1B，第一个内接正方形的边长=AB=1 ；同理可得：第二

33、个内接正方形的边长=A1B1=AB=；第三个内接正方形的边长=A2B2=AB=；故可推出第n 个小正方形A nBnD nEn的边长=AB=故答案为：点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是求出前几个内接正方形的边长，得出一般规律三解答题（共8 小题）21（2013?珠海）如图，在 RtABC 中， C=90 °，点 P 为 AC 边上的一点， 将线段 AP 绕点 A 顺时针方向旋转 （点P 对应点 P），当 AP 旋转至 AP AB 时，点 B、 P、P恰好在同一直线上，此时作PE AC 于点 E（ 1）求证： CBP= ABP ；（ 2）求证：

34、 AE=CP ；（ 3）当， BP=5时，求线段AB 的长考点 ： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质专题 ： 几何综合题；压轴题分析：（ 1）根据旋转的性质可得AP=AP ，根据等边对等角的性质可得APP = AP P，再根据等角的余角相等证明即可；（ 2）过点 P 作 PD AB 于 D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP ，然后求出 PAD= APE，利用 “角角边 ”证明 APD 和 PAE 全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DP ，从而得证；（ 3）设CP=3k ，PE=2k，表示出AE=CP=3k ，AP =AP=5k

35、，然后利用勾股定理列式求出PE=4k ，再求出 ABP 和 EPP相似， 根据相似三角形对应边成比例列式求出PA=AB ，然后在Rt ABP 中， 利用勾股定理列式求解即可解答：（ 1）证明： AP是 AP 旋转得到， AP=AP ， APP= APP， C=90°， AP AB ， CBP+ BPC=90 °， ABP+ AP P=90°，又 BPC= APP（对顶角相等） ， CBP= ABP ；（ 2）证明：如图，过点P 作 PD AB 于 D， CBP= ABP ， C=90 °， CP=DP ， PE AC ， EAP + APE=90 °