不等式性质的应用

1、学习必备欢迎下载不等式性质的应用不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础和依据。教材中列举了不等式的性质，由这些性质是可以继续推导出其它有关性质。教材中所列举的性质是最基本、最重要的，对此，不仅要掌握性质的内容，还要掌握性质的证明方法，理解掌握性质成立的条件，把握性质之间的关联。只有理解好，才能牢固记忆及正确运用。1不等式性质成立的条件运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误。 对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性。例 1：若 ab0 ，则下列不等关系中不能成立的是（）A 11B 1b1C | a

2、| | b |D a2b 2abaa解： ab0 ，ab0 。由 11， 11，（ A ）成立。abab由 ab0， | a | | b |，（ C）成立。由 ab0 ， (a)2(b) 2 ， a2b 2 ，（ D）成立。 a b 0 ， a b0 ， aa b 0 ， a b a0 ，11， 11，（ B ）不成立。a(ab)aab故应选 B。例 2：判断下列命题是否正确，并说明理由。（1）若 a b0 ，则 ab 0 ；（2）若 ab 0 ，则 ab 0 ；（3） a b0 ， a b0 ，则 ab 0 ；（ 4）若 a b0 ，则 a b 0 。分析：解决这类问题，主要是根据不等式的性

3、质判定，其实质就是看是否满足性质所需要的条件。解：（1）错误。当 c0 时不成立。（2）正确。 c20 且 c 20 ，在 ab两边同乘以 c 2，不等式方向不变。 a b 。11c 2c2（3）错误。 ab，成立条件是 ab0 。ab（4）错误。 ab ， cdac bd ，当 a ， b ， c ， d 均为正数时成立。2不等式性质在不等式等价问题中的应用例 3：下列不等式中不等价的是（）（1） x23x22 与 x 23x 4 0（2） 2x183与 2x8x1x1（3） 4x575与4x7x3x3x30 与( x 3)( 2 x) 0（4）x2A（2）B（3）C（4）D（ 2）（ 3）

4、解：（1） x 23x22x 23x40 。（2） 2x 8x4 ， 2x1831, x 4x 4 。x 1xx55717（3） 4x7x3 ， 4x 7x3x3且 xx。44学习必备欢迎下载（4）不等式的解均为 x |3x2应选 B。3利用不等式性质证明不等式利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式。解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的八条性质并注意在解题中灵活准确地加以应用。例 4：若 ab 0 ， c d0 ， e0ee，求证：。a cb d分析：本题考查学生对不等式性质的掌握及灵活应用。注意性质的使用条件。解： cd0 ，cd0 ，又 a b 0 acbd0 ，故11

5、a c。eeb d而 e0，cbda4利用不等式性质求范围利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意：“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条途径。例 5：若二次函数f ( x) 图像关于y 轴对称，且 1f (1)2 ， 3f (2) 4 ，求 f (3) 的范围。解：设 f ( x)ax 2c （ a0 ）。f (1)acaf

6、 ( 2)f (1)3f (2)4acc4 f (1)f ( 2)3f (3)9ac3 f (2)3 f (1)4 f (1)f (2)8 f (2)5 f (1)33 1f (1)2， 3f ( 2)4 ， 55 f (1)10，248 f ( 2)32 ，148 f (2)5 f (1)27 ， 148 f ( 2)5 f (1)9，33即 14f (3)9 。35利用不等式性质，探求不等式成立的条件不等式的性质是不等式的基础，包括五个性质定理及三个推论，不等式的性质是解不等式和证明不等式的主要依据，只有正确地理解每条性质的条件和结论，注意条件的变化才能正确地加以运用，利用不等式的性质，寻

7、求命题成立的条件是不等式性质的灵活运用。例 6：已知三个不等式：abcd_个正0； bc ad 。以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成ab确命题。解：对命题作等价变形：cdbcad0abab于是，由 ab0 ， bcad ，可得成立，即；若 ab0 ， bc ad0 ，则 bcad ，故；ab学习必备欢迎下载若 bcad ， bcad0 ，则 ab0 ，故。ab可组成 3 个正确命题。例 7：已知 a1b1b ， a同时成立，则 ab 应满足的条件是 _。ab解： (a1)(b1 )(ab)(ab1)，由 ab 知 ( ab 1)0，ababab从而 ab(ab1)0， ab0 或 ab

8、1 。不等式的证明不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。注意 a 2b 22ab 的变式应用。常用a2b2ab( 其中 a,bR )来解决有关根式不等式的问题。221、比较法比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。1 已知 a,b,c均为正数，求证：1111112a2b2cabbcca2证明： a,b 均为正数， 11a1b(ab)a(ab)4ab(ab)04a4bb4ab(ab)4ab (ab

9、)(b2(c2同理111c)0，111a)04b4cbc4bc (bc)4c4aca4ac( ac)1111110三式相加，可得2cabbcca2a 2b 1111112、综合法2a2b2cabbcca综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。a、 b、 c(0,) ， abca 2b 2c 2121，求证：32a22b 22c 22ab2bc2ca证：3(a 2b 2c2 )1( abc) 2 3( a2b 2c2 ) (abc) 2(ab)2(bc) 2(ca)203 设 a 、 b 、 c 是互不相等的正数，求证：a 4b4c 4abc(a

10、bc)证： a4b42a2 b2b 4c42b2 c2c 4a42c2 a 2 a 4b4c 4a2b 2b2 c 2c 2 a2 a2 b2b2 c22a 2b2 b 2c 22ab2 c 同理： b2 c2c2 a 22bc 2 ac 2a 2a 2b22ca 2b a2 b2b2 c2c 2 a2abc(abc)R ，求证 : a2222222(ac)4知 a,b,cbbccab学习必备欢迎下载2222222证明： ab2ab 2(ab )a 2ab b(ab)(a222b)2222即ab2，两边开平方得ab2b2b)a( a222(bc)222同理可得 bc2ca2 (ca) 三式相加

11、，得222222a b b c c a2( a b c)(11195 x、 y ( 0,) 且 xy)(1)1 ，证：xy。(11)(11 )(1xy )(1xy)( 2y )(2x)52( yx)5229证：xyxyxyxy6 已知 a,bR, ab1求证： 11111 .ab9a,bR ,ab111策略 :由于2说明a,bR , a1的背后隐含 着一个不等式abababbab.244而11111111a b1289.abab111a,bR, ab11abababab证明：ab。11419.1ba3、分析法分析法的思路是“执果索因” ：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立

12、的不等式。7 已知 a 、 b 、 c 为正数，求证：2( abab )3( abc3abc )23aba bc3abc ) 只需证：证：要证： 2(2ab )3(32 abc33 abc即： c2ab33abc cabab33cab ab33abc 成立 原不等式成立8 a、 b、 c(0,) 且 abc1 ，求证abc3 。证：abc3( abc )23 即： 2 ab 2 bc 2 ac 2 2 abab2bcbc2acac 即 2ab2bc2ac(a b)(b c)(a c) 2原命题成立4、换元法换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为

13、易的目的。9， bab(1 a 2 )(1 b2 ) 11，求证：。学习必备欢迎下载证明： 令 asink2kbsink2k左sinsincoscossin sincoscosc o s ()1ab(1a2 )(1b 2 )110： x2y 21 ，求证：2xy2证：由 x2y21 设 xcos， ysin xycossin2 sin(4)2 ,2 2xy211 知 a>b>c, 求证：1b14 .abcac证明： a b>0, b c>0, ac>0可设 ab=x, bc=y (x,y>0)则 a c= x + y,原不等式转化为证明114xyxy即证 (

14、 xy)(11 )4，即证 2xy4 xy2原不等式成立（当仅x=y 当“ =”成立）xyyxyx2212 xy y212 知 1xy2，求证：x32证明：1x222，可设 x = rcos， y = rsin22，0 2 y，其中 1rx 2 xy y 2 = r 2 r 2 sin 2= r 2 (11sin 2)，111sin 23，1r 2 r 2 (11sin 2)3r 2 ，而1r 2 1，3r 212222222222223 x xy y 3213 已知 x 22xy y 22，求证： | x y | 10 证明：x2222，可设 x y = rcos， y = rsin，其中

15、0r2，0 22xy y= (xy)y| xy | =| x y 2y | = | rcos 2rsin| = r| 5 sin(1)|5 r 10 ractan1214 解不等式5xx12解：因为 (5x ) 2(x1) 2=6，故可令5x=6 sin，x1 6cos， 0，2则原不等式化为6sin6cos1所以6sin 1+6cos122由 0，知+6 cos 0，将上式两边平方并整理，得48 cos2+46cos23022解得 0cos2826 所以 x 6cos2 124472412，且 x 1，故原不等式的解集是x|-1 x 2447 .1215： 11x2 x 2 2证明：1 x0

16、，1x1，故可设x = cos，其中 0学习必备欢迎下载则 1 x 2x =1 cos2 cos = sin cos = 2 sin()， 3，44441 2 sin( ) 2 ，即 1 1 x 2x 2 4增量代换法在对称式 (任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如 a bc)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简16a， b R，且 ab = 1，求证： (a 2)2225 (b 2)121证明：a，bR，且 a b = 1，设 a =t，b=t ， (t R)2 2则(a 2) 2 (b 2) 2

17、 = ( 1 t2) 2 ( 1 t 2) 2 = (t 5 ) 2 (t 5 ) 2 = 2t 2 25 25 2222222225(a2) (b 2) 2利用“ 1”的代换型已知 a, b, cR ,且 a b c1,求证：1119.17abc策略：做“ 1”的代换。证明：5、反证法111 a bc a bc a b c3bacacb22293abcabcabacbc.反证法的思路是“假设矛盾肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。3318 若 p 0，q0，p q= 2，求证： pq2证明：反证法假设 pq2，则 (p q) 3 8，即

18、p 3 q 3 3pq (pq) 8，p 3 q 3 = 2，pq (pq) 2故 pq (p q) 2 = p 3 q 3 = (p q)( p 2 pqq 2 )，又 p0，q 0p q 0，2 pq q22p q 2 不成立，p q2pqp，即 (p q) 0，矛盾故假设a)b， (1b) c， (1119 已知 a 、 b 、 c（0，1），求证： (1c) a ，不能均大于 4 。1(1a)b11证明： 假设 (1a)b ， (1b) c ， (1c) a 均大于 4 (1a) ， b 均为正2(1a) b24(1b)c(1 b)c11(1 c) a1(1a) b(1 b)c(1 c

19、)a 111同理24 222 2222 2233 22 不正确 假设不成立 原命题正确20 已知 a,b,c（ 0，1），求证：（1a） b,（ 1 b）c,（ 1 c）a不能同时大于1 。4学习必备欢迎下载证明：假设三式同时大于1 0 a1(1a )b(1a ) b111a 0 242421a 、 b 、 cR， a bc0， abbcca0 ， ab c0 ，求证： a 、 b 、 c 均为正数。证明： 反证法：假设 a 、 b 、 c不均为正数又 ab c0a 、 b 、 c 两负一正不妨设 a0，b0 ，c0又 abc0c( ab)0 同乘以 (ab) c(ab)(a b)2即acbc

20、 ab(a 2abb 2 )0 ，与已知 abbcca0 矛盾 假设不成立 a 、 b 、 c 均为正数6、放缩法放缩时常用的方法有：1 去或加上一些项2 分子或分母放大（或缩小）3 用函数单调性放缩4 用已知不等式放缩22 已知 a、b、 c、d 都是正数，求证：1bcda2a b c b c d c d a d a b证明：bbb，ccc，a b c d a b c a b a b c db c dc dddd，aaa，a b c d c d a c d a b c d d a b a b将上述四个同向不等式两边分别相加，得：1bcda 2a b cb c dc d a d a b2(n

21、11)11112n123nN * ，求证：23n。1222(kk 1)1222(k 1k)证明：kkkkk1kkkkk111112(21)2(32 )2( nn 1)2n2n1112(21) 2(32 )2( n 1n )12(n 11)2n判别式法24A 、B、 C 为ABC 的内角， x 、 y 、 z 为任意实数，求证：x2y 2z22 yzcos A2xzcos B2xy cosC 。证明： 构造函数，判别式法令f ( x)x 2y 2z2(2 yz cos A2xz cos B2xy cosC )x22 x( zcos By cosC )( y 2z22 yzcos A) 为开口向上

22、的抛物线4( z cos By cosC ) 24( y 2z22 yz cos A)4(z2 sin 2 By2 sin 2 C2 yz cosB cosC2 yz cosA)4 z2 sin 2 By 2 sin 2 C2 yzcos B cosC2 yz(cos B cosC sin B sin C )学习必备欢迎下载4 z2 sin 2 By 2 sin 2 C2 yzsin B sin C 4( zsin By cosC ) 20无论 y 、 z 为何值，0 x R f ( x) 0 命题真构造函数法构造函数法证明不等式24 设 0a、b、 c2，求证： 4a b 2 c 2 abc

23、2ab2bc2ca证明：视 a 为自变量，构造一次函数f (a) = 4a b 2 c 2 abc 2ab 2bc 2ca = (bc 2b 2c 4)a (b 2 c 22bc)，由 0a2，知2220，2222，f (a) 表示一条线段又 f (0) = bc 2bc = (b c)f ( 2) = bc 4b 4c 8 = (b 2) (c 2)0可见上述线段在横轴及其上方，f ( a) 0，即 4ab22c abc2ab2bc 2ca构造向量法证明不等式根据已知条件与欲证不等式结构，将其转化为向量形式，利用向量数量积及不等式关系m nmn|，· | ·|就能避免复杂

24、的凑配技巧，使解题过程简化应用这一方法证明一些具有和积结构的代数不等式，思路清晰，易于掌握25 设 a、bR2225，且 ab =1 ，求证： (a 2) (b2) 2证明：构造向量m = (a2， b2)， n = (1， 1)设 m 和 n 的夹角为，其中0 |m | = (a2) 2(b 2) 2， | n | =2 ，m ·n = | m | ·|n |cos= ( a 2)2(b 2) 2· 2 ·cos ；另一方面，m n·1(b 2)·1= a b4 = 5，而 0|cos|1，·= (a 2)所以 (a2)2

25、(b 2) 2· 25，从而 (a 2)2(b 2)2252构造解析几何模型证明不等式如果不等式两边可以通过某种方式与图形建立联系，则可根据已知式的结构挖掘出它的几何背景，通过构造解析几何模型，化数为形，利用数学模型的直观性，将不等式表达的抽象数量关系转化为图形加以解决26 设 a0，b0， ab = 1，求证： 2a1 2b 1 2 2 yABD2OxCx y = 0证明：所证不等式变形为：2a12b12这可认为是点 A( 2a 1 2b 1 )到直线 x y = 0 的距离2但因 (2a1 )2( 2b 1 )2= 4 ，故点 A 在圆 x2y2= 4 (x 0，y 0) 上如图所示， AD BC，半径 AO AD ，即有：2a12b12a1 2b1 22 2，所以2浅谈不等式恒成立问题1 转换主元法确定题目中的主元，化归成初等函数求解。此方法通常化为一次函数。学习必备欢迎下载例 1：若不等式2x1>m(x 2-1) 对满足 2m2 的所有 m 都成立，求x 的取值范围。解：