概率的基本性质黄武

1、【学习目标学习目标】1了解事件间的相互关系了解事件间的相互关系2理解互斥事件、对立事件的概念理解互斥事件、对立事件的概念3会用概率的加法公式求某些事件的概率会用概率的加法公式求某些事件的概率【重难点重难点】1掌握事件的关系、运算与概率的性质掌握事件的关系、运算与概率的性质(重点重点)2事件关系的判定事件关系的判定(难点难点)3互斥事件与对立事件的关系互斥事件与对立事件的关系(易混点易混点)3.1.3 概率的基本性质概率的基本性质事件的关系事件的关系(1)包含关系包含关系一般地，对于事件一般地，对于事件a与事件与事件b，如果事件，如果事件a发生，则事件发生，则事件b_，这时称事件，这时称事件b包

2、含事件包含事件a(或称事件或称事件a包含于包含于事件事件b)，记作，记作ba(或或ab)不可能事件记作不可能事件记作 ，任何，任何事件都包含不可能事件，即事件都包含不可能事件，即 a.(2)相等关系相等关系一般地，若一般地，若_，且，且_，那么称事件，那么称事件a与事件与事件b相相等，记作等，记作ab.1一定发生一定发生baab(3)并事件并事件(或称和事件或称和事件)若事件若事件c发生当且仅当事件发生当且仅当事件a发生发生_事件事件b发生，则称事发生，则称事件件c为事件为事件a与事件与事件b的并事件的并事件(或和事件或和事件)，记作，记作cab(或或cab)或或(4)交事件交事件(或积事件或

3、积事件)若事件若事件c发生当且仅当事件发生当且仅当事件a发生发生_事件事件b发发生，则称事件生，则称事件c为事件为事件a与事件与事件b的交事件的交事件(或或积事件积事件)记作记作cab(或或cab)如图所示如图所示(5)互斥事件互斥事件若若ab为不可能事件为不可能事件(ab )，那么称事，那么称事件件a与事件与事件b互斥，其含义是：事件互斥，其含义是：事件a与事件与事件b在任何一次试验中不会在任何一次试验中不会_发生发生且且同时同时(6)对立事件对立事件若若ab为不可能事件，为不可能事件，ab为必然事件，那么称事件为必然事件，那么称事件a与与事件事件b互为对立事件，其含义是：事件互为对立事件，

4、其含义是：事件a与事件与事件b在任何一在任何一次试验中次试验中_一个发生一个发生 在同一试验中，设在同一试验中，设a a、b b是两个随机事件，是两个随机事件，“若若a ab b ，则称，则称a a与与b b是两个对立事件是两个对立事件”，对吗？，对吗？提示提示这种说法不正确对立事件是互斥事件的特殊情这种说法不正确对立事件是互斥事件的特殊情况，除了满足况，除了满足ab 外，外，ab还必须为必然事件从数还必须为必然事件从数值上看，若值上看，若a、b为对立事件，则为对立事件，则p(ab)p(a)p(b)1.有且仅有有且仅有概率的几个性质概率的几个性质(1)范围范围任何事件的概率任何事件的概率p(a

5、)_(2)必然事件概率必然事件概率必然事件的概率必然事件的概率p(a)1.(3)不可能事件概率不可能事件概率不可能事件的概率不可能事件的概率p(a)0.(4)概率加法公式概率加法公式如果事件如果事件a与事件与事件b互斥，则有互斥，则有p(ab)_ _(5)对立事件概率对立事件概率若事件若事件a与事件与事件b互为对立事件，那么互为对立事件，那么ab为必然事件，为必然事件，则有则有p(ab)p(a)p(b) _.20,1p(a)p(b)1 在同一试验中，对任意两个事件在同一试验中，对任意两个事件a a、b b，p p( (a ab b) )p p( (a a) )p p( (b b) )一定成立吗

6、？一定成立吗？提示提示不一定，只有不一定，只有a与与b互斥时，互斥时，p(ab)p(a)p(b)才成立才成立1事件与集合之间的对应关系事件与集合之间的对应关系符号符号概率论概率论集合论集合论必然事件必然事件全集全集 不可能事件不可能事件空集空集试验的可能结果试验的可能结果中的元素中的元素a事件事件的子集的子集ab事件事件b包含事件包含事件a集合集合b包含集合包含集合aab事件事件a与事件与事件b相等相等集合集合a与集合与集合b相等相等ab或或ab事件事件a与事件与事件b的并的并集合集合a与集合与集合b的并的并ab事件事件a与事件与事件b的交的交集合集合a与集合与集合b的交的交ab 事件事件a与

7、事件与事件b互斥互斥集合集合a与集合与集合b的交为的交为空集空集ab ab事件事件a与事件与事件b对立对立集合集合a与集合与集合b互为补互为补集集概率的几条基本性质概率的几条基本性质(1)互斥事件的定义可以推广到互斥事件的定义可以推广到n个事件中，如果事件个事件中，如果事件a1，a2，an彼此互斥，那么彼此互斥，那么p(a1a2an)p(a1)p(a2)p(an)(2)在求某些稍复杂的事件的概率时，可将其分解为一些概在求某些稍复杂的事件的概率时，可将其分解为一些概率较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易率较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易(3)计算计算“至少至少”“至多至多”等问题

8、的概率等问题的概率已知两个随机事件已知两个随机事件a，b，它们的概率分别为，它们的概率分别为p(a)，p(b)，则，则2. 判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由立事件，并说明理由从从40张扑克牌张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从红桃、黑桃、方块、梅花点数从110各各10张张)中，任取一张中，任取一张(1)“抽出红桃抽出红桃”与与“抽出黑桃抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌抽出红色牌”与与“抽出黑色牌抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为抽出的牌点数为5的倍数的倍数”与与“抽出的牌点数大于抽出的牌点数大于9”思路探索思路探索

9、 结合事件的有关概念判断即可结合事件的有关概念判断即可【例例1】解解(1)是互斥事件，不是对立事件是互斥事件，不是对立事件理由是：从理由是：从40张扑克牌中任意抽取张扑克牌中任意抽取1张，张，“抽出红桃抽出红桃”和和“抽抽出黑桃出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件同时，是不可能同时发生的，所以是互斥事件同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块方块”或者或者“梅花梅花”，因此，二者不是对立事件，因此，二者不是对立事件(2)既是互斥事件，又是对立事件既是互斥事件，又是对立事件理由是：从理由是：从40张扑克牌中任意抽取张扑克牌中任意抽

10、取1张张“抽出红色牌抽出红色牌”与与“抽出黑色牌抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，两个事件不可能同时发生， 且其中必有一且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件不是互斥事件，当然不可能是对立事件理由是：从理由是：从40张扑克牌中任意抽取张扑克牌中任意抽取1张，张，“抽出的牌点数为抽出的牌点数为5的倍数的倍数”与与“抽出的牌点数大于抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发这两个事件可能同时发生，如抽得点数为生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立

11、事件可能是对立事件小结小结判断事件间的关系时，一是要考虑试验的前提条判断事件间的关系时，一是要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的，二是考虑事件间的结果是否有交事件，可考都是一样的，二是考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用虑利用venn图分析，对于较难判断关系的，也可列出全图分析，对于较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析部结果，再进行分析 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件a为为“只只订甲报订甲报”，事件，事件b为为“至少订一种报纸至少订一种报纸”

12、，事件，事件c为为“至多订一至多订一种报纸种报纸”，事件，事件d为为“不订甲报不订甲报”，事件，事件e为为“一种报纸也不一种报纸也不订订”判断下列事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们判断下列事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：是不是对立事件：(1)a与与c；(2)b与与e；(3)b与与d；(4)b与与c；(5)c与与e.解解(1)由于事件由于事件c“至多订一种报纸至多订一种报纸”中包括中包括“只订甲报只订甲报”，即事件即事件a与事件与事件c有可能同时发生，故有可能同时发生，故a与与c不是互斥事件不是互斥事件(2)事件事件b“至少订一种报纸至少订一种报纸”与事件与事件e“一种

13、报纸也不订一种报纸也不订”是不是不可能同时发生的，故事件可能同时发生的，故事件b与与e是互斥事件；由于事件是互斥事件；由于事件b发发生会导致事件生会导致事件e一定不发生，且事件一定不发生，且事件e发生会导致事件发生会导致事件b一一定不发生，故定不发生，故b与与e还是对立事件还是对立事件【变式变式1】(3)事件事件b“至少订一种报纸至少订一种报纸”中包括中包括“只订乙报只订乙报”，即有可能，即有可能“不订甲报不订甲报”，也就是说事件，也就是说事件b和事件和事件d有可能同时发生，有可能同时发生，故故b与与d不是互斥事件不是互斥事件(4)事件事件b“至少订一种报纸至少订一种报纸”中包括中包括“只订甲

14、报只订甲报”“只订乙只订乙报报”“订甲、乙两种报订甲、乙两种报”事件事件c“至多订一种报纸至多订一种报纸”中包括中包括“一种报纸也不订一种报纸也不订”“只订甲报只订甲报”“只订乙报只订乙报”由于这两个事由于这两个事件可能同时发生，故件可能同时发生，故b与与c不是互斥事件不是互斥事件(5)由由(4)的分析，事件的分析，事件e“一种报纸也不订一种报纸也不订”仅仅是事件仅仅是事件c中中的一种可能情况，事件的一种可能情况，事件c与事件与事件e可能同时发生，故可能同时发生，故c与与e不是互斥事件不是互斥事件 某商场有奖销售中，购满某商场有奖销售中，购满100元商品得元商品得1张奖券，多购张奖券，多购多得

15、，多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等个，一等奖奖10个，二等奖个，二等奖50个设个设1张奖券中特等奖、一等奖、二张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为等奖的事件分别为a、b、c，求：，求：(1)p(a)，p(b)，p(c)；(2)1张奖券的中奖概率；张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率分析分析 明确事件的特征、分析事件间的关系，根据互斥事明确事件的特征、分析事件间的关系，根据互斥事件或对立事件求解件或对立事件求解【例例2】小结小结解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的解决此类

16、问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算进行计算 2011年年10月月1日某购物中心举行日某购物中心举行“庆国庆回报顾客庆国庆回报顾客”的的超低价购物有礼活动，某人对购物中心交款处排队等候付超低价购物有礼活动，某人对购物中心交款处排队等候付款的人数及其概率统计如下：款的人数及其概率统计如下：【变式变式2】排队人数排队人数02030405050人以上人以上概率概率0.10.160.30.30.10.04求：求：(1)至多至多30人排队的概率；人排队的概率； (2)至少至少30人排队的概率人排队

17、的概率解解(1)记记“没有人排队没有人排队”为事件为事件a，“20人排队人排队”为事件为事件b，“30人排队人排队”为事件为事件c.a，b，c三个事件彼此互斥所以至三个事件彼此互斥所以至多多30人排队的概率为人排队的概率为p(abc)p(a)p(b)p(c)0.10.160.30.56.(2)记记“至少至少30人排队人排队”为事件为事件d，由，由(1)知事情知事情d与事件与事件ab是对立事件，则至少是对立事件，则至少30人排队的概率为人排队的概率为p(d)1p(ab)1p(a)p(b)10.10.160.74.【例例3】求：求：(1)“取出取出1球为红球或黑球球为红球或黑球”的概率；的概率；(

18、2)“取出取出1球为红球或黑球或白球球为红球或黑球或白球”的概率的概率小结小结 应用互斥事件、对立事件的概率公式求概率应用互斥事件、对立事件的概率公式求概率 【小结小结】 求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件的概率转化为彼此互斥的事件的和的概率；二是先求事件的概率转化为彼此互斥的事件的和的概率；二是先去求对立事件的概率，再求所求事件的概率去求对立事件的概率，再求所求事件的概率【变式变式3】转化与化归思想的核心把陌生问题转化为熟悉的问题，事转化与化归思想的核心把陌生问题转化为熟悉的问题，事实上解题过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是实上解题过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程求解系统趋近于目标系统的过程在本节中运用加法公式及对立思想把复杂概率分解为易求在本节中运用加法公式及对立思想把复杂概率分解为易求解的概率问题解的概率问题方法技巧转化与化归思想在和事件中的应用方法技巧转化与化归思想在和事件中的应用 某地区年降水量某地区年降水量(单位：单位：mm)在下列范围内的概率如下在下列范围内的概率如下表：表：【示示例例】年降年降水量水量600，800)800，1 000)