概率论与数理统计五大数定理

1、1用来阐明大量随机现象平均结果稳定性的定理用来阐明大量随机现象平均结果稳定性的定理.切比雪夫不等式切比雪夫不等式: :设随机变量设随机变量 x 有数学期望有数学期望 ex 及方差及方差 dx，则对于则对于 ，下列不等式成立：，下列不等式成立： 2 dxexxp 21 dxexxp “大数定律大数定律”:或或就就 x是连续型随机变量的情况证明：是连续型随机变量的情况证明： exxp exxdxxf)(证证一、切比雪夫不等式一、切比雪夫不等式设设x 的概率密度为的概率密度为 ,xf则则, exx ,22 exx , 122 exx2 dxxfexx)(122 2 dx exxdxxfexx)(12

2、2例例1 1 利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望的差大于利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望的差大于三倍标准差的概率三倍标准差的概率.解解 3 exxp 23 dx 1111. 091当当x 的分布未知时，利用的分布未知时，利用e(x)、d(x)可以得到关于概率可以得到关于概率 )(xdkexxp 的粗略估计。的粗略估计。放大被积函数其值也大放大被积函数其值也大放大积分区放大积分区间其值也大间其值也大注注：3例例2 为了确定事件为了确定事件 a 的概率的概率, 进行了进行了10000次重复独立试验次重复独立试验. 利用切比雪夫不等式估计：用事件利用切比雪夫不等式估计：用事件a 在

3、在10000次试验中发生次试验中发生的频率作为事件的频率作为事件 a 的概率近似值时的概率近似值时, 误差小于误差小于0.01的概率的概率.解解 设事件设事件a 在每次试验中发生的概率为在每次试验中发生的概率为 p，在这在这10000次试验次试验中发生了中发生了x 次次, 则则exnp,10000pdx ,110000pp 因此，所求事件的概率为因此，所求事件的概率为 01. 010000pxp 10010000 pxp 100 exxp21001dx pp 1121pp 22143 p.75. 0 4 niinexnxe11的数学期望是：的数学期望是：nx独立随机变量独立随机变量 的的算术平

4、均值算术平均值：nxxx,21 niinxnx11二、大数定理二、大数定理 niindxnxd121的方差为：的方差为：nx若方差一致有上界，则若方差一致有上界，则nknxdn 21nk当当 n 充分大时，充分大时，随机变量随机变量分散程度是很小的，分散程度是很小的，nx由此，由此，也就是说，也就是说，的值较紧密地聚集在它的数学期望的值较紧密地聚集在它的数学期望nxe的附近的附近.nx5切比雪夫定理：切比雪夫定理：设独立随机变量设独立随机变量 , ,21nxxx ,kdxi 则对于任何正数则对于任何正数 ，恒有，恒有111lim11 niiniinexnxnp分别有数学分别有数学 ,21nex

5、exex,21 ndxdxdx及方差及方差即存在某一常数即存在某一常数k，使得，使得且方差是且方差是一致有上界一致有上界的，的，, 2 , 1 ni期望期望并并 1lim nnnxexp按概率收敛按概率收敛于于n当当 时，时，按概率收敛按概率收敛于零。于零。或说或说nx,nxennxex 这就是说，这就是说，6证证)(1 11 )(11 12211 niiniiniixdnxenxnp 2211nnk 21 nk , n令令并注意到概率不能大于并注意到概率不能大于1，得证，得证.对于随机变量对于随机变量,11 niinxnx由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式 21 nnnxdxexp 所以所以7

6、若对于任何正数若对于任何正数 ， , 1lim axpnn定义：定义：记作记作axpn当当 时按概率收敛于数时按概率收敛于数 a ，nnx则称随机变量则称随机变量注注：axpn0 pnax则则 的算术平均值当的算术平均值当期望期望 及方差及方差 ，2 11lim1 niinxnp设独立随机变量设独立随机变量服从同一分布服从同一分布,nxxx,21 并且有数学并且有数学nxxx,21 n时，按概率收敛于时，按概率收敛于， 即对于任何正数即对于任何正数 ，恒有，恒有推论推论( (辛钦大数定律辛钦大数定律) )8伯努利定理：伯努利定理：在独立试验序列中，当试验次数无限增加时，事件在独立试验序列中，当

7、试验次数无限增加时，事件a 的频的频率按概率收敛于事件率按概率收敛于事件a 的概率的概率.概率很小的事件在概率很小的事件在个别个别试验中是不可能发生的。试验中是不可能发生的。小概率事件的实际不可能性原理：小概率事件的实际不可能性原理：即：设事件即：设事件 a 的概率的概率 p(a) = p， 发生的次数，事件发生的次数，事件 a 的频率为的频率为 ,nmawn 恒有恒有. 1lim pnmpnm 表示表示 a 在在 n 次独立试验中次独立试验中则对于任何正数则对于任何正数 ， 9若次品率不大于若次品率不大于0.01， 则任取则任取200件，发现件，发现6件次品的概率件次品的概率应不大于应不大于

8、1946620020099. 001. 0)6( cp利用泊松定理，利用泊松定理， 取取=2000.01=2012. 0! 62)6(26200 ep此概率很小，此概率很小， 据小概率事件的实际不可能性原理，据小概率事件的实际不可能性原理，不能相信该工厂的次品率不大于不能相信该工厂的次品率不大于0.01。品能否相信该工厂的次品率不大于品能否相信该工厂的次品率不大于0.01。例例3 从某工厂的产品中任取从某工厂的产品中任取200件，检查结果发现其中有件，检查结果发现其中有6件次件次解解10设事件设事件nb表示表示“在在 n 次独立试验中，事件次独立试验中，事件a发生发生”；ia表示表示“在第在第

9、 i 次试验中，事件次试验中，事件a发生发生”。niinab1 papi )(而而 niinapbp1)( niiap11 naaap211 napapap211 np)1(1 显然，显然，. 1)( nbpn时时，当当例例4 设在每次试验中，事件设在每次试验中，事件 a 发生的概率均为发生的概率均为 p(0p1)，且，且 p很小很小(小概率事件小概率事件)，求在，求在 n 次独立试验中，事件次独立试验中，事件a发生的概率。发生的概率。解解注注 小概率事件尽管在个别试验中不可能发生，但在大量试验小概率事件尽管在个别试验中不可能发生，但在大量试验中几乎必然发生。中几乎必然发生。11概率论中有关论

10、证概率论中有关论证随机变量的和的极限分布是正态分布随机变量的和的极限分布是正态分布的定的定理叫做理叫做中心极限定理中心极限定理。设设 是独立随机变量，并各有是独立随机变量，并各有 ,21nxxx., 2 , 1,2 nidxexiiii ,1 niinxy设设 niinyd12 nnnnndyeyyyz .1)(,0)( nnzdze则则有有：则：则： ,1 niinye .2ns niiniinxs111 ,11 niiinxs 12设独立随机变量设独立随机变量,21 nxxx林德伯格条件林德伯格条件 林德伯格定理林德伯格定理:n则当则当 时时, 有有 .21lim22 ztnndtezzp

11、 ,21)(lim212 ztnniiindtezsxp 即即若每一个别随机变量对于若每一个别随机变量对于总和不起主要作用，总和不起主要作用，注注 当当 n 充分大时充分大时,近似地服从正态分布近似地服从正态分布. 121 niiniin ， niinxy113列维定理列维定理则当则当 时，它们和的极限分布是正态分布，即时，它们和的极限分布是正态分布，即n,21lim212 ztniindteznnxp (z 为任意实数为任意实数.)考虑随机变量考虑随机变量:,1 niinxy n )(nye则则 niixe1)(2 n )(nyd niixd1)(学期望和方差：学期望和方差： ., 2 ,

12、1, 0)(,)(2 nixdxeii 设设独立独立随机变量随机变量 ,21nxxx服从服从同分布同分布,并且有数并且有数14解解，0)( ixe，121)( ixd.30021 ， i由列维定理知由列维定理知, 所求的概率所求的概率 103001iixp 22 1003003001iixp nnxpii1003001 9544. 0122 2503001iixp例例1 计算机进行加法计算时计算机进行加法计算时, 把每个加数取为最接近于它的整数把每个加数取为最接近于它的整数来计算来计算. 设所有的取整误差是相互独立的随机变量设所有的取整误差是相互独立的随机变量, 并且都在并且都在区间区间-0.

13、5,0.5上服从均匀分布上服从均匀分布, 求求 300 个数相加时误差总和的个数相加时误差总和的绝对值小于绝对值小于10的概率。的概率。 5.0 5.0， 设随机变量设随机变量 表示第表示第i个加数的取整误差，则个加数的取整误差，则ix在区间在区间ix上服从均匀分布，并且有上服从均匀分布，并且有 n121300 515德莫威尔德莫威尔拉普拉斯定理拉普拉斯定理 ，10 pp ztnndteznpqnpyp，2221lim 其中其中z 是任何实数，是任何实数，. 1 qp设在独立实验序列中，事件设在独立实验序列中，事件a 在各次实验中发生的概率为在各次实验中发生的概率为ny随机变量随机变量 表示事

14、件表示事件a 在在n 次实验中发生的次次实验中发生的次 数，则有数，则有ny . npqnpn，由于随机变量由于随机变量 服从二项分布服从二项分布 ， pnbny拉斯定理说明：当拉斯定理说明：当 n 充分大时，服从充分大时，服从 pnb，的随机变量的随机变量 1221 npqnpmnpqnpmmympn所以德莫威尔所以德莫威尔拉普拉普近似地服从正态分布近似地服从正态分布16(1) 已知已知 n=200, p =0.75，解解 98. 0163. 1 98. 063. 1 .7849. 0 8365. 019484. 0 5 .371501445 .37150160 160144ypnp=150

15、，5 .37 npq(1) 任一时刻有任一时刻有144至至160台机器正在工作的概率；台机器正在工作的概率；(2) 需供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率需供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率例例2 200台同类型的机器，每台工作时所需电功率为台同类型的机器，每台工作时所需电功率为q千瓦千瓦 ，每台实际工作时间占全部工作时间的每台实际工作时间占全部工作时间的75%，各台机器是否，各台机器是否工作是相互独立的。求：工作是相互独立的。求：不小于不小于0.99。17 0， . 33.25.37150 m 5 .245 .37150 9901.033.2 ， ， 3 .164 m. 1

16、65 m . 99. 00 myp(2)设任一时刻正在工作的机器的台数不超过设任一时刻正在工作的机器的台数不超过m，则：，则：. 99.05 .371505 .37150 m所以需要供应所以需要供应165q千瓦的电功率。千瓦的电功率。18例例3. 在一家保险公司里在一家保险公司里,有有10000人参加某险种的保险人参加某险种的保险,每人每年付每人每年付120元保险费元保险费,在一年内在一年内 1 个人死亡的概率为个人死亡的概率为0.007,死亡时其家属死亡时其家属可向保险公司领取可向保险公司领取10000元元,求保险公司一年内利润不少于求保险公司一年内利润不少于400000元的概率元的概率?解

17、解以以 x 表示一年内死亡人数表示一年内死亡人数,),007. 0 ,10000( bx保险公司一年内利润不少于保险公司一年内利润不少于400000元元,4000001000012010000x即即80x)80(xp993. 0707080993. 0007. 010000007. 010000xp)2 . 1 (8849. 0保险公司一年内利润不少于保险公司一年内利润不少于400000元的概率为元的概率为88.49%.19例例5.8 每颗炮弹命中飞机的概率为每颗炮弹命中飞机的概率为0.01，求，求500发炮弹发炮弹中命中中命中5发的概率发的概率. 上一页上一页下一页下一页返回返回解解 500发炮弹中命中飞机的炮弹数目发炮弹中命中飞机的炮弹数目x服从