【教案】等差数列第二课时教学设计-（人教A版（2019）选择性必修第二册）

1、4.21等差数列的概念（2）教学设计（一）教学内容 等差数列的性质及实际应用（二）教材分析 1. 教材来源 本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修二第四章数列2. 地位与作用 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓（三）学情分析 1.认知基础：同学们已经掌握了等差数列的通项公式及递推公式。2.认知障碍：在具体的举例下，等

2、差数列的性质及应用比较容易。（四）教学目标 1. 知识目标：能根据等差数列的定义推出等差数列的性质，并能运用这些性质简化运算.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题2.能力目标：培养学生观察与归纳能力。3.素养目标：通过推导等差数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养，通过利用等差数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.（五）教学重难点：1. 重点： 等差数列的性质及其应用 2. 难点：等差数列的性质的推导 （六）教学思路与方法 教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识阶段（7） 课前准备多媒体（八）教学过程 教学环节：新课引

3、入教学内容师生活动设计意图请同学们思考以下问题：若等差数列an为1，3，5，7，2n1，则数列an2，2an是等差数列吗？提示：因为等差数列的通项为an2n1，则an22n122n1，2an2(2n1)4n2，可判断数列an2，2an都是等差数列，一般地，若an为等差数列，则anc，can也是等差数列，你还知道等差数列的其他性质吗？可以让学生列举一些x项，观察是否是等差数列通过问题引起学生注意，激发学生学习兴趣.教学环节：新知探究教学内容师生活动设计意图知识梳理：1.等差数列通项公式的变形及推广(1)andn(a1d)(nN*)，(2)anam(nm)d(m，nN*)，(3)d(m，nN*，且

4、mn).2等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项(3)满足的关系式是ab2A 可以铺设问题，让学生自行完成通过回顾等差数列的定义及其中项性质，提出问题。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。教学环节：例题解析教学内容师生活动设计意图例3.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的范围.分析：这台设备使用n年后的价值构成一个数列an，由题意可知，10年

5、之内（含10年），这台设备的价值应不小于11万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元，可以利用an的通项公式列不等式求解。解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列an由已知条件，得anan-1d（n2）所以数列an是一个公差为d的等差数列.因为a1220d，所以an220d(n1)(d)220nd. 由题意，得a1011，a1111. 即：22010d1122011d11解得19<d20.9所以，d的求值范围为19<d20.9例4. 已知等差数列an 的首项a12，d=8,在an 中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列bn.(1

6、)求数列bn 的通项公式.(2) b29是不是数列an 的项？若是，它是an 的第几项？若不是 ，请说明理由.分析：（1） an是一个确定的数列，只要把a1 ，a2表示为bn中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式；（2）设an中的第n项是bn中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的关系式，由此即可判断b29是否为an的项.解：（1）设等差数列bn的公差为d.b1=a1, b5=a2, b5- b1 =a2 - a1=8b5- b1 =4d', 4d' =8, d' =2,bn=2+(n-1) 2=2n所以数列bn的通项公式是bn=2

7、n（2）数列an的各项依次是数列bn的第1,5,9,13，项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列cn，则cn=4n - 3令4n - 3=29, 解得:n =8所以， b29是数列的第8项对于第（2）小题，你还有其他解法吗？等差数列的性质 如果在一个等差数列的每相邻两项之间都插入 k(kN*)个合适的数，仍然可以构成一个新的等差 数列.例5. 已知数列an 是等差数列，p,q,s,tN*,且 p+q=s+t求证:ap+aq=as+at分析：利只要根据等差数列的定义写出ap，aq，as，at，再利用已知条件即可证得证明：设数列an 的公差为d,则ap=a1+(p-1

8、) d,aq=a1+(q-1) d,as=a1+(s-1) d,at=a1+(t-1) d,所以: ap+aq=2a1+(p+q-2) d,as+at=2a1+(s+t-2) d,因为p+q=s+t，所以ap+aq=as+at.例5 是等差数列的一条性质，右图是它的一种情形.你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？ 通过上节课我们知道等差数列对应的点分布在一条直线上，那么你能从直线斜率的角度来解释这一性质吗？思路：ap-asp-s=at-aqt-qp+q=s+t, p-s=t-qap-as=at-aqap+aq=as+at下标性质在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，q

9、N*)，则amanapaq.特别的，若mn2p(m，n，pN*)，则有aman2ap.主要是教师板演，让学生发现规律。通过实际问题的分析解决，体会等差数列的应用。通过典型例题，加深学生对等差数列及其性质的理解和运用，深化对等差数列的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素通过典型例题，加深学生对等差数列及其性质的理解和运用，深化对等差数列的理解。教学环节：课堂练习1.在等差数列an中，已知a310，a820，则公差d等于( )A.3 B.6 C.4 D.3解析：由等差数列的性质得a8a3(83)d5d，所以d6.答案B2.在等差数列an中，a12，a3a510，则a7等于(

10、 )A.5 B.8 C.10 D.14解析：法一设等差数列的公差为d，则a3a52a16d46d10，所以d1，a7a16d268.法二：由等差数列的性质可得a1a7a3a510，又a12，所以a78.答案：B3.在等差数列an中，a1a52，a3a78，则a11a15_.解析：(a3a7)(a1a5)4d6，则d，则a11a15(a1a5)20d220×32.答案324.在等差数列an中，已知5是a3和a6的等差中项，则a1a8_.解析：由题意知a3a610，故a1a8a3a610.答案105.三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为24，求这三个数.解：设这三个数分别为ad，a，ad.由题意可得解得或所求三个数为2，2，6或6，2，2.学生自我检测，教师统计正确率通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。教学环节