线性代数教案同济版

1、线性代数线性代数 课 程 教 案学院、部 系、所 授课教师 课程名称 线性代数 课程学时 45 学时 实验学时 教材名称 年年 月月 日日 第 2 页，共 41 页 线性代数 课程教案授课类型 理论课 授课时间 3 节授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式1 二阶与三阶行列式2 全排列及其逆序数3 阶行列式的定义n4 对换本授课单元教学目标或要求：1.会用对角线法则计算 2 阶和 3 阶行列式。2.知道阶行列式的定义。n本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容：行列式的定义1.计算排列的逆序数的方法设是这个自然数的任一排列，并规定由小

2、到大为标准次序。12np pp1,2,nn先看有多少个比大的数排在前面，记为；1p1p1t再看有多少个比大的数排在前面，记为；2p2p2t最后看有多少个比大的数排在前面，记为；npnpnt则此排列的逆序数为。12ntttt2.阶行列式n1212111212122212()12( 1)nnnntppnpp ppnnnnaaaaaaDaaaaaa其中为自然数的一个排列， 为这个排列的逆序数，求和符号是对所有排列12np pp1,2,nt求和。12()np pp阶行列式中所含个数叫做的元素，位于第 行第列的元素，叫做的元。nD2nDijijaD( , )i j3.对角线法则：只对 2 阶和 3 阶行

3、列式适用 第 3 页，共 41 页 1112112212212122aaDa aa aaa111213212223112233122331132132313233132231122133112332aaaDaaaa a aa a aa a aaaaa a aa a aa a a重点和难点：理解行列式的定义行列式的定义中应注意两点：(1) 和式中的任一项是取自中不同行、不同列的个元素的乘积。由排列知识可知，中这样的DnD乘积共有项。!n(2) 和式中的任一项都带有符号， 为排列的逆序数，即当是偶排列( 1)tt12()np pp12np pp时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号。12

4、np pp综上所述，阶行列式恰是中所有不同行、不同列的个元素的乘积的代数和，其中一nDDn半带正号，一半带负号。例：写出 4 阶行列式中含有的项。1123a a解：和。11233244a a a a11233442a a a a例：试判断和是否都是 6 阶行列式中的项。142331425665a a a a a a324314512566a a a a a a解：下标的逆序数为，所以142331425665a a a a a a4312650 1220 16 是 6 阶行列式中的项。142331425665a a a a a a下标的逆序数为，所以324314512566a a a a a a

5、(341526)(234156)538不是 6 阶行列式中的项。324314512566a a a a a a例：计算行列式0001002003004000D 解：0 1 2 3( 1)1 2 3 424D 本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合首先通过二（三）元线性方程组的解的表达式引出二（三）阶行列式的定义。然后介绍有关全排列及其逆序数的知识，引出阶行列式的定义。n通过讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系，引导学生了解行列式的三种等价定义。本授课单元思考题、讨论题、作业：1 P.26 1(1)(3)2 2(5)(6)本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）线性代数附册 学习辅

6、导与习题选讲（同济第四版） 线性代数 课程教案授课类型 理论课 授课时间 2 节授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式5 行列式的性质6 行列式按行（列）展开7 克拉默法则本授课单元教学目标或要求：1 知道阶行列式的性质。n2 知道代数余子式的定义和性质。3 会利用行列式的性质及按行（列）展开计算简单的阶行列式。n4 知道克拉默法则。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容：1.行列式的性质(1) 行列式与它的转置行列式相等。DTD(2) 互换行列式的两行（列） ，行列式变号。(3) 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数，等于用

7、数乘此行列式；或者行列式kk的某一行（列）的各元素有公因子，则可提到行列式记号之外。kk(4) 行列式中如果有两行（列）元素完全相同或成比例，则此行列式为零。(5) 若行列式的某一列（行）中各元素均为两项之和，则此行列式等于两个行列式之和。(6) 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。2.行列式的按行（列）展开(1) 把阶行列式中元所在的第 行和第列划去后所成的阶行列式称为元的n( , )i jijaij1n( , )i jija余子式，记作；记，则称为元的代数余子式。ijM( 1)ijijijAM ijA( , )i jija(2)阶行列

8、式等于它的任一行（列）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积的和。即可以按n第 行展开：i；1122(1,2, )iiiiininDa Aa Aa Ain或可以按第列展开：j.1122(1,2, )jjjjnjnjDa Aa Aa Ajn(3) 行列式中任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即，11220,ijijinjna Aa Aa Aij或 .11220,ijijninja Aa Aa Aij3.克拉默法则含有个未知元的个线性方程的方程组n12,nx xxn 第 5 页，共 41 页 11 11221121 1222221 122nnnnnnnnnna x

9、a xa xba xa xa xba xa xa xb当全为零时，称为齐次线性方程组；否则，称为非齐次线性方程组。12,nb bb(1)如果方程组的系数行列式，那么它有唯一解：，其中0D (1,2, )iiDxinD是把中第 列元素用方程组的右端的自由项替代后所得到的阶行列(1,2, )iD inDin式。(2)如果线性方程组无解或有两个不同的解，那么它的系数行列式。0D (3)如果齐次线性方程组的系数行列式，那么它只有零解；如果齐次线性方程组有非零0D 解，那么它的系数行列式必定等于零。用克拉默法则解线性方程组的两个条件：(1) 方程个数等于未知元个数；(2) 系数行列式不等于零。克拉默法则

10、的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.4.一些常用的行列式(1) 上、下三角形行列式等于主对角线上的元素的乘积。即11121112222122112212nnnnnnnnnnaaaaaaaaDa aaaaaa特别地，对角行列式等于对角线元素的乘积，即.11221122nnnnaaDa aaa类似地，.1(1)2,1212,111( 1)nn nnnnnnaaDa aaa (2) 设，则11111kkkkaaDaa11121nnnnbbDbb 第 6 页，共 41 页 .111112111111110kkkkknnnknnnaaaaDD Dcc

11、bbccbb(3) 范德蒙（Vandermonde）行列式122221212111112111( ,)()nnnnijn ijnnnnxxxV x xxxxxxxxxx 计算行列式常用方法：(1)利用定义；(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。重点和难点：行列式的计算，要注重学会利用行列式性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算。例：课本 P.12 例 7例 9例：课本 P.21 例 13例：课本 P.25 例 16本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合以从行列式的定义为切入口，引导学生探讨行列式的各种性质。通过大量的例题引导学生掌握如何利用行列式性质及按行

12、（列）展开等基本方法来简化行列式的计算。本授课单元思考题、讨论题、作业：思考题问：当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则解方程组？为什么？此时方程组的解为何？答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能否用克拉默法则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解。本授课单元思考题、讨论题、作业：5 P.26 4(1)(2)(3)，5(1)(2)，7(1)(2) (5)6 P.26 5 (4)，7 (3) (6)7 P.28 8(1)，9本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版） 第 7 页，共 41 页 线性代数 课程教案授课类型

13、理论课 授课时间 2 节授课题目（教学章节或主题）：第二章矩阵及其运算 1 矩阵 2 矩阵运算 3 逆矩阵 4 矩阵分块法本授课单元教学目标或要求： 掌握矩阵的定义,矩阵的加减法数乘转置矩阵求逆矩阵的行列式分块矩阵等运算,了解矩阵多项式运算本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：本章拟分 3 次课完成,第一讲: 1 矩阵,2 矩阵的运算;第二讲: 3 逆矩阵;第三讲: 4 矩阵分块法第一讲: 1 矩阵,2 矩阵的运算; 基本内容:1 矩阵:一 矩阵的定义,定义 1 由 MN 个数组成的行列的数表), 2 , 1;, 2 , 1(njmiaijmn

14、 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为行列矩阵,简称 MN 矩阵,为表示它是一个整体,总是加一个括弧,并用大写黑体字母表mn示它,记作 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211这 MN 个数称为菊阵 A 的元素,简称为元,数位于矩阵 A 的第 行列,称为矩阵 A 的(I,J)元,以ijaij数为(I,J)元的矩阵可简记为或,MN 矩阵 A 也记着.ija)(ijanmija)(nmA元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵行数和列数都等于的矩阵称为阶矩阵或阶方阵, 阶矩阵 A 也记作.nnnnnA只有一行的矩阵 )(21naaaA称为行矩阵,又

15、称为行向量, 行矩阵也记作),(21naaaA 第 8 页，共 41 页 只有一列的矩阵 nbbbA21称为列矩阵,又称为列向量.两个矩阵的行数相等,列数也相等,称它们是同型矩阵,如果 A=,B=是同型矩阵,并且它们的)(ija)(ijb对应元素相等,即),njmibaijij, 2 , 1, 2 , 1(那么就称矩阵 A 与矩阵 B 相等,级作A=B元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作 O,不同型的零矩阵是不同的.2 矩阵的运算一 矩阵的加法定义 2 设有两个矩阵 A=和 B=,那么矩阵 A 与 B 的和记着 A+B,规定为nm)(ija)(ijb mnmnmmmmnnnnbababababab

16、abababa221122222221211112121111两个矩阵是同型矩阵时才能进行加法运算.矩阵加法满足下列运算规律(设 A,B,C 都是矩阵):nm( ) A+B=B+A;i()(A+B)+C=A+(B+C)iiA=的负矩阵记为)(ija -A=)(ija A+(-A)=O规定矩阵的减法为A-B=A+(-B)二 矩阵的数乘定义 3 数与矩阵 A 的乘积记作或,规定为AA mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211 第 9 页，共 41 页 矩阵数乘满足下列运算规律(设 A,B 为矩阵,为数):nm,(1) ;)()(AA(2) AAA)(3) BABA)(重点,难点:矩

17、阵乘矩阵:让学生充分理解矩阵乘矩阵的定义,特别强调前面矩阵的列等于后面矩阵的行的原因.说明矩阵乘法常态下不满足消去率,通过练习提高学生的计算准确率.三 矩阵乘矩阵定义 4 设 A=()是一个矩阵,B=()是一个矩阵,那么矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一ijasmijbns个矩阵 C=(),其中nmijc ), 2 , 1;, 2 , 1(12211njmibabababacskkjiksjisjijiij把此乘积记为 C=AB且有 sjjjisiibbbaaa2121),(ijskkjiksjisjijicbabababa12211例 4 求矩阵 A=与20121301431110231101

18、4B的乘积 解 C=AB=2012130143111023110141199129例 5求矩阵A=与 B=21426342 第 10 页，共 41 页 的乘积 AB 与 BA 解 AB=214263421683216 BA=634221420000AB对于两个阶方阵 A,B,若 AB=BA,称方阵 A 与 B 可交换n从上面等式可以得出结论:若而也不能得出 X=Y 的结论OA 0)(YXA矩阵的乘法虽不满足交换律,满足结合律和分配律(1)(AB)C=A(BC)(2)为数)()()(BABAAB(3)A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA 对于单位矩阵 E,有 nmnnmnmnmmAE

19、AAAE, 即: EA=AE=A特殊矩阵:1 单位矩阵; E=1000100012 数量矩阵 E0000003 对角矩阵 nnaaa00000022114 ;三角矩阵 或nnnnaaaaaa000022211211nnnnaaaaaa21222111000可以得到: )()(nnnnnEAAAE 第 11 页，共 41 页 表明纯量矩阵跟任何矩阵可交换 定义矩阵的幂为 kllklklkAAAAAAAAAA)( ,1121其中为正整数k例 6证明 nnnnncossinsincoscossinsincos证 用数学归纳法,时显然成立,设=时成立,即1nnk kkkkkcossinsincosco

20、ssinsincos当时,有1 kn kkkkkcossinsincoscossinsincos1cossinsincos =sinsincoscossincoscossinsincoscossinsinsincoscoskkkkkkkk =) 1cos() 1sin() 1sin() 1cos(kkkk等式得证. 四 矩阵的转置 定义 5 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做 A 的转置矩阵,记作TA A=.则mnmmnnaaaaaaaaa212222111211TAmnnnmmaaaaaaaaa212221212111A 的转置也是一种运算,满足(1) AATT)( (2)

21、TTTBABA)( (3) TTAA)(4) (AB)TTTAB证明(4) 设,B=,记,有smijaA)(nsijb)(mnijTTnmijdDABcCAB)(,)( skkijkjibac1而的第 行为,的第列为,因此TBi),(21siiibbbTAjTjsjaa),(1skkijkskjkkiijbaabd11), 2 , 1;, 2 , 1(mjnicdjiij有 TTTABAB)(例 7已知 第 12 页，共 41 页 ,B=231102A102324171求TAB)(解 因为 =AB2311021023241711013173140所以 1031314170)(TAB若 A 是阶

22、方阵,如果满足,即nAAT ), 2 , 1,(njiaajiij那么 A 称为对称矩阵. 例 设列矩阵 X=满足,E 是阶单位阵,证明是对Tnxxx),(211XXTnTXXEH2H称矩阵,且EHHT 证 TTTXXEH)2( HXXEXXETTT22所以 H 是对称矩阵. =THH2H2)2(TXXE =+TXXE4)(4TTXXXX =+TXXE4)(4TTXXXX =+=TXXE4TXX4E五 方阵的行列式 定义 6 由阶方阵 A 的元素所构成的行列式(各元素位置不变),称为方阵 A 的行列式,记作n或A.Adet满足下列运算规律(A,B 为阶方阵,为数)An(1) AAT(2) AA

23、n(3) ,且BAAB BAAB 例 9 行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下的矩阵AijA nnnnnnAAAAAAAAA212221212111称为 A 的伴随矩阵,试证 第 13 页，共 41 页 EAAAAA证明 设,记,则)(ijaA )(ijbAA ijjninjijiijAAaAaAab2211故 )()(EAAAAAijij类似有 )()(1EAAAaAAAijijnkkjki本授课单元教学手段与方法： 讲授为主,练习为辅,主要让学生充分理解矩阵运算的定义,原则,从而掌握矩阵运算,并通过练习提高学生运算的准确率.本授课单元思考题、讨论题、作业：P53:3.4(1),(2);

24、(3),(4)本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版）注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点” 、 “难点” 、 “教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。 第 14 页，共 41 页 线性代数 课程教案授课类型 理论课 授课时间 2 节第二讲: 3 逆矩阵 基本内容: 3 逆矩阵定义 7 对于阶矩阵 A,如果有一个阶矩阵 B,使nn EBAAB则说矩阵 A 是可逆的,并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵,简称逆阵.记为1A 如果 A 可逆,则 A 的逆

25、阵是唯一的.因为:设 B,C 都是 A 的逆阵,则有 B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C 定理 1 若矩阵 A 可逆,则0A 证 A 可逆,即有,使,故所以.1AEAA111EAA0A 定理 2 若,则矩阵 A 可逆,且0A AAA11其中为 A 的伴随矩阵.A 证 由例 9 可知 EAAAAA所以有 EAAAAAA11按照逆矩阵的定义知 A 可逆,且有 AAA11当时称 A 为奇异矩阵,否则称 A 为非奇异矩阵,可逆矩阵就是非奇异矩阵.0A推论 若,则)(EBAEAB或1 AB证 ,故,因而存在,有1EBA0A1A 1111)()(AEAABABAAEBB逆阵满足下列运算:(1) 若

26、 A 可逆,则也可逆,且.1AAA11)( 第 15 页，共 41 页 (2) 若 A 可逆,数,则可逆,且0A 111AA(3) 若 A,B 为同阶矩阵且可逆,则 AB 也可逆,且111)(ABAB证 ,由推论有: EAAAEAABBAABAB111111)()(111)(ABAB(4) 若 A 可逆,则也可逆,且TATTAA)()(11证 ,由推论有: EEAAAATTTT)()(11TTAA)()(11当时,定义0A ,为正整数TTAA)()(11kkAAEA)(,10k这样,当,为整数,有0A, AAAAA)( ,重点,难点:逆矩阵的求法.定理 2 说明通过求伴随矩阵的方式,让学生掌握

27、矩阵求逆,并告知学生下一章里还有更简单的求逆方法.例 10 求二阶矩阵的逆阵.dcba解 , 当时,有bcadAacbdA0A bcadA11acbd例 11 求方阵 343122321A的逆阵.解 ,知 A 可逆,的余子式2AA2, 5, 42, 6, 62, 3, 2333231232221131211MMMMMMMMM得 第 16 页，共 41 页 222563462332313322212312111MMMMMMMMMA所以1112532323111AAA例 12 设 ,A343122321130231,3512CB求矩阵 X 使其满足 CAXB 解 若存在,有11,BA 1A111C

28、BAAXBB即 =X11CBA111253232311302312513 =202011251341041012例 13设 P=求,2001,4121PAPnA解 112421, 21PP 11221,PPAPPAPPAnn而 ,2001nn2001,200122所以 =1PPAnn11242120014121n112421212121nn 第 17 页，共 41 页 122212222224222421112211nnnnnnnn 定义 设 mmxaxaxaax2210)(为的次多项式,A 为阶矩阵,记xmnmmAaAaAaEaA2210)(称为矩阵 A 的次多项式.,可证矩阵 A 的两个多

29、项式和是可交换的,即有)(Am A Af AAfAfAA 的多项式可以象数的多项式一样相乘或分解因式.例如x323233)(2)2)(AAAEAEAAEAEAE容易证明(1) 如果,则,从而1PPA1PPAkk)(AmmAaAaAaEa2210 11221110PPaPPaPPaEPPamm 1)(PP(2) 如果 为对角阵,则,从而),(21ndiag),(21knkkkdiagmmaaaEa2210)( mnmmmnaaa212110111 )()()(21n本授课单元教学手段与方法： 讲授为主,练习为辅,通过逆矩阵的定义及定理 2 的证明让学生充分掌握矩阵的求逆运算,并告知学生在下一章里

30、还可用更简练的方法计算逆矩阵本授课单元思考题、讨论题、作业：P54:11(1),(3);12(1),(2);P55:19,22 第 18 页，共 41 页 本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版） 线性代数 课程教案授课类型 理论课 授课时间 2 节第三讲: 4 矩阵分块法基本内容:4 矩阵分块法. 对于行数和列数较高的矩阵 A,运算时常采用分块法,使大矩阵的运算化成小矩阵的运算将矩阵 A用若干条纵线和横线分成许多小矩阵,每一个小矩阵称为 A 的子块.以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. 例 将矩阵43 34333231242322

31、2114131211aaaaaaaaaaaaA可以分块为 (1) (2) (3) 343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa分法(1)可记为 22211211AAAAA其中 ,2221121111aaaaA2423141312aaaaA ,323121aaA343322aaA分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则类似,满足:(1) 设矩阵 A 与矩阵 B 的行数相同,列数相同,采用相同的分块法,有 ,srsrAAAAA11

32、11srsrBBBBB1111其中,与的行数相同,列数相同,那么ijAijB srsrssrrBABABABABA11111111(2) 设,为数,那么srsrAAAAA1111 第 19 页，共 41 页 srsrAAAAA1111(3) 设 A 为矩阵,B 为矩阵,分块成lmnl,ststAAAAA1111trtrBBBBB1111其中的列数分别等于的行数,那么itiiAAA,21tjjjBBB,21 ABsrsrCCCC1111其中 ), 1;, 1(1rjsiBACtkkjikij重点,难点: 分块矩阵的乘法运算,对于四阶且子块含有零矩阵,单位阵,对角阵的高阶,一般做四块分且尽量分出单

33、位阵,零矩阵.例 14设 0211140110210101,1011011100100001BA求 AB解 把 A,B 分块成 22211110211140110210101,1011012100100001BBEBBEAOEA则 =ABEAOE1222111BBEB2212111111BABBAEB而 =+=21111BBA1121210111011142 =+221BA 112113330214所以 1311334210210101AB(4) 设,则srsrAAAAA1111TsrTrTsTTAAAAA1111 第 20 页，共 41 页 (5) 设 A 为阶矩阵,若 A 的分块矩阵只有在

34、对角线上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且在对角线n上的子块都是方阵,即 sAOOOAOOOAA21其中都是方阵,称 A 为分块对角矩阵.), 2 , 1(siAi分块对角矩阵的行列式有下列性质: sAAAA21若,则,并有), 2 , 1(sioAi0A 112111sAOOOAOOOAA例 15设,求120130005A1A解 , 2100120130005AAA3211,1213,51),5(122111AAAA 32011000511A对矩阵进行按行分快或按列分块:矩阵 A 有行,称为矩阵的个行向量,若第 行记作nmmAmi ),(21iniiTiaaa则矩阵 A 记为 TmTTA21

35、矩阵 A 有列,称为矩阵 A 的个列向量,若第列记作nmnnj mjjjjaaa21则 ),(21naaaA 对于矩阵与矩阵的乘积矩阵 AB=C=,若把行分成块,把 BsmijaA)(nsijbB)(nmijc)(m 第 21 页，共 41 页 分成块,有n ABTmTT21 nmijnTmTmTmnTTTnTTTncbbbbbbbbbbbb21222121211121),(其中ijcjTib),(21isiiaaaskkjiksjjjbabbb121以对角阵左乘矩阵时把 A 按行分块,有mnmA =mnmmA21TmTT21TmmTT2211以对角阵右乘矩阵时把 A 按列分块,有nnmA =

36、nA),(21naaam21),(2211nnaaa例 16设,证明OAATOA 证 设,把 A 的列向量表示为 A=,则nmijaA)(),(21naaa =AATTTTaaa21),(21naaanTnTnTnnTTTnTTTaaaaaaaaaaaaaaaaaa212221212111因为,所以,OAAT ,), 2 , 1,( , 0njiaajTi特别有 ), 2 , 1( , 0njaajTj而 jTjaa0),(222212121mjjjmjjjmjjjaaaaaaaaa得 ), 2 , 1( , 021njaaamjjj即 OA 下面用分块矩阵证明第一章中的克莱姆法则克莱姆法则

37、对于个变量, 个方程的线性方程组nn 第 22 页，共 41 页 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111如果它的系数行列式,则它有唯一解0D ), 2 , 1)(112211njAbAbAbDDDxnjnjjjj 证 把方程组写成向量方程 bAx 这里为阶矩阵,因,故存在.nnijaA)(noDA1AbbAAAx1表明是方程组的解向量,也是唯一的解向量.bAx1由于,所以,即AAA11bADbAx11nnnnnnnnnnnnnnnnnAbAbAbAbAbAbAbAbAbDbbbAAAAAAAAADxxx22112222121121

38、2111212122212121112111也就是 ), 2 , 1(112211njDDAbAbAbDxjnjnjjj本授课单元教学手段与方法： 讲授为主,练习为辅,通过对高阶矩阵特别是可分出部分零矩阵或单位阵的四阶矩阵的分块让学生掌握分块矩阵的加法运算,数乘运算,矩阵乘矩阵的运算,以及求逆矩阵的运算,并列举了几个典型例子的运算.本授课单元思考题、讨论题、作业：P55:26;P56:29.本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版） 第 23 页，共 41 页 线性代数 课程教案授课类型 理论课 授课时间 1 节授课题目（教学章节或主题）

39、：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组3.1 矩阵的初等变换本授课单元教学目标或要求： 熟练掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形；知道矩阵等价的概念。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：1.基本内容 定义与记号初等行变换与行等价;(,),ijiijrr rk rkrAB()rAB初等列变换与列等价;(,),ijiijcc ck ckcAB()cAB初等变换,与等价.AB()AB矩阵的行阶梯形、行最简形、标准形0.00rm nEF2.重点 矩阵的初等变换对矩阵施行以下三种变换称为矩阵的初等变换： (1) 交换矩阵的两行(列); (2) 以

40、一个非零的常数乘矩阵的某一行(列);k (3) 把矩阵的某一行(列)的倍加到另一行(列).k3.例题与解题方法 参见 PPT本授课单元思考题、讨论题、作业：79.1(1)(3)P 第 24 页，共 41 页 线性代数 课程教案授课类型 理论课 授课时间 2 节授课题目（教学章节或主题）： 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组3.2 初等矩阵本授课单元教学目标或要求： 知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联系，掌握用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法.本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：1.基本内容 初等矩阵(1) 定义 单位阵经一次初等变换所得

41、矩阵称为初等矩阵.(2) 对矩阵作一次初等行(列)变换相当于用对应的初等矩阵左(右)乘.AA(3) 初等变换及其逆变换与初等矩阵及其逆阵的对应可列表如下：初等变换初等矩阵逆变换逆矩阵ijrrijcc( , )E i jijrrijcc( , )E i jiirkck( ( )E i kiirkck1( ( )E ikijjirkrckc( ( )E ij kijjirkrckc( ()E ijk(4) 方阵可逆ArAE12()liAPPP P为初等矩阵存在可逆矩阵使AB ,P Q.BPAQ(5)若则可逆，且特别地，若则可逆，且( , )( ,),rA BE XA1.XA B( ,)( ,),r

42、A EE XA1.XA2.重点、难点对矩阵作一系列初等行(列)变换，相当于用可逆矩阵左(右)乘，由此引出用初等变换求逆AA阵的方法；会用矩阵的初等行变换求矩阵的逆矩阵；会用矩阵的初等行变换求矩阵方程的解.3.例题与解题方法例 1 设1112131414131211212223242423222131323334343332314142434444434241,aaaaaaaaaaaaaaaaABaaaaaaaaaaaaaaaa 第 25 页，共 41 页 120001100001000010,0010010010000001PP其中可逆，则等于A1B(A) (B) (C) (D) 112A P

43、P112PA P112PP A121P A P分析：把矩阵的 1,4 两列对换,2,3 两列对换即得到矩阵,根据初等矩阵的性质,有或AB12BAPP那么所以应选(C).21.BAP P111111211212().BAP PP PAPP A例 2 设 4 阶矩阵1100213401100213,0011002100010002BC且矩阵满足关系式试将所给关系式化简,并求出矩阵.A1(),TTA EC BCEA解：由所给的矩阵关系得即故用初等变1 (),TA C EC BE(),TA CBE1() .TACB换法求由于1() ,TCB1000100010001000210001000100210

44、0() ,)321000100210301043210001032140011000100010001000010021000100210000101210001012100021230100010121TCBE故110002100() 12100121TACB其他例题参见 PPT本授课单元思考题、讨论题、作业：79.3(2)4(1)P 第 26 页，共 41 页 线性代数 课程教案授课类型 理论课 授课时间 1.5 节授课题目（教学章节或主题）： 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组3.3 矩阵的秩本授课单元教学目标或要求：1.理解矩阵的秩的概念，知道初等变换不改变矩阵的秩的原理，掌握用初等变

45、换求矩阵的秩的方法。知道矩阵的标准形与秩的关系。2.知道矩阵秩的基本性质。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：1.基本内容矩阵的秩(1) 定义 矩阵的阶子式，矩阵的秩。k(2) 的行阶梯形含个非零行的标准形( )R ArArA0.00rEF(3) 矩阵秩的性质 0( )min , ;R Am n ()( );TR AR A 若则,AB( )( );R AR B 若可逆，则,P Q()( );R PAQR A max ( ), ( )( , )( )( );R A R BR A BR AR B特别地，当为列向量时，有Bb ( )( , )( )

46、 1;R AR A bR A ()( )( );R ABR AR B ()min ( ), ( );R ABR A R B 若则0,m nn lAB( )( ).R AR Bn2.重点、难点矩阵秩的概念，矩阵秩的性质，利用初等变换求秩，应用矩阵的秩解决问题。3.例题与解题方法例 1.设三阶矩阵为A 111111xAxx试求秩( )R A分析 矩阵含有参数因此其秩一般随的变化而变化，讨论其秩主要从两点着手分析：矩阵A, xx秩的行列式定义和初等变换不改变矩阵的秩。 第 27 页，共 41 页 解: 方法一 直接从矩阵秩的行列式定义出发讨论由于 21111(2)(1)11xxxxx故 当且时, 1

47、x 2x | 0, ( )3;AR A 当时, 且1x | 0,A 1 1 11 1 1 , ( )1;1 1 1AR A 当时, 且,这时有二阶子式因此2x | 0,A 211121112A210.12( )2.R A 方法二 利用初等变换求秩211111111110111111111101100(2)(1)xxxAxxxxxxxxxxxxxx因此 当且时, 1x 2x ( )3;R A 当时, 1x ( )1;R A 当时, 2x ( )2.R A 例 2. 设为矩阵A5 41231212011311042025kA且的秩为 3,求A. k解: 方法一 用初等变换 第 28 页，共 41

48、页 1231123121205600113011311040333202504431231123101130113001 15001 15000120001000150000kkAkk可见, 则必有即( )3,R A 10,k 1.k 方法二 因为的秩为 3,故其 4 阶子式A1231212001131104k解得1.k 例 3. 设为阶矩阵的伴随矩阵,证明*AnA*, ( ),()1, ( )1,0, ( )1.n R AnR AR AnR An证明: 已知则可逆由知可逆,所以( ),R AnA,| 0,A *|AAA E*A*().R An若则由( )1,R AnA| 0,A 又由矩阵秩的

49、行列式定义*|0,AAA E*( )(),R AR An*()( )1,R AnR A( )1,R An有,矩阵至少有一个阶子式不为零,那么矩阵中至少有一个元素非零,所以从而A1n*A*()1,R A有*()1.R A若则的任一阶子式为零,故,所以( )1,R AnA1n*0A *()0.R A本授课单元思考题、讨论题、作业： 79.9(2)(3)P 第 29 页，共 41 页 第 30 页，共 41 页 线性代数 课程教案授课类型 理论课 授课时间 1.5 节授课题目（教学章节或主题）： 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组3.4 线性方程组的解本授课单元教学目标或要求：1.理解线性方程组无解

50、,有唯一解或有无限多个解的充分必要条件(包括非齐次线性方程组有解的充分必要条件及齐次线性方程组有非零解的充要条件).2.熟练掌握用矩阵的初等行变换求解线性方程组的方法。3.知道矩阵方程有解的充要条件。AXB本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：1.基本内容 (1) 线性方程组的解法 1 基本定理 元线性方程组n.Axb 无解的充分必要条件是( )( , );R AR A b 有唯一解的充分必要条件是( )( , );R AR A bn 有无限多解的充分必要条件是( )( , ).R AR A bn 2 求解线性方程组的步骤(见教材) (2) 重

51、要定理 定理 1 线性方程组有解的充分必要条件是Axb( )( , ).R AR A b 定理 2 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是n0m nAx( ).R An 把定理 1 推广到矩阵方程，得 定理 3 矩阵方程有解的充要条件是AXB( )( , ).R AR A B2.重点、难点根据增广矩阵的行最简形熟练写出线性方程组的通解；线性方程组的基本定理。3.例题与解题方法例 1求方程组的通解123412341234124562345xxxxxxxxxxxx解：对增广矩阵作初等行变换得 1111111111( , )2145603234123450323457102111113324240

52、1101133330000000000A b 第 31 页，共 41 页 原方程组化为134234752334233xxxxxx取自由未知量得特解为对应原方程的齐次方程组为340,xx07 4( ,0,0) ,3 3Txxxxx 令得基础解系为3410,01xx 故原方程的通解为1252(,1,0) ,( 2, 1,0,1) ,33TT 01 122127523342133001100 xkkkk其中为任意常数12,k k例 2. 设 1232123123424xxkxxkxxkxxx 问方程组什么时候有解？什么时候无解？有解时，求出相应的解。解 方法一 方程组的系数

53、行列式 11|11(1)(4)112kAkkk 当即时，方程组有唯一解，且唯一解为(按克莱姆法则)| (1)(4)0Akk1,4k 221232242,111kkkkkxxxkkk时，方程组为1k 1231231234124xxxxxxxxx 此时 第 32 页，共 41 页 11141114( , )1111023811240005A b 方程组无解。( )2( , )3,R AR A b时，方程组为4k 1231231234441624xxxxxxxxx 114411441030( , )1411601140114112400000000A b 故方程组有无穷多解，其同解方程组为，通解为(

54、 )( , )23,R AR A b1323304xxxx其中为任意常数1230341 ,01xxxCx C方法二 直接化增广矩阵为阶梯形2114114( , )1102281124(1)(4)00(4)2kkA bkkkkkk k 时，有1,4k 2221001141224( , )014010,212200100111kkkkkkkA bkkkkk可见方程组有唯一解221232242,111kkkkkxxxkkk时，方程组无解1k ( )2( , )3,R AR A b时，4k 11441030( , )0114011400000000A b故方程组有无穷多解，通解为( )( , )23,

55、R AR A b 第 33 页，共 41 页 其中为任意常数1230341 ,01xxxCx C本授课单元思考题、讨论题、作业：80.12(2),13(3)P 线性代数 课程教案授课类型 理论课 授课时间 2 节授课题目（教学章节或主题）： 第四章 向量组的线性相关性1 向量组及其线性组合2 向量组的线性相关性本授课单元教学目标或要求：一、了解维向量空间的概念n二、掌握线性组合的概念，掌握一向量由一个向量组线性表示的充要条件三、掌握线性相关和线性无关的概念，能够利用定义及一些有关判定定理证明或判定一组向量的线性关系本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例

56、题等）：一、向量组及其线性组合（定义、定义、定义 3、定理 1、定理 2、定理 3）二、维向量的表示方法 n三、向量空间四、向量、向量组与矩阵五、线性相关性的概念（定义 4）六、线性相关性的判定(定理 4、定理 5） 向量 可由（不可由）1，2，n线性表示的主要结论：（1）若 = k11+ k22 + +knn（ki为实数） ，则说 可由1，2，n线性表示命题： 可由向量组1，2，n线性表示 方程组 AX = 有解，其中 A =（1，2，n ） 秩（A）= 秩（A， ） 推论 1： 可由1，2，n线性表示，且表达式是惟一的 方程组 AX = 有惟一解 秩（A）= 秩（A，）= n 1，2，n线

57、性无关，1，2，n ，线性相关推论 2： 可由1，2，n线性表示，且表达式是不惟一的 秩（A）= 秩（A，） n（2）若对于任何一组数 k1，k2，kn都有 k11+ k22 + + knn则说 不可由1，2，n线性表示命题： 不可由1，2，n线性表示 方程组 AX = 无解 秩（A） 秩（A，） ，其中 A =（1，2，n ） 七、线性相关性在线性方程组中的应用 第 34 页，共 41 页 重点（难点）：. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）. 线性相关与线性无关的判定方法：定义

58、，两个定理 （难点）本授课单元教学手段与方法：讲授、练习。本授课单元思考题、讨论题、作业：. P108： 2、3、4、5、6、7、8、11、12、20 线性代数 课程教案授课类型 理论课 授课时间 2 节授课题目（教学章节或主题）： 第四章 向量组的线性相关性3 向量组的秩本授课单元教学目标或要求：一、掌握最大无关组与向量组的秩的概念二、掌握求向量组的秩的方法三、掌握求向量组的最大无关组的方法本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：一、最大线性无关向量组的概念 （定义 5）二、矩阵与向量组秩的关系三、向量组秩的重要结论：1m 维向量组1，2，n线

59、性无关的充分必要条件：向量组1，2，n线性无关 对于任何一组不全为零的数组k1，k2，kn都有 k11+ k22 + + knn 0 对于任一个i（1in）都不能由其余向量线性表示 AX = 0 只有零解 秩（A）= n，其中 A =（1，2，n ） 2m 维向量组1，2，n线性相关的充分必要条件：向量组1，2，n线性相关 存在一组不全为零的数组k1，k2，kn，使得 k11+ k22 + + knn 0 至少存在一个i（1in）使得i可由其余向量线性表示 AX=0 有非零解 秩（A） n，其中 A =（1，2，n ） 3线性相关向量组的几个结论：（1）设1，2线性相关，则1，2，3必线性相关

60、（反之不一定对） ； （2）含有零向量的向量组必线性相关（反之不一定对） ；（3）若向量个数 向量维数，则向量组必线性相关4列向量组1，2， t可由1，2，s线性表示则（1）若 t s，则1，2， t线性相关；（2）若1，2， t线性无关，则 t s；重点（难点）： 第 35 页，共 41 页 最大线性无关向量组的概念：最大性、线性无关性 矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩 关于向量组秩的一些结论：一个定理、三个推论 求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换本授课单元教学手段与方法：讲授、练习。本授课单元思考