数学专业毕业论文行列式解法技巧

1、目录1 行列式的基本理论.31.1 行列式定义 .31.2 行列式的性质 .31.3 基本理论.51.4 几种特殊行列式的结果 .52 行列式的计算技.62.1 定义法 .62.2 化成三角形行列式法 .72.3 两条线型行列式的计算 .82.4 箭型行列式的计算 .92.5 三对角行列式的计算 .102.6 利用范德蒙行列式 .112.7 hessenberg 型行列式的计算.122.8 降阶法 .132.9 加边法（升阶法） .142.10 计算行（列）和相等的行列式 .152.11 相邻行（列）元素差 1 的行列式计算.152.12 线性因子法 .162.13 辅助行列式法 .172.1

2、4 n阶循环行列式算法 .182.15 有关矩阵的行列式计算 .202.16 用构造法解行列式 .212.17 利用拉普拉斯展开 .213 用多种方法解题 .22参考文献：参考文献： .26【内容摘要】行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。本文先阐述行列式的基本理论，然后介绍各种具体的方法，最后由行列式与其它知识的联系介绍其它几种方法。通过这一系列的方法进一步提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。【关键词】行列式 ； 矩阵； 范德蒙行列式 ； 递推法 abstract: determinant is an ba

3、sic and important subject in advanced algebra ,it is very useful in mathematic. it is very important to know how to calculate determinant. the paper first introduced the basic nature of determinant,then introduced some methods, finally,with the other determinant of knowledge on the links in several

4、other ways.,through this series of methods will futher enhance our understanding of the determinant,on our learning will bring very useful help.keywords: determinant；matrix；vandermonde determinant； recurrence method引 言行列式在高等代数课程中的重要性以及在考研中的重要地位使我们有必要对行列式进行较深入的认识，本文对行列式的解题技巧进行总结归纳。 作为行列式本身而言，我们除了利用行列

5、式的性质化三角行列式和按行或列展开公式使行列式降阶这些常用的手法外，要根据行列式不同的特点采用特殊的方法，如递推法，数学归纳法，加边法（ 升阶法），以及利用范德蒙行列式的结论等等。1 行列式的基本理论1.1 行列式定义定义定义 行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不同列的数的积的和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关，逆序数之和为偶数符号为正，逆序数之和为奇数符号为负。这一定义可以写成,这里1 2121 2111212122212121nnnnj jjnjjnjj jjnnnnaaaaaaa aaaaa表示对所有级排列求和.1 2nj jjn1.2 行列式的性质 1、行列式的行

6、列互换，行列式不变；nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa2122212121112122221112112、互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；nnnniniiknkknnnnnknkkiniinaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa21212111211212121112113、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数；nnnniniinnnnniniinaaaaaaaaakaaakakakaaaa2121112112121112114、行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零；02121211121121212111211nnnniniiiniin

7、nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaakaaakakakaaaaaaa5、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆另两个行列式的和。nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaacccaaaaaabbbaaaaaacbcbcbaaa212111211212111221221111211 6、把一行的倍数加到另一行，行列式不变。7、行列式有两行（列）相同，则行列式为零。1.3 基本理论1其中为元素代数余子式。jijidaaaaaajninjiji, 0,2211ijaija2降阶定理bcadadcba13cacoba4baab 5非零矩阵 k 左乘行列式的某一行加

8、到另一行上，则新的分块行列式与原来相等。1.4 几种特殊行列式的结果1 三角行列式(上三角行列式)nnnnnnaaaaaaaaa221122211211000(下三角行列式)nnnnnnaaaaaaaaa2211212221110002 对角行列式nnnnaaaaaa221122110000003对称与反对称行列式满足，d 称为对nnnnnnaaaaaaaaad212222111211)2 , 1,2 , 1(njniaajiij称行列式满足，d 称为0000321332312232111312nnnnnnaaaaaaaaaaaad )2 , 1,(njiaajiij反对称行列式。若阶数 n

9、为奇数时，则 d=04)(1111111312112232221321jnijinnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaad2 行列式的计算技巧2.1 定义法例 1：计算行列式00000000053524342353433323125242322211312aaaaaaaaaaaaaaaad 解：由行列式定义知，且， nnnjjnjjjjjjaaad1212121),() 1(0151411aaa所以 d 的非零项 j，只能取 2 或 3，同理由，05514454441aaaaa因而只能取 2 或 3，又因要求各不相同，故项中54jj51jj 521jjjaaa至少有一个必须取零，所以 d=

10、0。2.2 化成三角形行列式法将行列式化为上三角形行列式计算步骤，如果第一行第一个元素为零，首先将第一行(或第一列)与其它任一行(或列)交换，使第一行第一个元素不为零，然后把第一行分别乘以适当数加到其它各行，使第一列除第一个元素外其余元素全为零，再用同样的方法处理除去第一行加第一列余下的低阶行列式依次做下去，直至是它成为上三角形行列式，这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值。例 2 计算行列式abbbbabbbbabbbbadn解：各行加到第一行中去abbbbabbbbabbnaabbbabbnabnabnadn1111) 1() 1() 1() 1( 1)() 1(0000000001) 1

11、(nbabnababbabbabbna例 3 计算行列式12212154314321321nnnnnnd解：从倒数第二行(-1)倍加到第 n 行1111011110111101322) 1(1111111111111111321nnnnnnnnnnn将所有列加到第一列上nnnnnnnnnnn001112) 1(11111111112) 1(）倍加各行上第一行的（nnnnnnnnn1) 1(2) 1(001112) 1(12)1(2)1 () 1(nnnnn2.3 两条线型行列式的计算除了较简单的行列式（如上、下三角行列式等）可以用定义直接计算，少数几类行列式可利用行列式性质直接计算外，一般行列

12、式计算的主要方法是利用行列式的性质做恒等变形化简，使行列式中出现较多的零元素，然后直接用特殊的行列式的值来计算（如上（下）三角行列式等）或利用按行（列）展开定理降低行列式的阶数。例 4 .nnnnabbaabadn00000000011211阶行列式计算解：解： 按第 1 列展开得13322111132210000000000) 1(0000000000nnnnnnbbababbabaabaad. nnnbbbaaa211211 2.4 箭型行列式的计算对于形如的所谓箭型（或爪形）行列式，可以直接利用行列式性质化为三角或次三角形行列式来计算，即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零。例例 5

13、5 计算行列式 .100101012001111nndn解：解： )1211 ( !10000010020012111111212)1(11nnnnncncccnnnnnnd 2.5 三对角行列式的计算对于形如的所谓三对角行列式，可直接展开得到两项递推关系，然后采用如下的一些方法求解。21nnnddd方法 1 如果 n 比较小，则直接递推计算方法 2 用第二数学归纳法证明：即验证 n=1 时结论成立，设 时结论也成立，若证明 n=k+1 时结论也成立，则对任意自然数kn 相应的结论成立方法 3 将变形为，其21nnnddd)(211nnnnpddqpdd中, 由韦达定理知 p 和 q 是一元二

14、次方程 qp pq的两个根。确定 p 和 q 后，令，则利用02xx 1nnpddxf递推求出，再由递推求出。 1nqfnf nf nfpddnn1nd方法 4 设，代入得（称nnxd 021nnnddd0 xxn之为特征方程），求出其根和（假设），则，1x2x21xx nnnxkxkd2211这里，可通过 n=1 和 n=2 来确定。1k2k例例 6 6 计算行列式 .10000000010001000nd解解：将行列式按第展开，有n,)(21nnnddd112(),nnnndddd112(),nnnndddd得 nnnnnndddddd)()(1223221同理，得 ,nnndd1所以 .

15、,;,) 1(11nnnnnd2.6 利用范德蒙行列式范德蒙行列式具有逐行元素递增的特点。因此遇到具有逐行（或列）元素方幂递增或递减的所谓范德蒙型的行列式时，可以考虑将其转化为范德蒙行列式并利用相应的结果求值例例 7 7 计算行列式 .21 -n221 -n2211 -n1222212121111111nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxd解：解：把第 1 行的1 倍加到第 2 行，把新的第 2 行的1 倍加到第 3 行，以此推直到把新的第行的-1 倍加到第 行，便得范德1nn蒙行列式 . 1222212111112111()nnijn ijnnnnxxxdxxxxxxxx 2.7

16、hessenberg 型行列式的计算对于形如，的所谓 hessenberg 型行列式，可直接展开得到递推公式，也可利用行列式的性质化简并降阶。例例 8 8 计算行列式 ) 1(1)2(222111321nnnnnndn解：解： 将第 1，2n-1 列加到第 n 列，得 01)2(222112) 1(1321nnnnnndn1)2(211) 1(2) 1(1nnnnn2)!1() 1(1nn2.8 降阶法将行列式的展开定理与行列式性质结合使用，即先利用性质将行列式的某一行(或某一列)化成仅含一个非零元素，然后按此行(列)展开，化成低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式直接计算出结

17、果。)()()()()()(111144442222dcbadcdbcbdacabadcbadcbadcba左边)()()(000122222222222222222244444442222222adadacacababadacabadacabadacabaadacabaadacaba)()()(111)()(222222addaacacbaabdaacabadacab)()()()(11)()()(2222dbabbdabcabbccbdadacab)()()()()()(dcbadcdbcbdacaba例例 9 计算行列式，其中，00021212121aaaaaaaaaaaadnnnnn2

18、n01iia解：nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaad21222121211121222nnnaaaaaaaaa211212111110011112221122211100110012221121121nnnnnaaaaaaaaaad 11,2121111)2()2(21212121)2(kjkjniinnjjnkkiinaananaana2.9 加边法（升阶法）行列式计算的一般方法是降阶，但对于某些特殊的 n 阶行列式，如除对角元（或次对角元）外，其余元素相同或成比例的行列式，有时加上一行一列变成 n+1 阶的行列式，特别是第 1 列为并适当选择第 1 行的元素，就可以

19、使消零化简单方便，且t0,.0 , 1化简后常变成箭型行列式，这一方法称为升阶法或加边法例例 1010 计算阶行列式.nnnnnnaxaaaaaxaaaaaxaaaaaxd321321321321解解：00111nnndaadxxxaaanirrni0010010011) 1, 2(211.njjnnnjjxaxxxaaxa1111000012.10 计算行（列）和相等的行列式对于各行（或各列）之和相等的行列式，将其各列（或各行）加到第 1 列（或行）或第 n 列（或行），然后再化简。例例 1111 计算 n 阶行列式1110110110110111nd解解： 1110110110111111

20、) 12 , 1(nnnnniccinnd 0001001001001111)3 , 2(1nnirri) 1() 1() 1()1(2)1(nnnn) 1() 1(2)1)(2(nnn2.11 相邻行（列）元素差 1 的行列式计算 以数字 1，2，n 为（大部分）元素，且相邻两行（列）元素差 1 的 n 阶行列式可以如下计算：自第 1 行（列）开始，前行（列）减去后行（列）；或自第 n 行（列）开始，后行（列）减去前行（列），即可出现大量元素为 1 或1 的行列式，再进一步化简即出现大量的零元素。对于相邻行（列）元素相差倍数 k 的行列式，采用前行（列）减去后行（列）的k 倍，或后行（列）减

21、去前行（列）的k 倍的步骤，即可使行列式中出现大量的零元素。例例 1212 计算 n 阶行列式111111324323412231122nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaad解解11321)1 (101000001000001000001) 12 , 1(nnnnnnniinaaaaaaaaaniarrd2.12 线性因子法例例 1313 计算行列式(1) (2)0000 xyzxzyyzxzyxzzxx1111111111111111解：(1)由各列加上第一列可见，行列式 d 可被整除。zyx由第二列加到第一列，并减去第三、四列可见，可被整除，dxzy由第三列加于第

22、一列，并减去第二、四列可见，被整除。dzyx最后由第四列加于第一列，并减去第二、三列可见，可被d整除。我们把视为独立未知量，于是上述四个线性因子zyxzyx,式是两两互素的，因此，可被它们的乘积d整除。)()()(zyxzyxxzyzyx此乘积中含有一项：，而中含有一项：4zd4424) 1(zzc所以)()()(zyxzyxxzyzyxd222222444222zyzxyxzyx(2)将行列式的前两行和两列分别对换，得dzzxxd1111111111111111如果以代替 ，又得原来形式的行列式。因此，如果含有xxd因式 ，必含有因式，由于当时，有两列相同，故确有xx0 xdd因式 ，从而含

23、有因式。同理又含有因式，而的展开式中xd2xd2zd有一项：，从而22zx22zxd 例例 1414 计算行列式：xnxdn) 1(11111111解：由 阶行列式定义知，的展开式是关于 的首项系数为nndx的次多项式当时，因此1) 1(n) 1( n),(xdn)22 , 1 , 0(nkkx, 0)(kdn有个互异根 0，1、2由因式定理得 )(xdn1n2n20)(| )(nknxdkx故 )(02) 1(1kxkndnn2.13 辅助行列式法例例 1515 计算行列式 )()()()(1111nnnnnafafafafd其中为次数的数域 f 上多项式为 f), 1)(nixfi2nna

24、a 1中任意 个数。n解：若中有两个数相等，则naa 10nd若互异，则每个 阶行列式naa 1n 是)()()()()()()(21211nnnnnafafxfaffxfxg的线性组合，据题的次数因而)()(),(21xfxfxfn)(xfi)1(2nin的次数但 )(xg, 2n, 0)()(2nagag这说明至少有个不同的根，故所以即)(xg) 1( n, 0)(xg0)(1ag0)(xdn2.14 阶循环行列式算法n例例 1616 计算行列式其中acccbaccbbacbbbadncbabc . 0解：设且令的 个根为)()(12nxxxbaxf0bcxnn则),1(nixiniinx

25、fd1)(由有11)1()(xxbcxbcxbaxxxbaxfnn 1)()(1)(iiiiixacxbaxxbcbaxf利用关系式01,21niiijiixxxxxx bcxxxnn121) 1(得niiniiiininxacxbaxacxbad111) 1()()(1)()(bccabbacbcacbabcnnnnnnn)()() 1() 1()()() 1(11例例 1717 设都是 的可微函数), 2 , 1,(),(njixfijx证明：ninnnininnnnnnnxfxfxfdxdxfdxdxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfdxd111111212222111211)(

26、)()()()()()()()()()()()()()(证明：)()()() 1()()()()()()()()()(2211)(212222111211121xfxfxfdxdxfxfxfxfxfxfxfxfxfdxdnjnjjjjjjjnnnnnnnn)()()() 1(2211)(2121xfxfxfdxdnjnjjjjjjjjnn)()()()()()()() 1(1122112211)(2121xfdxdxfxfxfxfxfxfdxdnjnjnnjjnjnjjjjjjjjnn ) )()()() 1()()()() 1(212121211111)(2211)(nnnnjjjnjnjn

27、njjjjjjjnjnjjjjjxfdxdxfxfxfxfxfdxd)()()()()()()()()()()()()()()()()()(212222111211212222111211xfxfxfxfdxdxfdxdxfdxdxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfdxdxfdxdxfdxdnnnnnnnnnnnnn)()()()()()()()()(1)()()()()()()()()()()()(21211121121, 12, 11 , 12222111211xfxfxfxfdxdxfdxdxfdxdxfxfxfinxfdxdxfdxdxfdxdxfxfxfxfxfxfxfxfxfn

28、nnniniinnnnnnnnnnn2.15 有关矩阵的行列式计算例例 1818 设 a 与 b 为同阶方阵：证明：babaabba证明：babababbaababbaabba0例例 1919 设 a 为 阶可逆方阵， 、为两个 维列向量，则nnaaaa)1 (1证明：)1 (10111)1)(1(aaaaann例例 2020 若 阶方阵 a 与 b 且第 列不同。nj证明：baban12证明： *2*22211nnbabababa*2*2*2*22121bnbbanaa *2*21111bnbanann)(21banbaban122.16 用构造法解行列式例例 2121 设baxaxaxax

29、f),)()()(321证明：baabfbfaabbaabaaad)()(321证明：构造出多项式：baxbbabaxbaaaaxaxaxbxbxaxaxbxaxaxaxd321113210)(bababaaaaaxbabbababaaaaa32113211101110bababaaaaaxabbaabaaa323132101111)(xddxd)()()(000)(,)()()(0)(00)()(,13213211321321bfbddbabababababababababdbxafaddaaaaaaaaababaaabaaadax当当 baabfbafd)()(2.17 利用拉普拉斯展开例

30、例 2222 证明： 级行列式nxaaaaaxxxdnnn1221100000100001证明：利用拉普拉斯展开定理，按第 行展开有：nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxaxaxaxaaxxaxaxaaxxxxxaxxxaxxaxxad112222111)1(22)2(212111)1(2)2(121)() 1() 1() 1() 1() 1() 1() 1(0000100000100001)() 1(10000000000100001) 1(100001000000100000) 1(100001000000100001) 1( 以上等式右端的级行列式均为“三角形行列

31、式”。1n计算行列式的方法很多，也比较灵活，上面介绍了计算行列式的几种方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。3 用多种方法解题下面我们运用上面的介绍的各种方法，选用多种方法解题。例例 23 计算：xaaaaxaaaaxaaaaxdn法 1：将第 2,3,，n 行都加到第 1 行上去，得xaaaaaaxaanxxaaaaaaxaanxanxanxdn111) 1() 1() 1() 1(再将第一行通乘，然后分别加到第 2,3,n 行上，得a) 1()(0000000111) 1(1anxaxaxaxanxdnn法 2：将 2,3,n 行分别减去第 1 行得axxaaxxaaxxaaaaxdn000000再将第 2,3,n 列都加到第 1 列上去，便有1)() 1(000000000) 1(nnaxanxaxaxaxaaaanxd法 3：将添加一行及一列，构成阶行列式nd)