数理统计方法分享课件

1、 对随机现象进行观测、试验，对随机现象进行观测、试验， 以取得有代表性的观测值以取得有代表性的观测值 对已取得的观测值进行整理、对已取得的观测值进行整理、 分析分析, ,作出推断、决策作出推断、决策, ,从而从而 找出所研究的对象的规律性找出所研究的对象的规律性数数理理统统计计的的分分类类描述统计学描述统计学推断统计学推断统计学第八章第八章 数理统计方法数理统计方法参数估计参数估计假设检验假设检验回归分析回归分析方差分析方差分析 推断 统计学总体和样本总体和样本总体与个体总体与个体 总体总体或或母体母体指我们研究对象的指我们研究对象的全体构成的集合全体构成的集合，个体个体指总体中包含的指总体中

2、包含的每个成员每个成员 我们研究总体时，所关心的往往是总体某方我们研究总体时，所关心的往往是总体某方面的面的特性特性，这些特性又常常可以用一个或多个数，这些特性又常常可以用一个或多个数量指标来反映量指标来反映 例如，在研究某厂生产的灯泡的质量时，关例如，在研究某厂生产的灯泡的质量时，关心的可能是这些灯泡的寿命和光亮度等心的可能是这些灯泡的寿命和光亮度等 总体指一个或多个数量指标，我们可以用一总体指一个或多个数量指标，我们可以用一个或多个随机变量来表示它们个或多个随机变量来表示它们总体总体指标值全集指标值全集指标指标随机变量随机变量把总体与某个随机变量的可能取值的集合等同，把总体分布与某个随机变

3、量的分布等同，把对总体的研究转化为对某个随机变量规律的研究。 数理统计中提到的总体，是指分布未知或数理统计中提到的总体，是指分布未知或者分布类型已知但至少某些参数未知的随机变者分布类型已知但至少某些参数未知的随机变量，常用量，常用X X，Y Y，Z Z等表示。等表示。 因此，总体可以是一维随机变量，也可以是多因此，总体可以是一维随机变量，也可以是多维随机变量维随机变量 例如，在研究某厂生产的灯泡的质量时，可以例如，在研究某厂生产的灯泡的质量时，可以分别用分别用X，Y表示灯泡的表示灯泡的寿命寿命和和光亮度光亮度，那么，对，那么，对上面两个问题的研究就上面两个问题的研究就转化转化为对为对总体总体(

4、X，Y)的研的研究了究了 2 2 样本与抽样样本与抽样 实际应用中，为了研究总体的特性，总是从实际应用中，为了研究总体的特性，总是从总体中抽出部分个体进行观察和试验，根据观察总体中抽出部分个体进行观察和试验，根据观察或试验得到的数据推断总体的性质或试验得到的数据推断总体的性质我们把从总体中抽出的部分个体称为我们把从总体中抽出的部分个体称为样本样本，把样本中包含个体的数量称为把样本中包含个体的数量称为样本容量样本容量，把对样本的观察或试验的过程称为把对样本的观察或试验的过程称为抽样抽样，把观察或试验得到的数据称为把观察或试验得到的数据称为样本观测值样本观测值（观测（观测数据），简称数据），简称样

5、本值样本值 在应用中，我们从总体中抽出的个体必须具有代在应用中，我们从总体中抽出的个体必须具有代表性，样本中个体之间要具有相互独立性，为保证表性，样本中个体之间要具有相互独立性，为保证这两点，一般采用简单随机抽样这两点，一般采用简单随机抽样 定义定义 一种抽样方法若满足下面两点，称其为一种抽样方法若满足下面两点，称其为简单简单随机抽样随机抽样： (1) 总体中每个个体被抽到的机会是均等的；总体中每个个体被抽到的机会是均等的； (2) 样本中的个体相互独立样本中的个体相互独立 由简单随机抽样得到的样本称为由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本简单随机样本 如果没有特殊说明如果没有特殊说明,以后

6、所说样本均指简单随机样以后所说样本均指简单随机样本本总总 体体 X样本样本X1,X2,Xn样本值样本值x1,x2,xn随机抽样随机抽样 获得样本获得样本完成试验完成试验 获得数据获得数据整理加工整理加工 统计推断统计推断统计统计 工作工作3 统计量与抽样分布统计量与抽样分布 在利用样本推断总体的性质时，往往不能直接在利用样本推断总体的性质时，往往不能直接利用样本，而需要对它进行一定的加工，这样才利用样本，而需要对它进行一定的加工，这样才能有效地利用其中的信息，否则，样本只是呈现能有效地利用其中的信息，否则，样本只是呈现为一堆为一堆“杂乱无章杂乱无章”的数据的数据一、基本概念1. 统计量的定义统

7、计量的定义.),( ,),(,21212121计计量量是是一一个个统统则则称称不不含含未未知知参参数数中中若若的的函函数数是是的的一一个个样样本本是是来来自自总总体体设设nnnnXXXggXXXXXXgXXXX.),(),(,21212121的的观观察察值值是是则则称称的的样样本本值值是是相相应应于于样样本本设设nnnnXXXgxxxgXXXxxx1. 表示位置的统计量表示位置的统计量 设设X1，X2，Xn为总体为总体X的样本，的样本，x1，x2，.，xn为样本观测值，为样本观测值， (1) 样本均值样本均值 常用来作为常用来作为总体期望总体期望（均值）的估计量，（均值）的估计量，其观测值为其

8、观测值为 niiXnX11 niixnx11(2)(2)中位数中位数把一组数据按大小顺序排序后处于中间位置的数。把一组数据按大小顺序排序后处于中间位置的数。(3)(3)分位数分位数 设设X为一随机变量，我们知道对于给定的实数为一随机变量，我们知道对于给定的实数x，PX x是事件是事件X x的概率在统计中，我们常的概率在统计中，我们常常需要对给定事件常需要对给定事件X x的概率，由此确定的的概率，由此确定的x取是取是一个临界点一个临界点,称为分位数称为分位数(点点),有如下定义：有如下定义： 定义定义 设设X为随机变量，若对给定的为随机变量，若对给定的 (0，1)，存在存在x 满足满足 PX x

9、 = ，则称则称x 为为X的的上上 分位数分位数(点点)1方差、标准差与变异系数方差、标准差与变异系数 、极差极差1)(122nxxsnii1/)(12nxxsnixsxsCV/%100/1nCVss,22样本方差、标准差与变样本方差、标准差与变异系数为总体方差、标异系数为总体方差、标准差、变异系数的相合准差、变异系数的相合估计估计方差方差均方差均方差变异系数变异系数 时，有时，有 2 2 表示分散性的数字特征表示分散性的数字特征标准差标准差(方差方差)越越大大,表示观察值表示观察值分布越分散；反分布越分散；反之分布越集中之分布越集中. 刻划数刻划数据据相对相对分散分散指指标标 )1()(xx

10、Rn极差极差 (1) 样本样本k阶原点矩（简称样本阶原点矩（简称样本k阶矩）阶矩） ，(k = 1，2，) (2) 样本样本k阶中心矩阶中心矩 ，(k = 2，3，)显然显然 nikikXnA11 nikikXXnB1)(1,1XA niiXXnB122)(13 3 表示分布形态的数字特征表示分布形态的数字特征 （3 3）偏度）偏度 (skewness)(skewness)注注意意奇数奇数阶中阶中心距心距频数频数频数频数其中其中s样本标准差样本标准差. 分布对称；分布对称； 称正偏度称正偏度(右偏态右偏态) 均值右边数据更分散；均值右边数据更分散； 负偏度，均值左边的数据更分散负偏度，均值左边

11、的数据更分散.01g01g01g4峰度峰度) 3)(2() 1( 3)() 3)(2)(1() 1(2142nnnsxxnnnnngnii 1.正峰值表示数据中含有较多远离均值的极端数值，相对尖锐正峰值表示数据中含有较多远离均值的极端数值，相对尖锐的分布的分布,尾部粗尾部粗2.负峰表示两侧的极端数值比较少，数据大部分负峰表示两侧的极端数值比较少，数据大部分在均值周围，相对平坦在均值周围，相对平坦,尾部细尾部细 尖峰粗尾02g 平峰细尾02g反映与正态分布相比反映与正态分布相比某一分布的尖锐或平某一分布的尖锐或平坦度坦度. .极端数值少细尾，平峰极端数值分布广粗尾，尖峰，接近正态分布,0,002

12、22ggg理论根据理论根据: :样本矩样本矩( (的连续函数的连续函数) )依概率收敛于总依概率收敛于总 体矩体矩( (的连续函数的连续函数).).k,.,21),.,;(21kxF矩估计法矩估计法: :用样本矩用样本矩( (函数函数) )来估计总体矩来估计总体矩( (函数函数).).8.2 参数估计法参数估计法- 矩估计法矩估计法 设总体设总体X X的前的前k k阶矩阶矩1212( ;,.,)()(),( ;,.,)()Xlklllkx Rx f xdxE Xx p x 连续型离散型11nlliiAXn.,.2 , 1kl 矩估计法就是矩估计法就是: : 令令总体的前总体的前k k阶矩分别与

13、样本的阶矩分别与样本的 对应阶矩相等对应阶矩相等, ,即即 矩估计法矩估计法 ,2211kkAAAk,.,21k,21k,.,211. 矩估计法矩估计法 ., 0,221222的矩估计量的矩估计量和和求求一个样本一个样本是是又设又设均为未知均为未知和和但但且有且有都存在都存在和方差和方差的均值的均值设总体设总体 nXXXX 解解)(1XE , )(22XE ,22 2)()(XEXD .,2221AA 令令解方程组得到矩估计量分别为解方程组得到矩估计量分别为,1XA 2122AA niiXXn1221.)(112 niiXXn例例1. 矩估计法矩估计法 上例表明上例表明: 总体均值与方差的矩估

14、计量的表达式不因不总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不同的总体分布而异同的总体分布而异.的的矩矩估估计计量量即即得得未未知知例例222, ,),( NX,X 2 .)(112 niiXXn一般地一般地,11的均值的矩估计的均值的矩估计作为总体作为总体用样本均值用样本均值XXnXnii .)(1212的的方方差差的的矩矩估估计计作作为为总总体体用用样样本本二二阶阶中中心心矩矩XXXnBnii 1. 矩估计法矩估计法 一般说，事件一般说，事件A A发生的概率与参数发生的概率与参数有关，有关， 取值不同，则取值不同，则P(A)P(A)也不同。因而应记也不同。因而应记事件事件A A发生的发生的概率为

15、概率为P(A|P(A| ). ).若若A A发生了，则认为此时的发生了，则认为此时的 值应是值应是在在 中使中使P(A|P(A| ) ) 达到最大的那一个达到最大的那一个。这就是极大。这就是极大似然的思想似然的思想. .2. 最大似然估计最大似然估计 求最大似然估计量的步骤求最大似然估计量的步骤:; );();,()();();,()( )(121121 niinniinxfxxxLLxpxxxLL或或写出似然函数写出似然函数一一; );(ln)(ln);(ln)(ln )(11 niiniixfLxpL或或取取对对数数二二最大似然估计法是由费舍尔引进的最大似然估计法是由费舍尔引进的.2. 最

16、大似然估计最大似然估计 ., 0d)(lnd,d)(lnd )( 的最大似然估计值的最大似然估计值解方程即得未知参数解方程即得未知参数并令并令求导求导对对三三 LL 最大似然估计法也适用于分布中含有多个最大似然估计法也适用于分布中含有多个未知参数的情况未知参数的情况. 此时只需令此时只需令., 2 , 1, 0lnkiLi .), 2 , 1( ,iikik 的最大似然估计值的最大似然估计值数数即可得各未知参即可得各未知参个方程组成的方程组个方程组成的方程组解出由解出由 对数似然方程组对数似然方程组对数似对数似然方程然方程2. 最大似然估计最大似然估计 .,),(22122的最大似然估计量的最

17、大似然估计量和和求求的一个样本值的一个样本值是来自是来自为未知参数为未知参数设总体设总体 XxxxNXn解解的的概概率率密密度度为为X,e21),;(222)(2 xxfX 的的似然函数为似然函数为,e21),(222)(12 ixniL例例2. 最大似然估计最大似然估计 ,)(21ln2)2ln(2),(ln12222 niixnnL , 0),(ln, 0),(ln222 LL令令,0112 niinx ,0)()(21212222 niixn 2. 最大似然估计最大似然估计 解得解得由由0112 niinx ,11xxnnii 解解得得由由0)()(21212222 niixn ,)(1

18、212xxnnii 为为的最大似然估计量分别的最大似然估计量分别和和故故2 ,X .)(1212XXnnii 它们与相应的矩它们与相应的矩估计量相同估计量相同.2. 最大似然估计最大似然估计 对于同一个参数对于同一个参数, ,用不同方法求出的估计量可能用不同方法求出的估计量可能 不同不同. .那么那么, ,采用哪一个估计量为好呢采用哪一个估计量为好呢? ?用何种标准来用何种标准来 评判估计量的优劣评判估计量的优劣? ? 下面下面, ,介绍几个常用标准介绍几个常用标准. . 1 1、)(E 则称则称 为为 的的. . 称为用称为用 来估计来估计 的的. .因此因此, , . .( )E2 设设

19、都是参数都是参数的无偏估计，若的无偏估计，若则称则称 比比 有效有效 例如，设总体例如，设总体X的方差存在，的方差存在，X1, X2,Xn(n2)为总体为总体X的一个样本，的一个样本，易知易知 , 均为均为 的无偏估计的无偏估计,又有又有所以所以,当当n2时，最有效，时，最有效， 较较X1有效有效),.,(1111nXXX ),.,(1122nXXX )()(21 DD 1 2 X,211）（nXX 1X,)(2nXD ,22121 ）（nXXD21)( XDX）（nXX 121 3. 相合性相合性 总体参数总体参数的估计量是样本的函数，的估计量是样本的函数，随着样本容量的增加，其值应该越来越

20、接近真值随着样本容量的增加，其值应该越来越接近真值,于于是有：是有：定义定义7.4 设是参数设是参数的一个估计的一个估计量，若依概率收敛于量，若依概率收敛于，即对任意的，即对任意的 0，有，有则称是参数则称是参数的相合估计量，或者一致估计量的相合估计量，或者一致估计量 1|lim Pn),(21nXXX ),(21nXXX 4.4.区间估计区间估计 前面，我们讨论了参数点估计前面，我们讨论了参数点估计. 它它是用样本算得的一个值去估计未知参数是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，但是，点估计点估计值仅仅是未知参数的一个值仅仅是未知参数的一个近似值。近似值。它它没有没有反映出这个近似值的误

21、差范围，反映出这个近似值的误差范围，还有可信度还有可信度. 区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷 .点估计缺点点估计缺点 定义定义 设设X1,X2,Xn为总体为总体X的一个样的一个样本本,为总体为总体X的未知参数的未知参数,对给定的对给定的(0,1),如如果有两个统计量果有两个统计量 和和 满足满足 则称区间则称区间 是是的一个区间估计或置信的一个区间估计或置信区间，区间， 分别称作置信分别称作置信下限下限、置信、置信上限上限， 1 称为称为置信水平置信水平或或置信度置信度.区间估计区间估计),(2111nXXX ),(2122nXXX ,121 P21, ),

22、(21 【例】【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中抽取批灯泡中抽取16只，测得其寿命（单位：小时）如只，测得其寿命（单位：小时）如下所示：下所示：1510 1450 1480 1460 1520 1480 1490 14601480 1510 1530 1470 1500 1520 1510 1470求该灯泡平均使用寿命求该灯泡平均使用寿命90%、95%及及99%的置信区的置信区间间. 解：解：用用X表示灯泡的寿命，设表示灯泡的寿命，设XN( ， 2)，由于由于 2未知未知,用用 计算计算 的置信区间的置信区间其中其中n=16,正态总体均值

23、的区间估计正态总体均值的区间估计 )1(2ntnSX ,1490161161 iixx 33.613116116122 iixxsMatlab命令命令X=1510 1450 1480 1460 1520 1480 1490 14601480 1510 1530 1470 1500 1520 1510 1470;正态总体均值的区间估计正态总体均值的区间估计muhat,sigmahat,muci,sigmci=nomfit(x,0.05)Muhat返回正态总体均值的点估计，返回正态总体均值的点估计，sigmahat返返回正态总体标准差的点估计，回正态总体标准差的点估计，muci返回其均值的返回其均

24、值的区间估计，区间估计，sigmci返回其标准差的区间估计，返回其标准差的区间估计，x表表示数据，示数据，1-0.05是置信度，是置信度，0.05是显著性水平是显著性水平假设检验的思想方法是：假设检验的思想方法是： (1) 提出假设；提出假设； (2) 在假设成立的条件下构造一个小概率事件；在假设成立的条件下构造一个小概率事件； (3) 由样本数据判断小概率事件是否发生了，由样本数据判断小概率事件是否发生了，如果小概率事件发生了，根据如果小概率事件发生了，根据“小概率原理小概率原理”，作出否定原假设的推断作出否定原假设的推断假设检验的思想方法化工产品的化工产品的数量和质量数量和质量反应温度反应

25、温度压力压力原料成分原料成分原料剂量原料剂量溶液浓度溶液浓度操作水平操作水平反应时间反应时间机器设备机器设备一、单因素试验方差分析法方差分析方差分析根据试验的结果进行分析根据试验的结果进行分析,鉴别鉴别各个有关因素对试验结果的影响程度各个有关因素对试验结果的影响程度.试验指标试验指标试验中要考察的指标试验中要考察的指标.因素因素影响试验指标的条件影响试验指标的条件.因素因素可可 控控 因因 素素 不可控因素不可控因素水平水平因素所处的状态因素所处的状态.单因素试验单因素试验在一项试验中只有一个因素改变在一项试验中只有一个因素改变.多因素试验多因素试验在一项试验中有多个因素在改变在一项试验中有多

26、个因素在改变.例例1设有三台机器设有三台机器, ,用来生产规格相同的铝合金薄用来生产规格相同的铝合金薄板板.取样取样,测量薄板的厚度精确至千分之一厘米测量薄板的厚度精确至千分之一厘米.得结得结果如下表所示果如下表所示.表表9.1铝合金板的厚度铝合金板的厚度机器机器机器机器机器机器0.2360.2380.2480.2450.2430.2570.2530.2550.2540.2610.2580.2640.2590.2670.262试验指标试验指标: 薄板的厚度薄板的厚度因素因素: 机器机器水平水平: 不同的三台机器是因素的三个不同的水平不同的三台机器是因素的三个不同的水平假定除机器这一因素外假定除

27、机器这一因素外, 其他条件相同其他条件相同, 属于属于单因素试验单因素试验.试验目的试验目的: 考察各台机器所生产的薄板的厚度考察各台机器所生产的薄板的厚度有无显著的差异有无显著的差异. 即考察机器这一因素对厚度有无即考察机器这一因素对厚度有无显著的影响显著的影响. 在每一个水平下进行独立试验在每一个水平下进行独立试验,结果是一结果是一个随机变量个随机变量.例例1表表9.1铝合金板的厚度铝合金板的厚度机器机器机器机器机器机器0.2360.2380.2480.2450.2430.2570.2530.2550.2540.2610.2580.2640.2590.2670.262问题分析问题分析将数据

28、看成是来自三个总体的样本值将数据看成是来自三个总体的样本值.,321 设总体均值分别为设总体均值分别为.,:,:32113210不全相等不全相等 HH 检验假设检验假设.,:,:32113210不全相等不全相等 HH 检验假设检验假设进一步假设各总体均为正态变量进一步假设各总体均为正态变量,且各总体的且各总体的方差相等方差相等,但参数均未知但参数均未知.问题问题检验同方差的多个正态总体均检验同方差的多个正态总体均值是否相等值是否相等.解决方法解决方法方差分析法方差分析法,一种统计方法一种统计方法. 数学模型数学模型 jAAAAsAjs(,21在在水水平平个个水水平平有有设设因因素素得得到到如如

29、下下表表次次独独立立试试验验进进行行下下,)2(,), 2 , 1 jjnns.的结果的结果表表观察结果观察结果水平水平样本总和样本总和样本均值样本均值总体均值总体均值1A2AsA11X21X11nX12X22X22nXsX1sX2snsX1 T2 TsT 1 X2 XsX 1 2 s 假设假设;),(), 2, 1(,), 2 , 1(. 1 22221均均未未知知与与的的正正态态总总体体均均值值分分别别为为来来自自具具有有相相同同方方差差下下的的样样本本各各个个水水平平 jjjjnjjjNsjXXXsjAj . 2下下的的样样本本之之间间相相互互独独立立不不同同水水平平jA),(2 jij

30、NX 因为因为)., 0(2 NXjij所所以以 可可写写成成那那么么表表示示随随机机误误差差记记ijijjijXX, 均未知均未知与与独立独立各各., 2, 1, 2, 1 , ), 0( ,22 jjijijijjijsjniNX单因素试验方差分析的数学模型单因素试验方差分析的数学模型需要解决的问题需要解决的问题.,:,:211210不全相等不全相等ssHH 1.检验假设检验假设.,. 2221 s估计未知参数估计未知参数数学模型的等价形式数学模型的等价形式.1,11 sjjjsjjnnnn 记记总平均总平均., 2 , 1,sjjj . 02211 ssnnn .,平均的差异平均的差异平

31、均值与总平均值与总下的总体下的总体表示水平表示水平应应的效的效水平水平jjAA 独立独立各各 . 0, 2, 1, 2, 1 , ), 0( ,12sjjjjijijijjijnsjniNX 均未知均未知与与独立独立各各., 2, 1, 2, 1 , ), 0( ,22 jjijijijjijsjniNX原数学模型原数学模型改写为改写为.,:,:211210不全相等不全相等ssHH 检验假设检验假设等价于等价于检验假设检验假设.,:, 0:211210不全为零不全为零ssHH sjniijjXnX111数据的总平均数据的总平均 sjniijTjXXS112)(总偏差平方和总偏差平方和（总变差总

32、变差） jniijjjXnX11下的样本平均值下的样本平均值水平水平jA二、平方和的分解 sjniijTjXXS112)( sjnijjijjXXXX112)()( sjnijsjnijijjjXXXX112112)()( sjnijjijjXXXX11)(20 sjnijsjnijijTjjXXXXS112112)()(AESS sjnijijEjXXS112)(误差平方和误差平方和 sjjjsjnijAXXnXXSj12112)()(212XnXnsjjj 效应平方和效应平方和),(),1(/,22220snSsSHEA为真时,0为真时为真时所以所以 H)., 1()()1(22snsFs

33、nSsSEA )()1(snSsSEA 检验假设检验假设.,:, 0:211210不全为零不全为零ssHH )., 1()()1(snsFsnSsSFEA 拒绝域为拒绝域为,独立独立与与EASS单因素试验方差分析表单因素试验方差分析表方差来源方差来源因素因素A误差误差总和总和平方和平方和自由度自由度 均方均方F比比ASESTS1 ssn 1 n1 sSSAAsnSSEE EASSF , 1,111 sjniijniijjjjXTsjXT记记,2112nTXSsjniijTj .ATESSS ,212nTnTSsjjjA 所以对给定显著性水平所以对给定显著性水平 (0, 1)，H0的拒绝的拒绝域

34、为：域为：计算得到计算得到F的观测值为的观测值为F0, 当当F0落入拒绝域时拒落入拒绝域时拒绝原假设绝原假设H0, 可以认为因素可以认为因素A对响应变量有显著对响应变量有显著影响；否则不能拒绝影响；否则不能拒绝H0，认为因素，认为因素A对响应变对响应变量无显著影响量无显著影响), 1()() 1(snsFsnSsSFeA10.2.3 方差分析的方法方差分析的方法例设有三台机器例设有三台机器,用来生产规格相同的铝合金薄用来生产规格相同的铝合金薄板板.取样取样,测量薄板的厚度精确至千分之一厘米测量薄板的厚度精确至千分之一厘米.得结得结果如下表所示果如下表所示.表表9.1铝合金板的厚度铝合金板的厚度

35、机器机器机器机器机器机器0.2360.2380.2480.2450.2430.2570.2530.2550.2540.2610.2580.2640.2590.2670.262.,: ,: ,05. 032113210不全相等不全相等检验假设检验假设取取 HH 解解,15, 5, 3321 nnnns.192000. 0,33053001. 0,33245001. 0 EATSSS方差分析表方差分析表方差来源方差来源因素因素A误差误差总和总和平方和平方和自由度自由度均方均方F比比0.0010533332.920.000526670.000016212140.0001920.00124533.89

36、. 3)12, 2(92.3205. 0 FF.05. 00H下拒绝下拒绝在水平在水平各机器生产的薄板厚度有显著差异各机器生产的薄板厚度有显著差异.在在MATLAB中的求解中的求解函数函数:anova1格式格式:p=anova1(x)说明说明:对样本对样本X中的多列数据进行单因素方差分析中的多列数据进行单因素方差分析,比较各列的均值比较各列的均值,返回返回“零假设零假设”成立的概率值成立的概率值,如果如果概率值接近于零概率值接近于零,则零假设值得怀疑则零假设值得怀疑,表明各列的均表明各列的均值事实上是不同的值事实上是不同的.源程序源程序: x=0.236,0.238,0.248,0.245,0.243; 0.257,0.253,0.255,0.254,0.261; 0.258,0.264,0.259,0.267,0.262;p=anova1(x)程序运行结果程序运行结果 前面我们学习了随机变量的数学期望前面我们学习了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机变量，除了其数学和方差，对于多维随机变量，除了其数学期望和方差外，我们还要研究反映各分量期望和方差外，我们还要研究反映各分量之间关系的数字特征，其中最重要的，就之间关系的数字特征，其中最重要的，就是现在要讨论的是现在要讨论的协方差和相关系数协方差和相关系数引引 言言 这里有两个变量，一