高中数学选修2-1新教学案：2.2.1椭圆及其标准方程

1、选修2 2.2.1 椭圆及其标准方程（学案） （第1课时） 1两个同学合作，画出课本第38页探索中的图形，并思 考在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是 .2.椭圆的定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的 等于常数 ( )的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点F1、F2叫做 ，两定点的距离叫做 ；定义中提到的“常数”常用 表示，焦距常用 . 椭圆定义的数学表达式： 。当 时，点P的轨迹是线段 ；当 时，点P的轨迹不存在3. 椭圆的标准方程 ： 椭圆焦点的位置椭圆方程焦点坐标 焦点在x轴上 焦点在y轴上其中：焦距为2c，则a，b，c关系为 ；由椭圆的标准方程判断焦点位置或由焦点位置选椭圆标准

2、方程的形式的方法是 ；当椭圆是标准方程,但焦点位置不确定时,可应用分类讨论法解答,也可设其方程为 或 【基础练习】1已知F1（-1，0），F2（1，0），满足|PF1|+|PF2|=2的点P的轨迹为 ；若|PF1|+|PF2|=2时，点P的轨迹为 .如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，那么点到另一个焦点的距离是 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（），焦点在轴上:（），焦点在轴上:（）:. 若方程表示焦点在y轴上的椭圆,则 .1 / 16.F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，则ABF2的周长为 【典型例题】例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是，并且经过点，求它的标准方程变式

3、练习 1.两个焦点坐标分别是（0，3），（0，3），且经过点（0，5），则椭圆的方程为 .2.焦距为4，且经过点P（3，2）的椭圆的标准方程为 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上，且经过点（2，0）和点（0，1）.（2）焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P（0，10），P到离它较近的一个焦点的距离等于2.变式练习 1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）椭圆经过两点P（，0），Q(0, )；（2）平面内有两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程例3 点P是椭圆上的一点，F1，F2是椭圆的两焦点，且F1PF2=30°，求F1PF2的面积

4、.变式练习 已知经过椭圆的右焦点F2作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A、B两点，F1是椭圆的左焦点.（1）求A F1B的周长；（2）如果AB不垂直于x轴，A F1B的周长有变化吗?为什么？1判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标：，。2已知椭圆方程,，则这个椭圆的焦距为( )（A）2 （B） 3 （C） （D） 3下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是（ ）（） （）（） （）4a=6,c=1的椭圆的标准方程是 ( )（A） （B） （C） （D）以上答案都不对5如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 6.已知ABC中，B（-3，0），C（3，0），AB、BC、A

5、C成等差数列则顶点A的轨迹方程为 7和椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点,且经过的椭圆的标准方程是 8设P是椭圆+=1上一点,P到两焦点F'1、F2的距离之差为2,则P F1F2形状为 三角形.9化简 10已知椭圆的两焦点为F1（1，0），F2（1，0），P为椭圆上一点，且2| F1 F2|=|P F1|+|P F2|, （1）求此椭圆方程；（2）若点P在第二象限，F2F1P=120°，求F1F2P的面积（2009北京）椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则 ；的大小为 .（2009年上海卷）已知、是椭圆（0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=_. 选修 2.2.

6、1 椭圆及其标准方程（教案）（第1课时）【教学目标】1掌握椭圆的定义和几何图形，掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程；能运用椭圆的定义、标准方程处理一些简单的实际问题。2. 培养学生的学习兴趣与探究精神，根据方程形式和图形特征等进行类比猜想，培养学生的直觉思维与合情推理的能力.【重点】椭圆的标准方程；坐标法的基本思想【难点】椭圆的标准方程的推导与化简；坐标法的应用 【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第38页第40页） 1两个同学合作，画出课本第38页探索中的图形，并思 考在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是 动点到两定点的距离之和是常数 .2椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F

7、2的距离的 和 等于常数 (大于)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点F1、F2叫做 椭圆的焦点 ，两定点的距离叫做 椭圆的焦距 ；定义中提到的“常数”常用表示，焦距常用表示椭圆定义的数学表达式为：当时，点P的轨迹是线段；当时，点P的轨迹不存在3. 椭圆的标准方程 ： 椭圆焦点的位置椭圆方程焦点坐标 焦点在x轴上 （）、 焦点在y轴上、其中：焦距为2c，则a，b，c关系为；由椭圆的标准方程判断焦点位置或由焦点位置选椭圆标准方程的形式的方法是 根据方程中分母的大小 ；当椭圆是标准方程,但焦点位置不确定时,可应用分类讨论法解答,也可设其方程为 或 【基础练习】1.已知F1（-1，0），F2（1，0），满

8、足|PF1|+|PF2|=2的点P的轨迹为 椭圆 ；若|PF1|+|PF2|=2时，点P的轨迹为 线段 .2如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，那么点到另一个焦点的距离是 14 3写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（），焦点在轴上；（），焦点在轴上；（）. 若方程表示焦点在y轴上的椭圆,则.F1,F2是椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，则ABF2的周长为 16 .【典型例题】例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是，并且经过点，求它的标准方程【审题要津】由椭圆的定义知,椭圆上的任意一点到椭圆的两焦点的距离之和等于,据此可以求出,又由焦点坐标可知,继而根据的关系求出,就可以写出它的标准方程

9、.解：因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知，又，所以，所求标准方程为另法： 可设所求方程为，然后将点（,）的坐标代入可求出，从而求出椭圆方程【方法总结】由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程 变式练习： 1两个焦点坐标分别是（0，3），（0，3），且经过点（0，5），则椭圆的方程为2焦距为4，焦点在轴上，且经过点P（3，2）的椭圆的标准方程为例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在轴上，且经过点（2，0）和点（0，1）（2

10、）焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P（0，10），P到离它较近的一个焦点的距离等于2【审题要津】椭圆的标准方程中有两个参数，故有两个独立的条件就可以求出椭圆的方程本例运用待定系数法即可求出解：(1)因为椭圆的焦点在轴上，所以可设它的标准方程为：椭圆经过点(2，0)和(0，1)故所求椭圆的标准方程为（）椭圆的焦点在轴上，所以可设它的标准方程为：（，）在椭圆上，到它较近的一焦点的距离等于2，.所求椭圆的标准方程是.将点P（0，10）的坐标代人，得，因此，所求椭圆的标准方程是【方法总结】当已知（）椭圆上的两点；（）之一与椭圆上一点时，都可以用待定系数法去求椭圆的标准方程变式练习：写出适合下列条件的椭

11、圆的标准方程：（1）椭圆经过两点P（，0），Q(0, )；（2）平面内有两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程（答案：（）；（）例3 点P是椭圆上的一点，F1，F2是椭圆的两焦点，且F1PF2=30°，求F1PF2的面积.【审题要津】由于已知了P的大小，故可用去求F1PF2的面积，又由椭圆的定义知，再结合余弦定理即可求出解：由椭圆的方程知：，又由椭圆的定义知，在F1PF2中，由余弦定理得，【方法总结】由椭圆的定义可以知道，所以，在涉及到F1PF2的面积问题中，常将椭圆的定义、三角形的面积、余弦定理等综合运用解决问题变式练习：已知经过椭圆的右焦点F2作垂直于

12、x轴的直线AB，交椭圆于A、B两点，F1是椭圆的左焦点（1）求A F1B的周长；（2）如果AB不垂直于x轴，A F1B的周长有变化吗?为什么？解：由已知（） 由椭圆的定义，得，所以，（）如果不垂直于轴，A F1B的周长不变化这是因为式仍然成立，这是定值1判定下列椭圆的焦点位置，并指明a2、b2，写出焦点坐标：，解：椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为（）和（）；椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为（）和（）；椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为（）和（）2已知椭圆方程,，则这个椭圆的焦距为( )（A）2 （B） 3 （C） （D） 3下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是（ ）（） （）（） （）4a=6,c=1的椭圆的

13、标准方程是 ( )（A） （B） （C） （D）以上答案都不对5如果表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（0，1）6.已知ABC中，B（-3，0），C（3，0），AB、BC、AC成等差数列,则顶点A的轨迹方程为7和椭圆9x2+4y2=36的焦点相同，且经过的椭圆的标准方程是8设P是椭圆+=1上一点,P到两焦点F'1、F2的距离之差为2,则P F1F2形状为 直角 三角形.9化简解：此方程表示以为焦点的椭圆，其中，因此，原方程化简为10已知椭圆的两焦点为F1（1，0），F2（1，0），P为椭圆上一点，且2| F1 F2|=|P F1|+|P F2| （1）求此椭圆方程；（2）若点P在第二象限，F2F1P=120°，求F1F2P的面积解：（