勾股定理的证明

1、勾股定理的证明据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了。下面我便向大家介绍几种十分著名的证明方法。【证法1】（赵爽证明）以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. rtdah rtabe, hda = eab. had + had = 90º， eab + had = 90º， abcd是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. ef = fg =gh =he = ba ,hef = 90º. efgh是一个边长为ba的正方形，它的面积等于. .【证法2】（

2、课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即， 整理得 .【证法3】（1876年美国总统garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使a、e、b三点在一条直线上. rtead rtcbe, ade = bec. aed + ade = 90º, aed + bec = 90º. dec = 1

3、80º90º= 90º. dec是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又 dae = 90º, ebc = 90º, adbc.abcd是一个直角梯形，它的面积等于 .【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便

4、问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。1876年4月1日，伽菲尔德在新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的这一证法

5、。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使h、c、b三点在一条直线上，连结bf、cd. 过c作clde，交ab于点m，交de于点l. af = ac，ab = ad，fab = gad， fab gad， fab的面积等于，gad的面积等于矩形adlm的面积的一半， 矩形adlm的面积 =.同理可证，矩形mleb的面积 =. 正方形adeb的面积 = 矩形adlm的面积 + 矩形mleb的面积 ，即 .【证法5】（利

6、用相似三角形性质证明）如图，在rtabc中，设直角边ac、bc的长度分别为a、b，斜边ab的长为c，过点c作cdab，垂足是d.在adc和acb中， adc = acb = 90º，cad = bac， adc acb.adac = ac ab，即 .同理可证，cdb acb，从而有 . ，即 【证法6】（邹元治证明）以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使a、e、b三点在一条直线上，b、f、c三点在一条直线上，c、g、d三点在一条直线上. rthae rtebf, ahe = bef. aeh + a

7、he = 90º, aeh + bef = 90º. hef = 180º90º= 90º. 四边形efgh是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2. rtgdh rthae, hgd = eha. hgd + ghd = 90º, eha + ghd = 90º.又 ghe = 90º, dha = 90º+ 90º= 180º. abcd是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于. . .【证法7】（利用切割线定理证明）在rtabc中，设直角边bc = a，ac = b，斜边ab = c.如图，以b为圆心a为半径作圆，交ab及ab的延长线分别于d、e，则bd = be = bc = a.因为bca = 90º，点c在b上，所以ac是b 的切线. 由切割线定理，得= ，即， .【证法8】（作直角三角形的内切圆证明）在rtabc中，设直角边bc = a，ac = b，