函数展开成幂级数49368PPT课件

1、一、泰勒级数一、泰勒级数上节例题01,( 11)1nnxxx 问题:1.如果能展开, 是什么?na2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?和函数( )S x0nnna x 幂幂级级数数求 和展开？函数)(xf第1页/共32页泰勒公式)(xf 1n ,xa b nnfxpxRx 00( )()niniipxa xx ( )01(),(0,1,2,)!iiafxii 11001 !nnnfRxxxxxn 余余项项在在 与与 之之间间泰勒(Taylor)中值定理其中为n次多项式，如果函数0 x ,a b在含有的某个开区间内具有直到阶导数, 有其系数则对任一个第2页/共32页由泰勒公式：

2、 0000,!ininifxfxpxxxU xi nRx误误差差是是设想： 000!,nnnnfxxxnnp 若若则则 nnfxpxRx有第3页/共32页定义nnnxxnxf)(!)(000)( 0 x)(xf 如果在点处任意阶可导,)(xf0 x称为在点的泰勒级数.则幂级数nnnxnf 0)(!)0()(xf00 x称为在点的麦克劳林级数.第4页/共32页问题( )000()() ?( )!nnnfxxxf xn 即泰勒级数除 外是否收敛? 0 x( )000000()()()()()!nnnfxxxf xfxxxn 00,xxfx 显显然然，当当时时泰泰勒勒级级数数收收敛敛于于200()(

3、)2!fxxx 0 xx 是否收敛于f (x)?第5页/共32页0)(lim xRnn定理0()U x在内,)(xf0 x0()U x在的某邻域内具有各阶导数，设)(xf0()U x在内能展开成泰勒级数则由泰勒公式： nnfxpxRx 0000,!ininifxpxxxU xi 第6页/共32页证明必要性 ( )( ),nnf xpxRx1( )( )( ),nnRxf xsx 则则( ),f x因因能能展展开开为为泰泰勒勒级级数数1lim( )( )nnsxf x 有有 )(limxRnn)()(lim1xsxfnn ;0 由泰勒公式 ( )0100()=()!ininnifxSpxxxi

4、令令第7页/共32页充分性),()()(1xRxsxfnn )()(lim1xsxfnn )(limxRnn , 0 1lim( )( ),nnsxf x 即即( )( ).f xf x的的泰泰勒勒级级数数收收敛敛于于第8页/共32页展开式的惟一性： 0fxxx 如如果果在在的的某某邻邻域域内内能能展展开开成成幂幂级级数数，即即 201020fxaaxxaxx12010( )2() ()nnfxaaxxnaxx 逐项求导,得 0nnaxx第9页/共32页( )10( )!(1)3 2()nnnfxn annaxx 0,xx 令令即即得得( )01(),(0,1,2,)!nnafxnn泰勒系数是

5、唯一的,( ).f x的的展展开开式式是是唯唯一一的的23020( )23 2() (1)()nnfxaaxxn naxx 002(),2fxxxa 令令即即得得第10页/共32页 0.fxfxfxxfx 如如果果能能展展开开成成幂幂级级数数，那那么么这这个个级级数数一一定定是是的的泰泰勒勒级级数数，但但是是反反过过来来如如果果的的泰泰勒勒级级数数在在 的的邻邻域域内内收收敛敛，它它却却不不一一定定收收敛敛于于 第11页/共32页21,0( )0,0 xexf xx 例例如如( )(0)0(0,1,2,)nfn 且且0( )0nnf xx 的的麦麦克克劳劳林林级级数数为为(,)( )0.s x

6、 该该级级数数在在内内和和函函数数可见0,( )xf x 除除外外的的麦麦克克劳劳林林级级数数处处处处在x=0点任意可导,( ).f x不不收收敛敛于于第12页/共32页 因此，函数各阶导数存在，可以写出幂（泰勒）级数，但该级数是否收敛，以及是否收敛于该函数本身，却需要进一步考察.lim( )0nnRx 必须证明第13页/共32页二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数1.直接法(泰勒级数法)步骤:;!)()1(0)(nxfann 求求( )(2)lim0( ),nnnRfxM讨讨论论或或( ).f x则则级级数数在在收收敛敛区区间间内内收收 敛敛于于第14页/共32页例1解( ).xf xe

7、x 将将展展开开成成 的的幂幂级级数数,)()(xnexf ( )(0)1.(0,1,2,)nfn nxxnxxe!1! 2112 11,01 !1 !nxnnxeRxxexnn 在在 与与 之之间间),(!1! 2112 xxnxxenx 111 !nnxn 收收敛敛有有限限 lim0nnRx0第15页/共32页21112!xnexxxn(,)x 11112!en1,x 令令则则11112!en 1111 !2 !nnn n误误差差为为11112.718282!8!e 510 误误差差第16页/共32页例2( )sin.f xxx 将将展展开开成成 的的幂幂级级数数解),2sin()()(

8、nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n( )( )nfx 且且)2sin( nx1 ),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x 1110,1 !1 !nnnnfxRxxnnn 第17页/共32页42246420246!33xxy353!5!xxyx3573!5!7!xxxyxxysinxy 357911113!5!7!9!sinxxxxxxsinx的的幂幂级级数数与与多多项项式式逼逼近近1( 1)21(21)!nnnx 第18页/共32页357911113!5!7!9!

9、sin xxxxxx 42246420246xysin!9!7!5!39753xxxxxy3579113!5!7!9!11!xxxxxyx幂级数与多项式逼近1( 1)21(21)!nnnx 第19页/共32页 由直接展开法可得几个常用函数的麦克劳林展开式：21112!xnexxxn(,)x 213511sin( 1)3!5!(21)!nnxxxxxn (,)x 2111,11nxxxxx 第20页/共32页11,2 当当时时 有有)1 , 1()1(11132 nnxxxxx 1 , 1!)!2(!)!32()1(64231421211132 nnxnnxxxx1 , 1(!)!2(!)!12

10、()1(64253142312111132 nnxnnxxxx2(1)(1)(1)(1)12!nxnxxxn )1 , 1( x牛顿二项式展开式第21页/共32页2.间接展开法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.例如)(sincos xx )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn第22页/共32页 xxdxx021arctan 12)1(51311253nxxxxnn1 , 1 x xxdxx01)1ln( nxxxxnn 13

11、2)1(31211 , 1( x 24221111nnxxxx ( 1,1)x ( 1,1)x 第23页/共32页例3( )sincos2.f xxxx 将将展展开开成成 的的幂幂级级数数解xxxf2cossin)( sin3sin21xx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn 2121001(3 )1(1)(1)2(21)!2(21)!nnnnnnxxfxnn212101(31)(1),2(21)!nnnnxxn 第24页/共32页例42( )ln(1).f xxxx将将展展开开成成 的的幂幂级级数数解111ln)(3 xxxxf)1ln()1ln(3xx 11ln

12、(1)(1)11nnnxxxn 31111()()(1)(1)nnnnnnxxfxnn311,nnnnxxnn11x 第25页/共32页例51( )14xf xxx 将将在在处处展展开开成成泰泰勒勒级级数数解( )(1)(1).nxf 展展开开成成的的幂幂级级数数 并并求求)1(3141 xx,)311(31 x)31()31(311312 nxxx31 x(2,4)x 即即第26页/共32页xxxx 41)1(41 nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(313322( )(1)!nfn有有( )!(1).3nnnf 故故,31n (2,4)x ( )0(1)( )=(1)!nnnff xxn 由由第27页/共32页小小 结结1.如何求函数的泰勒