2021年全国中考数学真题分类汇编--三角形：三角形中的计算与证明（压轴题）（老师版）

1、2021全国中考真题分类汇编（三角形）-三角形中的计算与证明（压轴题）一、选择题1. (2021·安徽省)在中，分别过点B，C作平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME则下列结论错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设AD、BC交于点H，作于点F，连接EF延长AC与BD并交于点G由题意易证，从而证明ME为中位线，即，故判断B正确；又易证，从而证明D为BG中点即利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求出，故判断C正确；由、和可证明再由、和可推出 ，即推出，即，故判断D正确；假设，可推出，即可推出由于无法确定的大小，故不一定成立，故

2、可判断A错误【详解】如图，设AD、BC交于点H，作于点F，连接EF延长AC与BD并交于点GAD是的平分线，HC=HF，AF=AC在和中，AEC=AEF=90°，C、E、F三点共线，点E为CF中点MBC中点，ME为中位线，故B正确，不符合题意；在和中，即D为BG中点在中，故C正确，不符合题意；，AD是的平分线， ，故D正确，不符合题意；假设，在中，无法确定的大小，故原假设不一定成立，故A错误，符合题意故选A二填空题1. （2021江苏省苏州市）如图，射线OM，ON互相垂直，点B位于射线OM的上方，且在线段OA的垂直平分线l上，AB5将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段AB，若点

3、B恰好落在射线ON上，则点A到射线ON的距离为 【分析】设OA的垂直平分线与OA交于C,将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段AB，C随之旋转到C'，过A'作A'HON于H，过C'作C'DON于D，过A'作A'EDC'于E，由OA8，AB5，BC是OA的垂直平分线，可得OB5，OCAC4，BC3，cosBOC,sinBOC,证明BOCB'C'DC'A'E,从而在RtB'C'D中求出C'D，在RtA'C'E中，求出C'E，得DEC'D+C&

4、#39;E，即可得到A'到ON的距离是【解答】解：设OA的垂直平分线与OA交于C,将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段AB，过A'作A'HON于H，过C'作C'DON于D，如图：OA8，AB5，OB4，OCAC4，cosBOC,线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段AB，C随之旋转到C'，B'C'BC3，A'C'AC4,B'C'DB'C'ODC'O90°DC'OB'OC',cosB'C'D,RtB'C

5、9;D中，即，C'D，AEON,B'OC'C'A'E,sinC'AEsinB'OC'sinBOC,RtA'C'E中，即，C'E，DEC'D+C'E，而A'HON，C'DON，四边形A'EDH是矩形，A'HDE,即A'到ON的距离是故答案为：三、解答题1. (2021·安徽省)如图1，在四边形ABCD中，点E在边BC上，且，作交线段AE于点F，连接BF（1）求证：；（2）如图2，若，求BE的长；（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的

6、值【答案】（1）见解析；（2）6；（3）【解析】【分析】（1）根据平行线的性质及已知条件易证，即可得，；再证四边形AFCD是平行四边形即可得，所以，根据SAS即可证得；（2）证明，利用相似三角形的性质即可求解；（3）延长BM、ED交于点G易证，可得；设，由此可得，；再证明，根据全等三角形的性质可得证明，根据相似三角形的性质可得，即，解方程求得x的值，继而求得的值【详解】（1）证明：，；，四边形AFCD是平行四边形在与中，（2），在中，又，在与中，；，；，；，或（舍）；（3）延长BM、ED交于点G与均为等腰三角形，设，则，；在与中，；，（舍），2. （2021湖北省武汉市）问题提出如图（1），在

7、ABC和DEC中，ACBDCE90°，ECDC，点E在ABC内部，BF，CF之间存在怎样的数量关系？问题探究（1）先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，表示AF，BF；（2）再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时（1）中的结论仍然成立问题拓展如图（3），在ABC和DEC中，ACBDCE90°，ECkDC（k是常数），点E在ABC内部，表示线段AF，BF【分析】（1）证明ACDBCE（SAS），则CDE为等腰直角三角形，故DEEFCF，进而求解；（2）由（1）知，ACDBCE（SAS），再证明BCGACF（AAS），得到GCF为等腰直角三角形，则GFCF，即可求解

8、；（3）证明BCECAD和BGCAFC，得到，则BGkAF，GCkFC，进而求解【解答】解：（1）如图（2），ACD+ACE90°，BCEACD，BCAC，ECDC，ACDBCE（SAS），BEADAF，EBCCAD，故CDE为等腰直角三角形，故DEEFCF，则BFBDBE+EDAF+CF；即BFAFCF；（2）如图（1），由（1）知，CAFCBE，BEAF，过点C作CGCF交BF于点G，FCE+ECG90°，ECG+GCB90°，ACFGCB，CAFCBE，BCAC，BCGACF（AAS），GCFC，BGAF，故GCF为等腰直角三角形，则GF，则BFBG+GFA

9、F+CF，即BFAFCF；（3）由（2）知，BCEACD，而BCkAC，ECkDC，即，BCECAD，CADCBE，过点C作CGCF交BF于点G，由（2）知，BCGACF，BGCAFC，则BGkAF，GCkFC，在RtCGF中，GF，则BFBG+GFkAF+FC，即BFkAFFC3. （2021湖南省邵阳市）如图，在RtABC中，点P为斜边BC上一动点，将ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B，连接AB，CB，BB，PB（1）如图，若PBAC，证明：PBAB（2）如图，若ABAC，BP3PC，求cosBAC的值（3）如图，若ACB30°，是否存在点P，使得ABCB若存在，求此时的

10、值；若不存在，请说明理由【分析】（1）易证PB'AB所以B'PABAP，又由折叠可知BAPB'AP，所以B'PAB'AP故PBAB；（2）设ABACa，AC、PB'交于点D，则ABC为等腰直角三角形再证明CDPB'DA，可得设B'Db，则CDb则ADab，PDb，由解得b再过点D作DEAB'于点E，则B'DE为等腰直角三角形所以B'Esin45°×B'D，AEABB'E，AD故cosB'ACcosEAD即可求；（3）分点P在BC外的圆弧上；点P在BC上两种情况分别

11、求解即可【解答】解：（1）证明：PB'AC，CAB90°，PB'ABB'PABAP，又由折叠可知BAPB'AP，B'PAB'AP故PBAB（2）设ABACa，AC、PB'交于点D，则ABC为等腰直角三角形，BC，PC，PB，由折叠可知，PB'AB45°，又ACB45°，PB'AACB，又CDPB'DA，CDPB'DA设B'Db，则CDbADACCDab，PDPB'B'DPBB'Db，由得：解得：b过点D作DEAB'于点E，则B'D

12、E为等腰直角三角形B'Esin45°×B'D，AEAB'B'EABB'Ea又ADACCDabacosB'ACcosEAD（3）存在点P，使得CB'ABmACB30°，CAB90°BC2m如答图2所示，由题意可知，点B'的运动轨迹为以A为圆心、AB为半径的半圆A当P为BC中点时，PCBPAPAB'm，又B60°，PAB为等边三角形又由折叠可得四边形ABPB'为菱形PB'AB，PB'AC又APAB'，则易知AC为PB'的垂直平分线故CB&

13、#39;PCABm，满足题意此时，当点B'落在BC上时，如答图3所示，此时CB'ABm，则PB'，PCCB'+PB'a+，综上所述，的值为或4. （2021江苏省连云港） 在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动（1）是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形，如图1，求的长；（2）是边长为3等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；（3）是边长为3的等边三角形，M是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所

14、经过的路径长；（4）正方形的边长为3，E是边上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形，其中点F、G都在直线上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合则点H所经过的路径长为_，点G所经过的路径长为_【答案】（1）1；（2）3；（3）；（4）；【解析】【分析】（1）由、是等边三角形， ，可证即可；（2）连接，、是等边三角形，可证，可得，又点在处时，点在A处时，点与重合可得点运动的路径的长；（3）取中点，连接，由、是等边三角形，可证，可得又点在处时，点在处时，点与重合可求点所经过的路径的长；（4）连接CG ,AC ，OB，由CGA=90°，点G在以AC

15、中点为圆心，AC为直径的上运动，由四边形ABCD为正方形，BC为边长，设OC=x，由勾股定理即，可求，点G所经过的路径长为长=，点H所经过的路径长为的长【详解】解:（1）、是等边三角形，；（2）连接，、是等边三角形，又点处时，点在A处时，点与重合点运动的路径的长；（3）取中点，连接，、是等边三角形，又点在处时，点在处时，点与重合，点所经过的路径的长；（4）连接CG ,AC ，OB，CGA=90°，点G在以AC中点为圆心，AC为直径的上运动，四边形ABCD为正方形，BC为边长，COB=90°，设OC=x，由勾股定理即，点G所经过的路径长为长=，点H在以BC中点为圆心，BC长为

16、直径的弧上运动，点H所经过的路径长为的长度，点G运动圆周的四分之一，点H也运动圆周的四分一，点H所经过的路径长为的长=，故答案为；5. （2021河北省）在一平面内，线段AB20，线段BCCDDA10，将这四条线段顺次首尾相接把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角（0°）到某一位置时，BC，CD将会跟随出现到相应的位置论证：如图1，当ADBC时，设AB与CD交于点O，求证：AO10；发现：当旋转角60°时，ADC的度数可能是多少？尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离；拓展：如图2，设点D与B的距离为d，若BCD的平分线所在直线交AB于

17、点P，直接写出BP的长（用含d的式子表示）；当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接写出a的余弦值【分析】论证：由AODBOC，得AOBO，而AB20，可得AO10；发现：设AB的中点为O，当AD从初始位置AO绕A顺时针旋转60°时，BC也从初始位置BC'绕点B顺时针旋转60°，BC旋转到BO的位置，即C以O重合，从而可得ADC60°；尝试：当点M与点B距离最大时，D、C、B共线，过D作DQAB于Q，过M作MNAB于N，由已知可得AD10，设AQx，则BQ20x，100x2400（20x）2，可得AQ，DQ，再由MNDQ，得，MN，即点M到AB的距离为；

18、拓展：设直线CP交DB于H，过G作DGAB于G，连接DP，设BGm，则AG20m，由AD2AG2BD2BG2，可得m，BG，而BHPBGD，有，即可得BP；过B作BGCD于G，设ANt，则BN20t，DN，由ADNBGN，表达出NG，BG，RtBCG中，CG，根据DN+NG+CG10，列方程+10，解得t，即可得cos【解答】论证：证明：ADBC，AB，CD，在AOD和BOC中，AODBOC（ASA），AOBO，AO+BOAB20，AO10；发现：设AB的中点为O，如图：当AD从初始位置AO绕A顺时针旋转60°时，BC也从初始位置BC'绕点B顺时针旋转60°，而BO

19、BC'10，BC'O是等边三角形，BC旋转到BO的位置，即C以O重合，AOADCD10，ADC是等边三角形，ADC60°；尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，D、C、B共线，过D作DQAB于Q，过M作MNAB于N，如图：由已知可得AD10，BDBC+CD20，BMCM+BC15，设AQx，则BQ20x，AD2AQ2DQ2BD2BQ2，100x2400（20x）2，解得x，AQ，DQ，DQAB，MNAB，MNDQ，即，MN，点M到AB的距离为；拓展：设直线CP交DB于H，过G作DGAB于G，连接DP，如图：BCDC10，CP平分BCD，BHCDHC90&#

20、176;，BHBDd，设BGm，则AG20m，AD2AG2BD2BG2，100（20m）2d2m2，m，BG，BHPBGD90°，PBHDBG，BHPBGD，BP；过B作BGCD于G，如图：设ANt，则BN20t，DN，DBGN90°，ANDBNG，ADNBGN，即，NG，BG，RtBCG中，BC10，CG，CD10，DN+NG+CG10，即+10，t+（20t）+2010t，20+2010t，即2t2，两边平方，整理得：3t240t4t，t0，3t404，解得t（大于20，舍去）或t，AN，cos方法二：过C作CKAB于K，过F作FHAC于H，如图：ADCD10，ADDC

21、，AC2200，AC2AK2BC2BK2，200AK2100（20AK）2，解得AK，CK，RtACK中，tanKAC，RtAFH中，tanKAC，设FHn，则CHFHn，AH5n，ACAH+CH10，5n+n10，解得n，AFn，RtADF中，cos6. （2021四川省成都市）在RtABC中，ACB90°，AB5，BC3，将ABC绕点B顺时针旋转得到ABC，其中点A，C的对应点分别为点A，C（1）如图1，当点A落在AC的延长线上时，求AA的长；（2）如图2，当点C落在AB的延长线上时，连接CC，交AB于点M，求BM的长；（3）如图3，连接AA，CC，直线CC交AA于点D，点E为A

22、C的中点，连接DE在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由【分析】（1）先求出AC4，再在RtA'BC中，求出A'C4，从而可得AA'8;（2）过C作CE/A'B交AB于E,过C作CDAB于D,先证明CEBC3,再根据SABCACBCABCD,求出CD，进而可得DE和BE及C'E,由CE/A'B得,即可得BM;（3）过A作AP/A'C'交C'D延长线于P,连接A'C,先证明ACPA'C'DP，得APACA'C',再证明APDA'C

23、9;D得ADA'D,DE是AA'C的中位线，DEA'C,要使DE最小，只需A'C最小，此时A'、C、B共线，A'C的最小值为A'BBCABBC2，即可得DE最小值为A'C1【解答】解：（1）ACB90°,AB5，BC3，AC4，ACB90°，ABC绕点B顺时针旋转得到ABC，点A落在AC的延长线上,A'CB90°，A'BAB5，RtA'BC中，A'C4，AA'AC+A'C8;（2）过C作CE/A'B交AB于E,过C作CDAB于D,如图：ABC绕点

24、B顺时针旋转得到ABC，A'BCABC,BC'BC3，CE/A'B,A'BCCEB,CEBABC,CEBC3，RtABC中，SABCACBCABCD,AC4，BC3，AB5，CD，RtCED中，DE，同理BD，BEDE+BD，C'EBC'+BE3+，CE/A'B,，BM;（3）DE存在最小值1，理由如下：过A作AP/A'C'交C'D延长线于P,连接A'C，如图：ABC绕点B顺时针旋转得到ABC，BCBC',ACBA'C'B90°，ACA'C',BCC'

25、;BC'C,而ACP180°ACBBCC'90°BCC',A'C'DA'C'BBC'C90°BC'C,ACPA'C'D,AP/A'C'，PA'C'D,PACP,APAC,APA'C',在APD和A'C'D中，,APDA'C'D(AAS),ADA'D,即D是AA'中点，点E为AC的中点，DE是AA'C的中位线，DEA'C,要使DE最小，只需A'C最小，此时A&#

26、39;、C、B共线，A'C的最小值为A'BBCABBC2，DE最小为A'C17. （2021四川省乐山市）在等腰中，点是边上一点（不与点、重合），连结（1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，则_；（2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结在图2中补全图形；探究与的数量关系，并证明；（3）如图3，若，且，试探究、之间满足的数量关系，并证明【答案】（1）30°；（2）见解析；见解析；（3），见解析【解析】【分析】（1）先根据题意得出ABC是等边三角形，再利用三角形的外角计算即可（2）按要求补全图即可先根据已知条件证明ABC是等边三角形，再证明，即可得出（3

27、）先证明，再证明，得出，从而证明，得出，从而证明【详解】解：（1），ABC是等边三角形B=60°点关于直线的对称点为点ABDE， 故答案为：；（2）补全图如图2所示；与的数量关系为：；证明：，为正三角形，又绕点顺时针旋转，（3）连接，又，又，8. （2021四川省凉山州）如图，在四边形中，过点D作于E，若（1）求证：；（2）连接交于点，若，求DF长【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）过D作BC的垂线，交BC的延长线于点G，连接BD，证明四边形BEDG为正方形，得到条件证明ADECDG，可得AD=CD；（2）根据ADE=30°，AD=6，得到AE，DE，从而可得

28、BE，BG，设DF=x，证明AEFABC，得到比例式，求出x值即可【详解】解：（1）过D作BC的垂线，交BC的延长线于点G，连接BD，DEB=ABC=G=90°，DE=BE，四边形BEDG为正方形，BE=DE=DG，BDE=BDG=45°，ADC=90°，即ADE+CDE=CDG+CDE=90°，ADE=CDG，又DE=DG，AED=G=90°，ADECDG（ASA），AD=CD；（2）ADE=30°，AD=6，AE=CG=3，DE=BE=，四边形BEDG为正方形，BG=BE=，BC=BG-CG=-3，设DF=x，则EF=-x，DEB

29、C，AEFABC，即，解得：x=，即DF的长为9. （2021四川省眉山市）如图，在等腰直角三角形ABC中，ACB90°，ACBC2，边长为2的正方形DEFG的对角线交点与点C重合，连接AD，BE（1）求证：ACDBCE；（2）当点D在ABC内部，且ADC90°时，设AC与DG相交于点M，求AM的长；（3）将正方形DEFG绕点C旋转一周，当点A、D、E三点在同一直线上时，请直接写出AD的长【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和正方形两条对角线互相垂直平分且相等的性质，可证明ACDBCE；（2）过点M作MHAD于点H，当ADC90°时，则ADM45°，由正

30、方形的边长和AC的长，可计算出AD的长，利用AMH和DMH边之间的特殊关系列方程，可求出AM的长；（3）A、D、E三点在同一直线上又分两种情况，即点D在A、E两点之间或在射线AE上，需要先证明点B、E、F也在同一条直线上，然后在ABE中用勾股定理列方程即可求出AD的长【解答】解：（1）如图1，四边形DEFG是正方形，DCE90°，CDCE；ACB90°，ACDBCE90°BCD，在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS）（2）如图1，过点M作MHAD于点H，则AHMDHM90°DCG90°，CDCG，CDGCGD45°，ADC90&#

31、176;，MDH90°45°45°，MHDHtan45°DH；CDDGsin45°2×，AC2，AD，tanCAD，AH3MH3DH，3DH+DH3；MHDH，sinCAD，AMMH×（3）如图3，A、D、E三点在同一直线上，且点D在点A和点E之间CDCECF，DCEECF90°，CDECEDCEFCFE45°；由ACDBCE，得BECADC135°，BEC+CEF180°，点B、E、F在同一条直线上，AEB90°，AE2+BE2AB2，且DE2，ADBE，（AD+2）2+A

32、D2（2）2+（2）2，解得AD1或AD1（不符合题意，舍去）；如图4，A、D、E三点在同一直线上，且点D在AE的延长线上BCFACE90°ACF，BCAC，CFCE，BCFACE（SAS），BFCAEC，CFECED45°，BFC+CFEAEC+CED180°，点B、F、E在同一条直线上；ACBC，ACDBCE90°+ACE，CDCE，ACDBCE（SAS），ADBE；AE2+BE2AB2，（AD2）2+AD2（2）2+（2）2，解得AD+1或AD1（不符合题意，舍去）综上所述，AD的长为1或+110. （2021浙江省湖州市）已知在ACD中，P是CD

33、的中点，B是AD延长线上的一点，连结BC，AP（1）如图1，若ACB90°，CAD60°，BDAC，AP，求BC的长；（2）过点D作DEAC，交AP延长线于点E，如图2所示，若CAD60°，BDAC，求证：BC2AP；（3）如图3，若CAD45°，是否存在实数m，当BDmAC时，BC2AP？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）略；（3）【解析】（1）解：，是等边三角形， 是的中点，在中， （2）证明：连结， ，又，是等边三角形，又， ， （3）存在这样的 11. 【（2021浙江省宁波市）证明体验】（1）如图1，为的角平分

34、线，点E在上，求证：平分【思考探究】（2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连结交于点G若，求的长【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E在上，若，求的长【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据SAS证明，进而即可得到结论；（2）先证明，得，进而即可求解；（3）在上取一点F，使得，连结，可得，从而得，可得，最后证明，即可求解【详解】解：（1）平分，即平分；（2），；（3）如图，在上取一点F，使得，连结平分，又，12. （2021浙江省绍兴市）如图，在ABC中，A40°，E分别在边AB，AC上，连结CD，BE（1）若ABC80°，求BD

35、C，ABE的度数；（2）写出BEC与BDC之间的关系，并说明理由【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到BDCBCD(180°80°)50°,根据三角形的内角定理得到ACB180°40°50°60°,推出BCE是等边三角形，得到EBC60°,于是得到结论;(2)设BEC,BDC,由于A+ABE40°+ABE,根据等腰三角形的性质得到CBEBEC,求得ABCABE+CBEA+2ABE40°+ABE,推出CBEBEC,于是得到结论。【解答】解：（1）ABC80°，BDBC,BDCBCD(18

36、0°80°)50°,A+ABC+ACB180°,A40°,ACB180°40°50°60°,CEBC,BCE是等边三角形，EBC60°,ABEABCEBC20°(2)BEC与BDC之间的关系：BEC+BDC110°,理由：设BEC,BDC,在ABE中，A+ABE40°+ABE,CEBC,CBEBEC,ABCABE+CBEA+4ABE40°+ABE,CEBC,CBEBEC,ABCABE+CBEA+2ABE40°+2ABE,在BDC中，BDBC,BD

37、C+BCD+DBC6+40°+2ABE180°,70°ABE,+40°+ABE+70°ABE110°,BEC+BDC110°13. （2021重庆市A）在中，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得（1）如图，当时，连接，交于点若平分，求的长；（2）如图，连接，取的中点，连接猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图，在（2）的条件下，连接，若，当，时，请直接写出的值【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）连接，过点作，垂足为，证明，得：，再在等腰直角中，找到，再去证明为等腰三角形，即

38、可以间接求出的长；（2）作辅助线，延长至点，使，连接，在中，根据三角形的中位线，得出，再根据条件证明：，于是猜想得以证明；（3）如图（见解析），先根据旋转的性质判断出是等边三角形，再根据证出四点共圆，然后根据等腰三角形的三线合一、角的和差可得是等腰直角三角形，设，从而可得，根据三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，根据矩形的判定与性质可得四边形是矩形，最后根据等量代换可得，解直角三角形求出即可得出答案【详解】解：（1）连接，过点作，垂足为平分，在和中，平分，.，（2）延长至点，使，连接是的中点，在和中，（3）如图，设交于点，连接，由旋转的性质得：，是等边三角形，点四点共圆，由圆周角定理得：

39、，垂直平分，（等腰三角形的三线合一），平分，是等腰直角三角形，设，则，由（2）可知，是等腰直角三角形，且，（等腰三角形的三线合一），在和中，四边形是矩形，在中，则14. （2021重庆市B）在等边ABC中，AB6，BDAC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：BE+BHBF；（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且DN2NC，

40、点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NP+MP最小时，直接写出DPN的面积【分析】（1）过D作DHGC于H，先证明BGF是等边三角形，求出CD长度，再证明BFCFGF，从而在RtBDC中，求出CF2，即得GF，在RtCDH中，求出DHCDsin30°和CHCDcos30°，可得GHGF+FH，RtGHD中，即可得到DG；过E作EPAB交BD于P，过H作MHBC交BD于M，连接PG，作BP中点N，连接EN，由ABC+EFH180°，得B、E、F、H共圆，可得FBHFEH，从而可证HFGF，由E、P、F、

41、G共圆可得BMHGPF60°，故GFPHFM，PFFM，可得NFMH，BFMH+EP，在RtBEP中，EPBEtan30°BE，RtMHB中，MHBHtan30°BH，即可得到BE+BHBF；（2）以M为顶点，MP为一边，作PML30°，ML交BD于G，过P作PHML于H，设MP交BD于K，RtPMH中，HPMP，NP+MP最小即是NP+HP最小，此时N、P、H共线，而将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，可得QKPFEP60°，从而可证MLAC，四边形GHND是矩形，由DN2NC，得DNGH2，由等边ABC中，AB6，点E为

42、AB中点时，点M为BE中点，可得BM，BDABsinA3，RtBGM中，MGBM，BGBMcos30°，可求MHMG+GH，GDBDBG，RtMHP中，可得HP，从而可得PNHNHPGDHP，故SDPNPNDN【解答】解：（1）过D作DHGC于H，如图：线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，点E与点B重合，且GF的延长线过点C，BGBF，FBG60°，BGF是等边三角形，BFGDFC60°，BFGF，等边ABC，AB6，BDAC，DCF180°BDCDFC30°，DBCABC30°，CDACAB3，BCGACBDCF3

43、0°，BCGDBC，BFCF，GFCF，RtBDC中，CF2，GF2，RtCDH中，DHCDsin30°，CHCDcos30°，FHCFCH，GHGF+FH，RtGHD中，DG；过E作EPAB交BD于P，过H作MHBC交BD于M，连接PG，作BP中点N，连接EN，如图：EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，EGF是等边三角形，EFGEGFGEF60°，EFH120°，EFGF，ABC是等边三角形，ABC60°，ABC+EFH180°，B、E、F、H共圆，FBHFEH，而ABC是等边三角形，BDAC，DBCABD3

44、0°，即FBH30°，FEH30°，FHE180°EFHFEH30°，EFHFGF，EPAB，ABD30°，EPB60°，EPF120°，EPF+EGF180°，E、P、F、G共圆，GPFGEF60°，MHBC，DBC30°，BMH60°，BMHGPF，而GFPHFM，由得GFPHFM（AAS），PFFM，EPAB，BP中点N，ABD30°，EPBPBNNP，PF+NPFM+BN，NFBM，RtMHB中，MHBM，NFMH，NF+BNMH+EP，即BFMH+EP，R

45、tBEP中，EPBEtan30°BE，RtMHB中，MHBHtan30°BH，BFBE+BH，BE+BHBF；（2）以M为顶点，MP为一边，作PML30°，ML交BD于G，过P作PHML于H，设MP交BD于K，如图：RtPMH中，HPMP，NP+MP最小即是NP+HP最小，此时N、P、H共线，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，F在射线QF上运动，则P在射线MP上运动，根据“瓜豆原理”，F为主动点，P是从动点，E为定点，FEP60°，则F、P轨迹的夹角QKPFEP60°，BKM60°，ABD30°，BMK

46、90°，PML30°，BML60°，BMLA，MLAC，HNA180°PHM90°，而BDAC，BDCHNAPHM90°，四边形GHND是矩形，DNGH，边ABC中，AB6，BDAC，CD3，又DN2NC，DNGH2，等边ABC中，AB6，点E为AB中点时，点M为BE中点，BM，BDABsinA6×sin60°3，RtBGM中，MGBM，BGBMcos30°，MHMG+GH，GDBDBG，RtMHP中，HPMHtan30°，PNHNHPGDHP，SDPNPNDN15. （2021内蒙古通辽市）已

47、知AOB和MON都是等腰直角三角形（OAOMOA），AOBMON90°（1）如图1，连接AM，BN，求证：AMBN；（2）将MON绕点O顺时针旋转如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2+BM22OM2；当点A，M，N在同一条直线上时，若OA4，OM3，请直接写出线段AM的长【分析】（1）通过代换得对应角相等，再根据等腰直角三角形的性质得对应边相等，利用“SAS”证明AOMBON，即可得到AMBN；（2）连接BN，根据等腰直角三角形的性质，利用“SAS”证明AOMBON，得对应角相等，对应边相等，从而可证MBN90°，再根据勾股定理，结合线段相等进行代换，即可证明结论成

48、立；分点N在线段AM上和点M在线段AN上两种情况讨论，连接BN，设BNx，根据勾股定理列出方程，求出x的值，即可得到BN的长，BN的长就是AM的长【解答】（1）证明：AOBMON90°，AOB+AONMON+AON，即AOMBON，AOB和MON都是等腰直角三角形，OAOB，OMON，AOMBON（SAS），AMBN；（2）证明：连接BN，AOBMON90°，AOBBOMMONBOM，即AOMBON，AOB和MON都是等腰直角三角形，OAOB，OMON，AOMBON（SAS），MAONBO45°，AMBN，MBN90°，MN2+BN2MN2，MON都是等

49、腰直角三角形，MN22ON2，AM2+BM22OM2；解：如图3，当点N在线段AM上时，连接BN，设BNx，由（1）可知AOMBON，可得AMBN且AMBN，在RtABN中，AN2+BN2AB2，AOB和MON都是等腰直角三角形，OA4，OM3，MN3，AB4，（x3）2+x2（4）2，解得：x，AMBN，如图4，当点，M在线段AN上时，连接BN，设BNx，由（1）可知AOMBON，可得AMBN且AMBN，在RtABN中，AN2+BN2AB2，AOB和MON都是等腰直角三角形，OA4，OM3，MN3，AB4，（x+3）2+x2（4）2，解得：x，AMBN，综上所述，线段AM的长为或16. （2

50、021湖北省十堰市）已知等边三角形，过A点作的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接，把线段绕点C逆时针方向旋转得到，连（1）如图1，直接写出线段与的数量关系；（2）如图2，当点P、B在同侧且时，求证：直线垂直平分线段；（3）如图3，若等边三角形的边长为4，点P、B分别位于直线异侧，且的面积等于，求线段的长度【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）【解析】【分析】（1）根据旋转的性质以及等边三角形的性质，可得CP=CQ，ACP=BCQ，AC=BC，进而即可得到结论；（2）先证明是等腰直角三角形，再求出CBD=45°，根据等腰三角形三线合一的性质，即可得到结论；（3）过点B作BEl，过点Q作QFl，根据，可得AP=BQ，CAP=CBQ=90°，设AP=x，则BQ=x，MQ=x-，QF=( x-)×，再列出关于x的方程，即可求解【详解】（1）证明：线段绕点C逆时针方向旋转得到，CP=CQ，PCQ=60°，在等边三角形中，ACB=60°，AC=BC，ACP=BCQ，=；（2），CAl，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，CBQ=90°，在等边三角形中，AC=AB，BAC=ABC=60°，AB=AP，BAP=90°-60°=30