《高等数学》专插本2005-2019年历年试卷.docx

1、广东省 2019 年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。每小题只有一个选项符合题目要求）f ( x)x2x1函数x2x2 的间断点是A x2 和 x 0B x2 和 x 1C x1 和 x 2D x 0和 x 1x1,x0f (x)2,x0lim f ( x)2设函数cosx,x0 ，则 x0A等于 1B等于 2C等于 1 或2D 不存在f ( x)dxtan xC ,g(x)dx 2xCC 为任意常数，则下列等式正确的3.已知是A f ( x)g( x)dx2x tan xCBf (x)dx2 xtan x Cg( x)Cf

2、 g( x)dxtan(2 x )CD f ( x)g( x)dxtan x2xC4下列级数收敛的是1nA enB ( 3)n1n 12C( 2n13 )D( 2) n1n 1 3nn13n5已知函数f ( x)axb 在点 x1 处取得极大值，则常数a, b应满足条件xA ab0,b0B ab0,b0C ab0,b0D ab0,b0二、填空题（本大题共5 小题，每小题3 分，共15 分）6曲线xt33t，则 t0 的对应点处切线方程为yyarctan t7微分方程 ydxxdy0 满足初始条件的 y |x 12 特解为 y8若二元函数 zf (x, y) 的全微分 dzex sin ydxe

3、x cos ydy, ,则2 zy x9设平面区域D( x, y) | 0yx,0x1 ，则xdxdyDtt sin(t1) ，则f ( x)dx10已知f ( x)dx11t三、计算题（本大题共8 小题，每小题 6 分，共 48 分）exsin x111求 lim2x0x12设 yxx( xdy0) ，求2x 1dx13求不定积分2x2 dx1x02x 1dx14计算定积分1 x215设 xzexyz ，求z 和zxy16计算二重积分ln( x2y2 )d，其中平面区域D ( x, y)|1 x2y24D17已知级数an 和bn 满足nnbn1(n1)4判定级数an 的收0且,n 1n 1a

4、b ,bn3n42n 1n 1敛性18设函数 f ( x)df (x)x, 求曲线y f (x)的凹凸区间满足de x四、综合题（大题共2 小题，第19 小题 12 分，第20 小题 10 分，共22 分）19已知函数( x) 满足( x)1xt (t)dtx0x(t )dt0x（ 1）求( x) ；（ 2）求由曲线y(x) 和 x0, x及 y0 围成的平面图形绕x 轴旋转而成的立体2的体积20设函数f ( x)x ln(1x)(1x) ln x（ 1）证明： f ( x) 在区间 (0,) 内单调减少；（ 2）比较数值 20182019 与 2019 2018 的大小，并说明理由；2019

5、 年广东省普通高校本科插班生招生考试高等数学参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共5 小题，每小题3 分，共 15 分）1.B 2.A 3.D 4.C5.B二、填空题（本大题共5 小题，每个空3 分，共 15 分）6.1x7.28.ex cos y9.110.3x3三、计算题（本大题共8 小题，每小题6 分，共 48 分）11. 原式lim excosxlim ex sin x1x02xx02212. 解：Q yxx2x1ln yx ln xln(2 x1)1 yln x121y2xdy(ln x12)xx1dx2x12x13. 解：2x1x2 dx21 2 dx 1112 d (1 x2

6、 )1 x2x2arctan x1ln(1x2 ) C214. 解：令2x1t, 则 x1 t21 , dxtdt222 x1t ,x1t21, dxtdt220x2 x111 dx20( t 4t2 ) dt11201( 111t 5t 3 )2530115t ( 1t 21) gtdt2215. 解：设f (x, y, z)xzexyzfx (x, y, z) 1yzexyzfy ( x, y, z)xzexyzfz ( x, y, z)1xyexyzz1yzexyzzxzexyzx1xyz,xyzxyey1 xye16. 解：由题意得 1 r 2,0ln( x2y2 )dD223)d(4

7、ln02(4ln 23) |022(8ln 23)bn 1(n1)417. 解：由题意得3n4,bn2n 1limbn 1lim(n1)411,bn3n42n 13xx由比值判别法可知bn 收敛n 1Q 0anbn ,由比较判别法可知an 也收敛n 118解df ( x)xQde xdf (x)xde xf(x)xe xf( x)e x( x 1)f ( x) 的凹区间为 (1,) ，凸区间为 (,1)0(t)dt x ( x) 1019. （ 1）由题意得(x) 1 x (x)(t )dtxx( x)( x)( x)( x)0特征方程 r 210 ，解得 ri通解为( x)cos xsin

8、xCQ(0)1,C0( x)cos xsin x(2) 由题意得Vx2(cos x sin x)2 dx02 (1 sin 2x)dx01( xcos2x)2 20220. 证明（ 1）Q f ( x)x ln(1x)(1x)ln xf (x)ln(1x)ln xx1 x1xxln(1 x) ln x(11 )1xx证明 ln(1x)ln x110 即可(x)1x即证 ln(1x)ln x( 1x1)1x令 g( x)ln xQ g( x)ln x 在 (0,) 连续可导，由拉格朗日中值定理得ln(1x)ln x11 xln(1 x) ln xxg (x)且 x1xQ x1x01111xxln

9、(1x)ln x(11) 成立1xxln(1x)ln x(11 ) 01xxf ( x) 在 (0,) 单调递减（2）设 a2019,b2018则 ab20192018, ba20182019比较 ba ,ab 即可，假设 baab即 aln bbln a即 ln bln aba设 g( x)ln x , 则 g ( x)1 ln xxx2Q g( x) 在 (0,) 单调递减即g(b) g(a)即 baab 成立，即 2018201920192018广东省 2018 年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。每小题只有一个选项符

10、合题目要求）lim 3x sin 1sin xx 0xx1A 0B 1C 3D 42设函数 f (x) 具有二阶导数，且f(0)1, f(1)0, f (0)1, f(1) 3，则下列结论正确的是A 点 x0 是 f ( x) 的极小值点B点 x0 是 f ( x) 的极大值点C点 x1 是 f ( x) 的极小值点D 点 x1 是 f ( x) 的极大值点3. 已知f ( x)dx x2C ,f ( x2 )dx其中 C 为任意常数，则A x5CB x4CC 1 x4CD 2 x3C234级数2(1)n3nn 1A 2B 131CD425已知 D( x, y) | 4x2y29 ，则x21d

11、Dy2A 2B 10C 2 ln 3D 4 ln 322二、填空题（本大题共5 小题，每小题3 分，共 15 分）xlog 3 t则 dy|t 16已知y3t ，dx2(| x |sin x)dx728e1 2 xdx09二元函数 zx y 1，当 xe, y 0 时的全微分dz |xey010微分方程 x2dyydx，满足初始条件 y |x11的特解为 y三、计算题（本大题共8 小题，每小题6 分，共48 分）xa ,x0x2111确定常数 a,b 的值，使函数f ( x)b,x0，在点 x 0 处连续2x1,x0x12求 lim1ln(1x)xx2x 013求由方程 (1y2 )arc t

12、an yxex 所确定的隐函数的导数dydx14已知 ln(1 x2 ) 是函数 f (x) 的一个原函数，求xf ( x)dx15求由曲线 y1x0, x 0及 x1所围成的平面图形的面积1和直线 yx16已知二元函数zxyz2 z1y2 ,，求,yy x17求1x d ，其中 D 是由直线 y x 和 y1, y2 及 x0 所围成的闭区域D yn18判定设级数的收敛性n 1 | sin n |2四、综合题（大题共2 小题，第19 小题 12 分，第 20 小题 10 分，共 22 分）19已知函数 f ( x) 满足 f( x)4 f ( x) 0,且曲线 yf (x) 在点 (0,0)

13、 处的切线与直线y 2x 1平行（ 1）求 f ( x) ；（ 2）求由曲线yf (x) 的凹凸区间与拐点x2dt20已知函数 f ( x)cost0（ 1）求 f (0) ；（ 2）判断函数 f (x) 的奇偶性，并说明理由；3x0时，f ( x) x(1 ) x3其中0常数（ ）证明：当3，2018 年广东省普通高校本科插班生招生考试高等数学参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共 5小题，每小题3 分，共 15分）1.B 2.C 3.D 4.C5.A二、填空题（本大题共5 小题，每个空3 分，共 15 分）e16. 3(ln 3)27.48.9.dx1edy10.e x2三、计算题（本

14、大题共8 小题，每小题6 分，共 48 分）11. 解：Q lim f (x)limxax0x0x212xlimf (x)lim1e2x 0x 0x当 abe2 时， f ( x) 在点 x0 处连续12. 解：lim1ln(1x)lim xln(1 x)x 0xx2x 0x2111xlimx02 xlim11x)2x0 2(113. 解：等式两边对求导得2 yarc tan y(1 y2 )1dyexxex1 y2 dxdy (12 yarc tan y)(1x)exdxx)exdy(1dx 12 yarc tan y14. 解：xf (x)dxxdf (x)xf (x)f ( x)dxxl

15、n(1x2 )ln(1x2 )C22x 2ln(1x2 )C1x15. 解： A1x1x(1) dx 10 1dx01 xx设xt, 则 xt 2 , dx2tdtA1x112 )dt1dx 12 (11 t0 1 x012(tarc tan t) |103216. 解：zx(1y2 ) 2xy2x(1 y2 )y(1 y2 )2(1 y2 ) 22 z1y2y x(1y2 )217. 解：1x ddyy1 x dx2Dy10y23y2 2 y (1x ) 2dy13y02 2 yy22dy1133 118解：此级数为正项级数，且nnn 1 | sin n | 22nun 1n1lim n 1

16、1limlim 2n11xunxnx2n22nn收敛，故n收敛n 1 2nn 1 |sin n | 219.解：（ 1）由 f ( x)4 f ( x)=0 得y4 y =0 ，其特征方程r 240 的解为 r2y4 y =0 的通解为 yC1e2xC2e 2 x由题意知 y |x 00, y |x 0 2 ， C1 C2 0,2C1 2C22,得 C11 ,C2122f (x)1 (e2x e 2 x )故2(2)由题意得 Q f ( x)e2 xe 2 x , f ( x)2e2 x2e 2x令 f ( x)0 得 x 0当 x0 时， f ( x)0 ， 当 x0 时， f ( x)0所

17、以曲线的凹区间为(0,) ，凸区间为 ( ,0) ，点 (0,0) 为曲线的拐点20. 解：（ 1） Q f (x)cosx2 ,f (0)1,（2） f (x)x2dtcost0令 ut, 则f ( x)x2 dtxx2 dtf ( x)costcosu2ducost000f ( x) 为奇函数（3）设 g( x) f ( x) x (1 ) x3,3则 g (x)f ( x)1cosx21(1) x2 ,g (x) 在 (0, ) 区间内单调递增，所以，当 x0 时， g ( x)g (0)0由此知 g (x) 在 (0,) 区间内单调递增故当 x0 时， g(x)g (0)f (0)即当

18、 x0(1) x3时， f ( x) x30所以，当 x(1 ) x30 时， f ( x) x3广东省 2017 年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共5 小题，每小题3 分，共 15 分。每小题只有一个选项符合题目要求）1下列极限等式不正确的是A lim e n10B lim en1nnC lim x10D lim x sin 10x 1 x21x 0x2若 lim(1a ) x4 ，则常数 ax xA ln 2B 2ln 2C 1D 43设 F ( x) 是可导函数f ( x) 的一个原函数，C 为任意常数，则等式不正确的是A f ( x)dxf (x) CBf

19、 (x)dxf (x)Cf ( x)dx F ( x) CD F (x)dxf (x) C4已知函数 f (x) 在区间 0,224x )dx上连续，且xf ( x)dx 4 ，则f (00A 2B 4C6D 811 x2f ( x2y 2 )dy 化为极坐标形式的二次积分，则 I5将二次积分I1 dx 0d12 )dr1f (r 2 )drA rf (rB d00002121f (r 2 )drCdrf (r 2 )drD d0000二、填空题（本大题共5 小题，每小题3 分，共 15 分）6已知当 x0 时， f ( x) :2x ，则 limsin 6xf (x)x 07若常数p1，则广

20、义积分1p dx1 x8设二元函数 zf (x, y) 的全微分 dzy12z2 dxdy,则xxy x。9微分方程 y9 y0 的通解为 y。10级数1的和为1)n 1 n( n三、计算题（本大题共8 小题，每小题6 分，共48 分）11求极限 lim e3x3x1x 0 1 cos x12设 y xx2(x0) ，求 y13设函数 f ( x)x(t1)2 1dt ，求曲线 yf ( x) 的凹凸区间和拐点114求不定积分x cos(x2)dx15设 (x y)3ztan z 0 ，计算zzxy16求二重积分x3，其中 D 是由曲线 y2和直线 x 1及 y0 围成的有界闭区e dxD域1

21、7若曲线经过点(0,1) ，且该曲线上一点( x, y) 处的切线斜率为2 yex ，求这条曲线的方程18判定级数1 4n(2) 敛散性。n1 nn!四、综合题（大题共2 小题，第 19 小题 12 分，第20 小题 10 分，共22 分）19设函数f ( x)1x1 x2（ 1）求曲线 y f ( x) 的水平渐近线方程；（ 2）求由曲线yf ( x) 和直线 x0, x 1及 y0 围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积 V20已知 f ( x)arctan 1x（ 1）证明：当 x0 时，恒有 f ( x)f ( 1 )；x2（ 2）试问方程f (x) x 在区间 (0,) 内有几个

22、实根？广东省 2016 年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。每小题只有一个选项符合题目要求）3xa, x11处连续 ,则常数 a1若函数 f (x)=在点 xx1,x 1A 1B 0C 1D 2f ( x0x)f (x0 )( x0 )2已知函数 f ( x) 满足 limx6 ,则 fx0A 1B 2C3D 63若点 (1,2) 为曲线yax3bx2 的拐点 ,则常数 a 与 b 的值应分别为A 1和3B3 和 1C2 和 6D6和 24设函数 f (x) 在区间1,1上可导， C 为任意实数 ,则 sin xf (cos

23、 x)dxA cos xf (cos x)CB cos xf (cos x) CC f (cos x)CD f (cos x) C5已知常数项级数u 的部分和 Sn(nN * ) ,则下列常数项级数下列级数中，发n 1nnn1散的是A 2unB (unun 1)n 1n 1C(un1 )D un (3)nn 1nn =15二、填空题（本大题共5 小题，每小题3 分，共 15 分）6极限 lim xsin 3xxx7设 y2 ,则 dy x 0x18设二元函数9设平面区域2z x ln y ,则z。y xD ( x, y) | x2y 21 ,则 ( x2y2 )d。D10椭圆曲线x2y21围成

24、的平面图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体体积 V4三、计算题（本大题共8 小题，每小题6 分，共 48 分）11求极限 lim(1sin x )x0x2x312求曲线 3x2yexy2 在点 (0,1)处的切线方程113求不定积分dx 。x(1x)114计算定积分x2xdx015设 zuv ,而 u2xy,vx ,求zxx 1和 zy 0yx 1y 0x16设平面区域D 由曲线 xy1和直线 yx 及 x2 围成 ,计算dDy217已知函数 ye2 x 是微分方程 y2 y ay0的一个特解 ,求常数 a 的值 ,并求该微分方程的通解18已知级数un 满足 un 11 (11 )n un (n

25、N * ) ,且 u1 1,判定级数un 的收敛性。n 13nn 1四、综合题（大题共 2 小题，第19 小题 12 分，第20 小题 10 分，共 22 分）19设函数 f ( x)ln(1 x) x1x2 , 证明 :2（ 1）当 x0 时 , f ( x) 是比 x 高阶的无穷小量 ;（ 2）当 x0 时, f (x)020已知定义在区间0,) 上的非负可导函数f (x) 满足f2x 1f 2 (t)( x)1t2dt(x 0)0（ 1）判断函数f (x) 是否存在极值 ,并说明理由；（ 2）求 f ( x)2016 年广东省普通高校本科插班生招生考试高等数学参考答案及评分标准一、单项选

26、择题（本大题共5 小题，每小题3 分，共 15 分）1.A2.B3.A4.D5.C二、填空题（本大题共5 小题，每个空3 分，共 15 分）6.37.dx8.19.10.8y23三、计算题（本大题共8 小题，每小题6 分，共48 分）11. lim(1sin x)lim xsin xlim 1cosxlim sin x1x 0 x2x3x 0x3x 03x2x 0 6x612. 解：等式两边对x 求导得： 6xdyexy ( yx dy ) 0dxdxdy (1xexy )6xyexydxdy6xyexy, dydx1xexydxx 01y 1故曲线在点 (0,1) 处切线方程为y1( x0) ，即 yx113. 解：设xt ，则 xt 2 ,dx2tdt111dx2tdt 2dt 2arcsin t Cx(1 x)t 1 t 21 t 22arcsin