数字滤波器技术及其应用

1、6.3数字滤波器技术及其应用概述 处理连续时间信号利用模拟滤波器 处理离散时间信号我们广泛地应用数字滤波器 数字滤波器是利用离散系统的特性，采用数字信号的处理方法，对输入信号的波形或频谱进行加工处理，或者说对输入信号进行变换，使其转换成预期的输出信号。数字信号处理方法 硬件设备 计算机软件优点：抗干扰能力强，精度高，性能容易调节等，且随着数字技术的发展，数字滤波器迅速在许多应用中替代了模拟滤波器，越来越受到人们的注意和得到广泛的应用。 通常数字滤波器是线性时不变离散时间系统。因此，同一滤波器在时域时域可以用单位脉冲响应hn来表示。 在频域频域可用频率响应H( )来表示 在复频域复频域可用系统函

2、数H(z)来表示 在实际设计数字滤波器时，通常按给定的技术指标。不是系统函数表达式。故数字滤波器的中心问题是：如何设计数字滤波器的系统函数H(z)来满足所要求的数字滤波器具体指标。ejIIR数字滤波器设计方法转换法设计种类 1.冲激响应不变变换法 2.双线性变换法 3。微商-差商变换法 4.匹配z变换法。两个问题 1.逼近程度问题 按照转换法所设计的数字滤波器,其特性是否逼近模拟滤波器特性,即模拟频响与数字(或序列)频响的关系问题 2.稳定性问题 对于模拟系统,如果所有极点都在s平面的左半平面,刚该系统是稳定的。对于离散系统，如 是一个因果系统，则其所有极点都在z平面单位圆内，收敛域包含单位圆

3、以外的整个z平面。因此，对于一个稳定的模拟系统，转换为一个稳定的数字系统，要求s平面的左半平面全部极点映射到z平面单位圆内。方法：方法：利用模拟滤波器设计数字滤波器就是要利用模拟滤波器设计数字滤波器就是要把把s s平面映射到平面映射到z z平面，使模拟系统函数平面，使模拟系统函数 变变换成所需的数字滤波器的系统函数换成所需的数字滤波器的系统函数 。基本要求：基本要求：（1 1）的频响特性应能模仿的频率响应）的频响特性应能模仿的频率响应（2 2）因果稳定的就能映射成因果稳定）因果稳定的就能映射成因果稳定几种映射方法：几种映射方法：冲激响应不变法、阶跃响应不变法、冲激响应不变法、阶跃响应不变法、双

4、线性变换法。双线性变换法。( )aHs( )H z( )aHs( )aHs( )H z( )H z冲激响应不变法是使数字滤波器的单位冲激响应序列冲激响应不变法是使数字滤波器的单位冲激响应序列h(n)h(n)模仿模拟滤波器的单位冲激响应模仿模拟滤波器的单位冲激响应 。即抽样。即抽样满满满足满足抽样序列的抽样序列的Z Z变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系()ahT)()(nThnha)2(1)(kTjsHTzHkaezsTz=ez=estst从从S S平面变换到平面变换到Z Z平面的变换关系。平面的变换关系。z=rez=rej j s= + jts= + jtz=

5、rez=rejj= e= e(+ j)t(+ j)t= e= ette e+jt+jtr=er=et t =T=TS平面平面Z平面平面3/T3/T/T/T-/T-/T-3/T-3/T0 00 01 1-1-1jjjImzjImzRezRez数字滤波器和模拟滤波器频率响应之间关系数字滤波器和模拟滤波器频率响应之间关系只有当只有当才能在折叠频率内重现模拟滤波器响应而不产生才能在折叠频率内重现模拟滤波器响应而不产生混叠失真，即混叠失真，即12()()jakkH eHjTT2, 0)(caTjh1()()jaH eHjTT数字滤波器和模拟滤波器频率响应之间关系数字滤波器和模拟滤波器频率响应之间关系只有

6、当只有当才能在折叠频率内重现模拟滤波器响应而不产生才能在折叠频率内重现模拟滤波器响应而不产生混叠失真，即混叠失真，即2, 0)(caTjh注意：注意：（1 1）模拟滤波器频率响应在折叠频率以上衰）模拟滤波器频率响应在折叠频率以上衰减快、大，变换后混叠失真越小。减快、大，变换后混叠失真越小。（2 2）当增加，可减小混叠效应。）当增加，可减小混叠效应。（3 3）当滤波器指标用数字域给定时，若）当滤波器指标用数字域给定时，若不变，用减小不变，用减小T T的方法就不能解决混叠问题。的方法就不能解决混叠问题。sfc设模拟滤波器的系统函数设模拟滤波器的系统函数 只有单阶极点，且假只有单阶极点，且假定分母的

7、阶次大于分子的阶次。展开部分分式定分母的阶次大于分子的阶次。展开部分分式其相应的冲激响应是的拉普拉斯反变换即其相应的冲激响应是的拉普拉斯反变换即( )aHsNkkkassAsH1)( )aHs( )aht11( )()()()()kkNNs nTs Tnakkkkh nh nTA eu nTA eu nT)()()()()(zHnhnThthsHzanTtaa 变换拉普拉斯反变换NktskatueAthk1)()(对对h(n)h(n)求求z z变换，得数字滤波器系统函数变换，得数字滤波器系统函数11011011( )( )()()1kkkNNs Ts TnnnkknnkknNks TkH zh

8、 n zA ezAezAez 和和H(z)H(z)比较结果分析：比较结果分析：（1 1）s s平面的单极点变换到平面的单极点变换到z z平面上平面上 处的单极点。处的单极点。（2 2）两者部分分式的系数是相同的，都是）两者部分分式的系数是相同的，都是（3 3）如果模拟滤波器是稳定的，则数字滤波器也）如果模拟滤波器是稳定的，则数字滤波器也 是稳定的。是稳定的。（4 4）能保证两者极点代数对应关系，但不保证整）能保证两者极点代数对应关系，但不保证整 个个s s与与z z的代数对应关系。零点就没有这种关的代数对应关系。零点就没有这种关 系。而是随系。而是随 的极点及系数两者而变化。的极点及系数两者而

9、变化。( )aHskssks TzekA( )aHs 6.31 6.31式看出，数字滤波器频率响应还与抽样间隔式看出，数字滤波器频率响应还与抽样间隔T T成反比。当抽样频率高时（成反比。当抽样频率高时（T T很小），滤波器增益会很小），滤波器增益会太高。太高。修正方法：修正方法：令令则有则有及及因，共轭极点，其变成因，共轭极点，其变成H(z)H(z)关系关系kss)()(nTThnha11( )-6.391kNks TkTAH zez（）kajTjHkTjTjeH),()2()(*kss( )aHs*1*1,11kkkkkks Ts TkkAAAAssezssez例例1 1、设模拟滤波器的系统

10、函数为、设模拟滤波器的系统函数为试利用冲激响应不变法，设计试利用冲激响应不变法，设计IIRIIR数字滤波器。数字滤波器。解：直接利用解：直接利用6.396.39式可得数字滤波器的系统函数为式可得数字滤波器的系统函数为 设设T T0.16670.1667，即采样频率为，即采样频率为 则有则有2211( )4313aHsssss131311324()( )111()TTTTTTTTTTzeeH zezezzeeze1120.040( )1 1.45290.5133zH zzz6 zsfH模拟滤波器与数字滤波器的频率响应分别为模拟滤波器与数字滤波器的频率响应分别为a22( )2()(3)40.040

11、0()1 1.45290.5133ajjjjjsjwHsHjwwj wzeeH eee 代入代入，有冲激不变响应法优缺点：冲激不变响应法优缺点： 数字滤波器的冲激响应完全模仿模拟滤波器的数字滤波器的冲激响应完全模仿模拟滤波器的冲激响应，也就是时域逼近良好，模拟频率和数冲激响应，也就是时域逼近良好，模拟频率和数字频率之间呈线性关系。字频率之间呈线性关系。 由于存在混叠失真，因此只适应限带的模拟滤由于存在混叠失真，因此只适应限带的模拟滤波器。波器。目的：目的：主要用来克服混叠现象。主要用来克服混叠现象。 双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响

12、应相似的一种变换方法。模拟滤波器的频率响应相似的一种变换方法。首先把整个首先把整个s s平面压缩变换到某一中介的平面压缩变换到某一中介的s s1 1平面的平面的一条横带里一条横带里( (即从即从-/T-/T到到/T)/T)；其次再通过上面讨论过的标准变换关系其次再通过上面讨论过的标准变换关系 , ,将此横带变换到整个将此横带变换到整个z z平面上去平面上去, ,这样就使这样就使s s平面与平面与z z平面一一对应来消除混叠。平面一一对应来消除混叠。Tsez1S平面平面S1平面平面z平面平面jj0 01jj1 10 0/T/T-/T-/TjImzjImzRezRez0 01 1-1-1双线性变换

13、法的映射关系双线性变换法的映射关系将将s s平面整个平面整个jj轴压缩变换到轴压缩变换到s s1 1平面平面jj1 1轴上的轴上的/T/T到到/T/T一段，可以采用的变换方式：一段，可以采用的变换方式：这样，变到，这样，变到， 变到，变到，上式可以写成：上式可以写成：解析延拓到解析延拓到s s平面和平面和s s1 1平面，令则平面，令则)2tan(1T 1T 0 10 11112222TTTTeejee 11,js js 111111221221tan21s Ts Ts Ts Ts Ts TsTeeesheee再将再将s s1 1平面通过以下标准变换关系映射到平面通过以下标准变换关系映射到z

14、z平面平面从而得到从而得到s s平面和平面和z z变换的单值映射关系变换的单值映射关系为使模拟滤波器的某一频率与数字滤波器的任一频为使模拟滤波器的某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系引入待定常数率有对应关系引入待定常数c c，Tsez11111zzsssz111tan()2Tc 1111tan ()21s Ts TTeschce(6 1)仍将代入，可得仍将代入，可得上两式是上两式是s s平面与平面与z z平面之间的单值映射关系，平面之间的单值映射关系，这种变换就称为双线性变换。这种变换就称为双线性变换。1s Tze1111zzcsscscz不同不同c c可以使模拟滤波器与数字滤波器频率特性

15、在可以使模拟滤波器与数字滤波器频率特性在不同频率处有对应关系，也就是可以调节频带间不同频率处有对应关系，也就是可以调节频带间的对应关系。有两种方法：的对应关系。有两种方法：（1 1）使两种滤波器在低频处有较明确的对应关系。）使两种滤波器在低频处有较明确的对应关系。即低频时即低频时 , ,当当 较小有较小有由由6-16-1式及可得式及可得因而得因而得 此时两者低频特性近似。此时两者低频特性近似。1 111tan()22TT1 112Tc Tc2（2 2）采用数字滤波器的某一特定频率与模拟原型）采用数字滤波器的某一特定频率与模拟原型滤波器的一个特定频率相对应，即滤波器的一个特定频率相对应，即则有则

16、有这种方法的主要优点是在特定的模拟和数字频率这种方法的主要优点是在特定的模拟和数字频率处，频率响应严格相等。处，频率响应严格相等。可准确的控制截止频率可准确的控制截止频率的位置。的位置。)2tan()2tan(1ccccTccot2ccc 模拟角频率模拟角频率与数字频率与数字频率之间的之间的变换关系变换关系当零频附近呈线性关系，当增加当零频附近呈线性关系，当增加时，就存在非线性关系。时，就存在非线性关系。其产生两个问题：其产生两个问题：（1 1）经双线性变换不能保持原有相位。）经双线性变换不能保持原有相位。（2 2）这种非线性关系要求模拟滤波器的）这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分

17、段常数型的。幅频响应必须是分段常数型的。)2tan(c/c=tan(/2)/c=tan(/2)-0 0210 0210 012120 0|H|Ha a(j)|(j)|H(e|H(ejj)|)|=2tan=2tan-1-1(/c)(/c)理想微分器经双线性变换后幅频响应产生畸变理想微分器经双线性变换后幅频响应产生畸变解决办法：将频率加以预畸，即利用解决办法：将频率加以预畸，即利用将数字滤波器的截止频率（即临界频率）变换成模将数字滤波器的截止频率（即临界频率）变换成模拟频率，利用这组模拟频率来设计模拟带通滤波拟频率，利用这组模拟频率来设计模拟带通滤波器，这是我们要求的模拟原型。器，这是我们要求的模

18、拟原型。对这个模拟原形滤波器采用双线性变换，即可以得对这个模拟原形滤波器采用双线性变换，即可以得到所需要的数字滤波器。到所需要的数字滤波器。)2tan(c利用双线性变换将模拟滤波器数字化的办法：利用双线性变换将模拟滤波器数字化的办法：（1 1）s s到到z z之间的变换是简单的代数关系，可以将之间的变换是简单的代数关系，可以将模拟滤波器的系统函数用代数置换得到数字滤波模拟滤波器的系统函数用代数置换得到数字滤波器的系统函数：器的系统函数：（2 2）先将模拟系统分解为并联或级联的子系统，）先将模拟系统分解为并联或级联的子系统，每个系统都变成低阶的，然后再对每个子系统函每个系统都变成低阶的，然后再对

19、每个子系统函数分别进行双线性变换。数分别进行双线性变换。因为模拟系统函数的分解有大量的图表可以利因为模拟系统函数的分解有大量的图表可以利用，分解起来比较方便。用，分解起来比较方便。111111)()(11zzcHsHzHazzcsa此变换在概念上很清楚，但是实际变换可能会比较复杂，可以此变换在概念上很清楚，但是实际变换可能会比较复杂，可以先求出双线性变换法中数字滤波器的系数与模拟滤波器的系数先求出双线性变换法中数字滤波器的系数与模拟滤波器的系数之间的关系式，并列成表格，便可以利用表格进行设计。之间的关系式，并列成表格，便可以利用表格进行设计。111111)()(11zzcHsHzHazzcsa

20、NNNNNiiiNiiiNNNNNiiiNiiiasBsBsBsAsAsAAzBzAzHseseseesdsdsddsesdsH221221000221022100011)()(一阶一阶N N1 1A A0 0 (d (d0 0+d+d1 1c)/Rc)/RA A1 1 (d (d0 0-d-d1 1c)/Rc)/RB B1 1 (e (e0 0-e-e1 1c)/Rc)/R R (e R (e0 0+e+e1 1c)c)二阶二阶N N2 2 A A0 0 (d (d0 0+d+d1 1c+dc+d2 2c c2 2)/R)/R A A1 1 (2d (2d0 0-2d-2d2 2c c2 2

21、)/R)/R A A2 2 (d (d0 0-d-d1 1c+dc+d2 2c c2 2)/R)/R B B1 1 (2e (2e0 0-2e-2e2 2c c2 2)/R)/R B B2 2 (e (e0 0-e-e1 1c+ec+e2 2c c2 2)/R)/RR (eR (e0 0+e+e1 1c+ec+e2 2c c2 2) )三阶三阶N N3 36.3.2 有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器的设计学习目标学习目标.FIR.FIR数字滤波器具有线性相位的条件、线性相位数字滤波器具有线性相位的条件、线性相位FIRFIR数字滤波数字滤波器的幅度特点以及零点分布特点；器的幅度特点以及零点

22、分布特点；. .窗函数设计法设计窗函数设计法设计FIRFIR数字滤波器的基本原理、设计步骤、窗数字滤波器的基本原理、设计步骤、窗函数选取的基本原则以及窗函数设计法的不足；函数选取的基本原则以及窗函数设计法的不足；. .频率采样法设计频率采样法设计FIRFIR数字滤波器的基本原理、设计步骤以及过数字滤波器的基本原理、设计步骤以及过渡点对性能指标的影响；渡点对性能指标的影响；线性相位：线性相位：设滤波器频率响应为设滤波器频率响应为 1 线性相位FIR滤波器的特点)(|)(|)(jjjeeHeH若有若有dd)(为常数时为常数时即即dd)(FIR滤波器滤波器:有限长单位冲激响应数字滤波器。有限长单位冲

23、激响应数字滤波器。称为线性相位滤波器称为线性相位滤波器两种情况：两种情况： )()( 1.1线性相位条件设离散系统单位冲激响应为设离散系统单位冲激响应为 ，长度为，长度为N，为实序列。，为实序列。)(nh且且 关于关于 偶对称或奇对称偶对称或奇对称)(nh21N)1()(nNhnh偶对称偶对称)1()(nNhnh奇对称奇对称)(10)()()(jNnnjjeHenheH系统频率响应为系统频率响应为1. 1. 为偶对称为偶对称)(nh10)()(NnnznhzH系统函数为系统函数为1010)1()()(NnnNnnznNhznhzH两式相加两式相加1nNm令)()()()(1)1(10)1(10

24、)1(zHzzmhzzmhzHNNmmNNmmN10)()()(10)1(1)1()21)()(21)()(21)(212121NnnnNnnNnNNNNzznhzzzznhzHzzHzH频率响应频率响应1021)()cos()(|)()(21NnNjezjnnhezHeHNj幅度响应幅度响应1021)cos()()(NnNnnhH相位响应相位响应21,21)(NN结论：具有结论：具有 偶对称形式冲激响应的系统具有线性相位偶对称形式冲激响应的系统具有线性相位2. 2. 为奇对称为奇对称)(nh1010)1()()(NnnNnnznNhznhzH两式相加两式相加1nNm令)()()()(1)1(

25、10)1(10)1(zHzzmhzzmhzHNNmmNNmmN10)()()(10)1(1)1()21)()(21)()(21)(212121NnnnNnnNnNNNNzznhzzzznhzHzzHzH频率响应频率响应1021)()sin()(|)()(21NnNjezjnnhjezHeHNj幅度响应幅度响应1021)sin()()(NnNnnhH相位响应相位响应21,221)(NN结论：具有结论：具有 奇对称形式冲激响应的系统也具有线性相位奇对称形式冲激响应的系统也具有线性相位1.2 线性相位FIR数字滤波器的幅度特点当当 为偶对称和奇对称时为偶对称和奇对称时, ,滤波器幅度函数有两种特性滤

26、波器幅度函数有两种特性)(nh而当而当N N的取值为偶数和奇数时的取值为偶数和奇数时, ,滤波器幅度特性也不同滤波器幅度特性也不同. .因而共有因而共有4 4种不同的幅度特性种不同的幅度特性. .1. 1. 偶对称偶对称,N,N为奇数为奇数)(nh10)21cos()()(NnNnnhH由于由于N N为奇数为奇数, ,中间项为中间项为 , ,21Nn1)21cos(Nn230)21cos()(2)21()(NnNnnhNhH其余项偶对称其余项偶对称 , ,)cos(),(nnhnNm21令230cos)21(2)21()(NmmmNhNhH212, 1),21(2)(),21()0(NnnNh

27、naNha令210cos)()(NnnnaH 关于关于 偶对称偶对称)(H2,00202可实现任意可实现任意形式滤波器形式滤波器2. 2. 偶对称偶对称,N,N为偶数为偶数)(nh10)21cos()()(NnNnnhH由于由于N N为偶数为偶数, ,无单独中间项无单独中间项, ,所有项均可两两合并所有项均可两两合并nNm2令 21)21cos()2(2)(NmmmNhH 22,1),2(2)(NnnNhnb 令 21)21cos()()(NnnnbH 关于关于 偶对称偶对称, ,关于关于 奇对称奇对称. . )(H2,0 0)(H02低通滤波器低通滤波器带通滤波器带通滤波器可用于设计可用于设

28、计: :不能用于不能用于: :高通滤波器高通滤波器带阻滤波器带阻滤波器3. 3. 奇对称奇对称,N,N为奇数为奇数)(nh 关于关于 奇对称奇对称. . )(H2,0 , , 0)0(H0)(H带通滤波器带通滤波器可用于设计可用于设计: :仅可用于低通仅可用于低通和带通滤波器和带通滤波器4. 4. 奇对称奇对称,N,N为偶数为偶数)(nh , , 0)0(H可用于设计可用于设计: : 关于关于 奇对称奇对称, ,关于关于 偶对称偶对称. . )(H2,0高通滤波器高通滤波器带通滤波器带通滤波器4 4种不同的幅度特性中，以第一种幅度特性最好，因而在种不同的幅度特性中，以第一种幅度特性最好，因而在

29、FIRFIR滤滤波器的设计中，通常都采用第一种幅度特性。称第一类波器的设计中，通常都采用第一种幅度特性。称第一类FIRFIR滤波滤波器。器。 偶对称偶对称,N,N为奇数为奇数)(nh2、FIR数字滤波器的数字滤波器的设计方法设计方法窗函数法窗函数法 某理想滤波器的频率响应某理想滤波器的频率响应对应的冲激响应对应的冲激响应可见它是一无限长、非可见它是一无限长、非因果和不稳定的系统。因果和不稳定的系统。在在N-1/2处不具有对称处不具有对称性。如何加以改造？性。如何加以改造？版权所有2010 ，吉林大学通信工程学院信息科学实验室ccjdeH,0, 1)(ccnndenhcnjdsin21)(FIR

30、数字滤波器的设计方法理想滤波器理想滤波器其冲激响应为其冲激响应为寻找一有限长因果序列来寻找一有限长因果序列来逼近理想冲激响应，即逼近理想冲激响应，即版权所有2010 ，吉林大学通信工程学院信息科学实验室ccnjjdeeH,0,)(nnnhcdsin)(nNnnhnhd其它,010, )()(FIR数字滤波器的设计方法和和 ，它是为了构造偶对称序列而取的延迟。，它是为了构造偶对称序列而取的延迟。 有必要讨论加窗前后两个序列的频率响应或频谱函数间的差有必要讨论加窗前后两个序列的频率响应或频谱函数间的差别。由上面公式可知别。由上面公式可知矩形窗的频谱为矩形窗的频谱为它直接影响所设计滤波器的质量。它直

31、接影响所设计滤波器的质量。版权所有2010 ，吉林大学通信工程学院信息科学实验室21NnNnnwnwnhnhRRd其它,010,1)(),()()()()(21)(jRjdjeWeHeHjRNjNnnjjReWeNeeW)(2/sin2/sin)(2110FIR数字滤波器的设计方法矩形窗的频谱曲线矩形窗的频谱曲线不同窗函数窗谱是不同的。如果窗谱函数是一冲激会产生理想设计。不同窗函数窗谱是不同的。如果窗谱函数是一冲激会产生理想设计。版权所有2010 ，吉林大学通信工程学院信息科学实验室主瓣旁瓣旁瓣对窗函数的要求：主瓣窄、旁瓣小FIR数字滤波器的设计方法- 讨论矩形窗谱函数对有时延理想低通滤波器设

32、计的影响讨论矩形窗谱函数对有时延理想低通滤波器设计的影响由前面知由前面知因此因此FIR数字滤波器的幅度响应为数字滤波器的幅度响应为根据上式，在几个特殊情况下观察卷积结果。根据上式，在几个特殊情况下观察卷积结果。版权所有2010 ，吉林大学通信工程学院信息科学实验室deWeHeWeHeHjRjdjRjdj21)()(21)( dWHeRdj21 dWHHRd21NNccc2,2,0FIR数字滤波器的设计方法理想低通与矩形窗频谱函数卷积过程理想低通与矩形窗频谱函数卷积过程常用窗函数：矩形窗、巴特利特窗、汉宁窗、哈明窗、布莱克曼窗常用窗函数：矩形窗、巴特利特窗、汉宁窗、哈明窗、布莱克曼窗凯泽窗。凯泽

33、窗。版权所有2010 ，吉林大学通信工程学院信息科学实验室肩峰、泄漏和吉布斯现象FIR数字滤波器的设计方法改善窗函数可改善滤波器的性能（折中和权衡过程）改善窗函数可改善滤波器的性能（折中和权衡过程）版权所有2010 ，吉林大学通信工程学院信息科学实验室可消除泄露减小旁瓣，但过渡带宽增加可消除泄露减小旁瓣，但过渡带宽增加受具体窗函数限制，以上两个条件不能同时达到最佳。受具体窗函数限制，以上两个条件不能同时达到最佳。常用窗函数：常用窗函数：1.矩形窗矩形窗)()(nRnwN窗函数窗函数21)()(NjRjReWeW频率响应频率响应2sin2sin)(NWR主瓣宽度主瓣宽度N4第一旁瓣比主瓣低第一旁

34、瓣比主瓣低dB13即：采用矩形窗设计的即：采用矩形窗设计的FIRFIR滤波器，过渡带宽度为滤波器，过渡带宽度为 ，阻，阻带衰减最大带衰减最大 。 N4dB132.三角窗三角窗12112221012)(NnNNnNnNnnwBr频率响应频率响应窗函数窗函数2122122sin)4sin(22sin)41sin(12)(NjNjjBreNNeNNeW主瓣宽度主瓣宽度N8第一旁瓣比主瓣低第一旁瓣比主瓣低dB25n)(nwBr03.汉宁窗汉宁窗)()12cos(121)(nRNnnwNHan 频率响应频率响应窗函数窗函数主瓣宽度主瓣宽度N8第一旁瓣比主瓣低第一旁瓣比主瓣低dB3121)()(NjHan

35、jHaneWeW 时时1N)2()2(25.0)(5.0)(NWNWWWRRRHan)(RW 为矩形窗频率响应幅度函数为矩形窗频率响应幅度函数)(HanW0N4N44.哈明窗哈明窗5.布莱克曼窗布莱克曼窗6.凯赛贝赛尔窗凯赛贝赛尔窗2.4 窗函数法设计步骤1.根据给定的滤波器理想频率响应根据给定的滤波器理想频率响应 求其单位冲激响应求其单位冲激响应)(jdeH)()()(nwnhnhddeeHnhjnjdd)(21)(2.根据给定的滤波器过渡带及阻带衰减要求，选择合适的窗函根据给定的滤波器过渡带及阻带衰减要求，选择合适的窗函数形式数形式 。)(nw3.滤波器冲激响应为滤波器冲激响应为4.检验所

36、得滤波器是否满足设计指标检验所得滤波器是否满足设计指标1.1.求数字域频率求数字域频率解：解：例例 2 设计一个线性相位的设计一个线性相位的FIR数字低通滤波器，给定采样频数字低通滤波器，给定采样频率率 ，通带截止频率，通带截止频率 ，阻带起始频率阻带起始频率 ，阻带衰减不小，阻带衰减不小于于 。kHzfc15sradp/105.123srads/10323dB50通带截止频率通带截止频率2.0Tpp阻带起始频率阻带起始频率4.0Tss阻带衰减阻带衰减dBs50截止频率截止频率3.0)4.02.0(21)(21spc2.2.确定理想低通滤波器频率响应确定理想低通滤波器频率响应|0|)(ccjj

37、deeH)()sin(21)(21)(nndeedeeHnhcjnjjnjddcc3.理想低通滤波器理想低通滤波器冲激响应冲激响应为满足线性相位为满足线性相位21N4.确定窗函数及确定窗函数及FIR滤波器长度滤波器长度N由阻带衰减由阻带衰减 ，可选哈明窗，其阻带最小衰减，可选哈明窗，其阻带最小衰减dBs50dB53由哈明窗过渡带宽由哈明窗过渡带宽3.32NN6 . 6有有6 . 6N2 . 02 . 04 . 0ps332 . 06 . 6N1621N5.确定确定FIR滤波器冲激响应滤波器冲激响应哈明窗函数序列哈明窗函数序列2()0.540.46 cos()w()1H amRnwnnN则则FI

38、R滤波器冲激响应为滤波器冲激响应为( )( )( )sin0.3 (16)20.54 0.46cos()( )(16)1dHamRh nh n wnnnw nnN6.检验设计结果是否符合要求检验设计结果是否符合要求阻带衰减大阻带衰减大于于50分贝分贝1.对理想滤波器频响进行对理想滤波器频响进行N点采样点采样3 频率采样法3.1设计原理设理想数字滤波器频率响应为设理想数字滤波器频率响应为101()()()0,1, 2,1NnkNkh nID F THkHk WkNN2.根据傅立叶变换的特性，根据傅立叶变换的特性，N点频响采样通过傅立叶反变换成点频响采样通过傅立叶反变换成N点时域序列，即为点时域序

39、列，即为FIR滤波器时域冲激响应滤波器时域冲激响应)(nhjezjdzHeH|)()(在在z z平面单位圆上对平面单位圆上对 等间隔采样等间隔采样N N点点)(jeH12, 1 ,0|)()(2NkeHkHkNjd对应时域中对应时域中N N点冲激序列点冲激序列)(nh其其z z变换为变换为101010)(1)()(NnnNknkNNnnzWkHNznhzH1010)(1NkNnnnkNzWkHN1010111)(111)(1NkNkkNNkNNNkNzWkHNzzWzWkHN1 NkNW滤波器频率响应为滤波器频率响应为101)(1|)()(NkjkNjNezjeWkHNezHeHj为理想滤波器

40、频率响应为理想滤波器频率响应 的重构的重构)(jdeH3.2 频率采样法的优化设计在频率采样点上，实际滤波器在频率采样点上，实际滤波器频率响应与理想滤波器频率响频率响应与理想滤波器频率响应的数值严格相等。应的数值严格相等。在频率采样点之间，实际滤波在频率采样点之间，实际滤波器频率响应由各采用点的加权器频率响应由各采用点的加权插值形成，与理想滤波器频率插值形成，与理想滤波器频率响应存在误差。响应存在误差。0)(jdeHkc1)(kH)(jeH0)(jeHk1)(kH)(jdeH理想滤波器频率响应变化越平理想滤波器频率响应变化越平缓，插值结果与实际频响曲线缓，插值结果与实际频响曲线越接近。增加采样

41、点可以减小越接近。增加采样点可以减小插值误差。插值误差。优化设计优化设计为减小在频带突变处的起伏为减小在频带突变处的起伏, ,采用插入过渡点的方法采用插入过渡点的方法0k1)(kH)(jdeH插入插入1 1个过渡点，阻带最小衰个过渡点，阻带最小衰减减444454dB54dB。不插入过渡点不插入过渡点, ,阻带最小衰减阻带最小衰减20dB20dB。0k1)(kH)(jdeH插入插入2 2个过渡点，阻带最小衰个过渡点，阻带最小衰减减606075dB75dB。0k1)(kH)(jdeH插入插入3 3个过渡点，阻带最小衰个过渡点，阻带最小衰减减808095dB95dB。后果：过渡带增加，可通过增加采样

42、点的方法减小过渡带。后果：过渡带增加，可通过增加采样点的方法减小过渡带。3.3 线性相位与采样的约束1. 采样方法采样方法第一种：起始点在第一种：起始点在0第二种：起始点在第二种：起始点在N2. 线性相位的约束线性相位的约束对第一类线性相位对第一类线性相位FIR滤波器，滤波器， 偶对称，偶对称，N为奇数。为奇数。)(nh)()()(jjdeHeH其频率响应为其频率响应为21)(N相位响应为相位响应为其中，幅度响应为其中，幅度响应为)2()( HH在在 之间等间隔采样之间等间隔采样N点点20)()(kNHkHkNNk1)(12, 1 ,0,2NkkNk代入滤波器幅度和相位特性代入滤波器幅度和相位

43、特性12, 1 ,0Nk)(2)22()2(kNNHkNHkNH对第二类线性相位对第二类线性相位FIR滤波器，滤波器， 偶对称，偶对称，N为偶数。为偶数。)(nh)()()(jjdeHeH其频率响应为其频率响应为21)(N相位响应为相位响应为其中，幅度响应为其中，幅度响应为)2()(HH在在 之间等间隔采样之间等间隔采样N点点20)()(kNHkHkNNk1)(12, 1 ,0,2NkkNk代入滤波器幅度和相位特性代入滤波器幅度和相位特性12, 1 ,0Nk对第三类线性相位对第三类线性相位FIR滤波器，滤波器， 奇对称，奇对称，N为奇数。为奇数。)(nh)()()(jjdeHeH其频率响应为其

44、频率响应为221)(N相位响应为相位响应为其中，幅度响应为其中，幅度响应为)2()(HH在在 之间等间隔采样之间等间隔采样N点点20)()(kNHkH21)(kNNk12, 1 ,0,2NkkNk代入滤波器幅度和相位特性代入滤波器幅度和相位特性12, 1 ,0Nk对第四类线性相位对第四类线性相位FIR滤波器，滤波器， 奇对称，奇对称，N为偶数。为偶数。)(nh)()()(jjdeHeH其频率响应为其频率响应为21)(N相位响应为相位响应为其中，幅度响应为其中，幅度响应为)2()( HH在在 之间等间隔采样之间等间隔采样N点点20)()(kNHkH12, 1 ,0,2NkkNk代入滤波器幅度和相

45、位特性代入滤波器幅度和相位特性12, 1 ,0Nk21)(kNNk3.4 频率采样法的设计步骤1.根据理想滤波器性能指标，计算在通带和阻带中的抽样点根据理想滤波器性能指标，计算在通带和阻带中的抽样点数，确定滤波器冲激响应的对称性。数，确定滤波器冲激响应的对称性。2.根据单位冲激响应根据单位冲激响应 的对称性，计算抽样点的幅度的对称性，计算抽样点的幅度 和相位和相位 。)(nh)(kH)(k3.由由 求求 )()()(kjdekHkH)()(kHIDFTnhd检验是否满足设计要求检验是否满足设计要求,若不满足若不满足,修改抽样修改抽样点参数点参数,重新计算直至满足要求。重新计算直至满足要求。 1

46、01)(1|)()(NkjkNdjNezjeWkHNezHeHj1.1.确定截止频率处采样点确定截止频率处采样点解：解：例例 3 利用频率采样法设计一个线性相位低通滤波器。单位利用频率采样法设计一个线性相位低通滤波器。单位冲激响应满足冲激响应满足 ，幅度响应为，幅度响应为采样点数采样点数33。)1()(nNhnh其他02|1|)(|jdeH2.2.确定抽样点参数（幅度与相位值）确定抽样点参数（幅度与相位值）已知已知33N采样间隔采样间隔33298c取取8ck)1()(nNhnh由于由于采样点数采样点数33第一类第一类FIR滤波器滤波器ckkkHkH2, 1 ,01|)33(|)(|1621,1

47、0,90|)33(|)(|NkkHkH322, 1 ,033321)(kkkNNk0k1)(kH)(Hc)(|)(|)(kjekHkH3. 3. 幅度特性幅度特性101)(1)(NkjkNjNjeWkHNeeH由由代入各代入各 取值取值)(kH )332sin(33)332(33sin)332sin(33)332(33sin)2sin(33)233sin()(8116kjjkkkkeeH0| )(|lg20jeH604020其幅度特性为其幅度特性为最大衰减约最大衰减约20dB,20dB,难难以满足一般要求以满足一般要求为了获得更大衰减，为了获得更大衰减，可以采用在频率特可以采用在频率特性突变处插入过渡性突变处插入过渡点。点。ckkkhkh2, 1 ,01)32()(162111,100)32()(Nkkhkh5.0)21()9( hh0k1)(kH)(Hc插入过渡点后其幅插入