椭圆知识点总结51459

1、椭圆知识点知识要点小结：知识点一：椭圆的定义平面内一个动点 P到两个定点Fi、F2的距离之和等于常数(PR | PF2 | 2a IF1F2 ),这个动点P的轨迹叫椭圆这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距注意：假设(|PFi | PF2F1F2 )，那么动点P的轨迹为线段F1F2 ；假设(PFj PF2 | F1F2 )，那么动点P的轨迹无图形知识点二：椭圆的标准方程1.当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程:2x2a2y 1 /1 (a b0)，其中c2a2 b22.当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程:2 y 2 a(a20)，其中c22a b ；注意：1.只有当椭圆的中心为坐标原点，

2、对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程;2.在椭圆的两种标准方程中，都有(ab 0)和c2a23.椭圆的焦点总在长轴上当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为(c,0),(c,0);当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为(0, c),(0, c)知识点三：椭圆的简单几何性质2椭圆：笃a2 y b2拧i1 (a b 0)的简单几何性质2x(1)对称性：对于椭圆标准方程 a2 y b21 (a0):说明：把x换成x、或把y换成y、或把x、y同时换成 x、y、原方程都不变,所以椭圆2x2a2当 1是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，并b且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的

3、中心。(2) 范围：椭圆上所有的点都位于直线 x a和yb所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足x a ,(3) 顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。2 2 椭圆x2 与 1 a b 0与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A a,0,a bA2a,0 , Bi0, b , B20,b 线段A1A2, B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，| AA2 | 2a,| B1B2 I 2b。 a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4离心率：椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e2c2a因为a c 0，所以e的取值范围是0 e 1。e越接近1，那么c就越接近a，从

4、而b . a2 c2 越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0,从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当2 2且仅当a b时，c 0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2 y2 a。注意：椭圆 牛卷 1a b的图像中线段的几何特征如以下图：12a)；PF1PM1|PF2PM 2(PM1 PM2Ml屮M2XKiAii0(2)( BF1BFJ a)；Ah I |甘2(OF1(3)OF22AB|a2 b2 ；PF1c)；A?Fja c ； a c2 2 2b21 a b 0的区别和联系知识点四：椭圆务吿 1与召a ba标准方程2 2X2¥21 (a b 0)ab2 2y2

5、 X21 (a b 0)ab(a b 0)和 eC _222(0 e 1) , a b C ;不同点：两种椭圆的位置不同； 它们的焦点坐标也不相同。 a规律方法：1.如何确定椭圆的标准方程任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴, 椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a,b ；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2 椭圆标准方程中的三个量 a, b,c的几何意义(a b 0)， (a c 0)，椭圆标准方程中，a,b,c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形

6、状大小所确定的。分别表示 椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为: 且a2 b2 c2。可借助右图理解记忆：显然：a,b,c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边,直角边。3如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上， 方法是：看x2 , y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4 方程方程Ax2 By2C可化为Ax2By2CBy2CB1,所以只有A、B C同号，且A B时,Ax2 By2 C代B,C均不为零是表示椭圆的条件C cc c方程表示椭圆。当A B时，椭圆的焦点在x轴上；当-B时，椭圆的焦点在y轴上。5求椭圆标准方程的常用方法：待定

7、系数法：由条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数a,b,c的值。其主要步骤是“先定型，再定量；定义法：由条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6 共焦点的椭圆标准方程形式上的差异22共焦点，贝U c相同xy与椭圆 2 1 a b 0共焦点的椭圆方程可设为ab2y.2b m1 (mb2，此类问题常用待定系数法求解。7 .判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据： 假设把曲线方程中的x换成 x，方程不变，那么曲线关于 y轴对称； 假设把曲线方程中的 y换成 y，方程不变，那么曲线关于 x轴对称； 假设把曲线方程中的x、y同时换成 x、y，

8、方程不变，那么曲线关于原点对称。&如何求解与焦点三角形 PF 1F2 P为椭圆上的点有关的计算问题思路分析：与焦点三角形 PF 1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理或勾股定理、三角形面积公式S PFF-|PFj |PF2 sinF, PF2相结合的方法进行计算解题。将有关线段 PF,、PF2、F,F2|，有关角F,PF2 ( F,PF2F,BF2)结合起来，建立|PF, | PF?、PF, PF2之间的关系9如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系长轴与短轴的长短关系决'.- 丨门"'-1定椭圆形状的变化。离心率e -(0 e 1)，因为ac2a

9、2 b2, a c 0，用 a、b表示为 e11 (-b)2(0 e 1)。 a显然：当b越小时，e(0 e 1)越大，椭圆形状越扁；当a-越大，e(0 e 1)越小，椭圆形状越趋近a于圆。(一)， 椭圆及其性质1、椭圆的定义(1)平面内与两个定点 F1, F2的距离的和等于常数(大于IF1 F2I )的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。(2) 一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数e,那么这个点的轨迹叫做椭圆.其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率.2、椭圆的标准方程x a cos3、椭圆的参数方程y bsin (

10、为参数)4、离心率：椭圆焦距与长轴长之比+e -ae 1 A 0 e 1椭圆的准线方程左准线l1 : xa2右准线丨2 : Xa2(二)、于喳二.椭圆的焦半径椭圆的焦半径公式:(左焦半径)r1 a ex0(右焦半径)a a ex°其中e是离心率-焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式:MFiMF2a eyo a eyo(其中RE分别是椭圆的下上焦点)八 川说存直线与椭圆问题(韦达定理的运用)1、弦长公式:假设直线l : y kx b与圆锥曲线相交与 A、B两点，A (x1, y1), B( x2, y2)那么弦长 AB / X1 X2)2 (y1 y2)2(X1X2)2 (kx1 kx：)2

11、1k2XiX21 k2 . (X1 X2)24x1x2例1.椭圆I及直线y = x + m ( 1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围;(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程。2 2X y2、弦AB的中点，研究 AB的斜率和方程 AB是椭圆a? +号=1( a>b>0)的一条弦，中点M坐标为(xo，yo)，b2X那么AB的斜率为一-2-°.运用点差法求 AB的斜率，设A(X1,a y°yi),B(X2, y2). A、B都在椭圆上，2 2X1y172 + 盲=1,ab22X2y2h=1,两式相减得22X1 X22+aX1 -2X1+ X22 +ay1

12、 y2y1+ yb2=0,例、过椭圆2X16(四)、x2252y16点，求I.2bX1 + X2a2y1 + y2b2-o 丄一-2x°-2. 故 kAB= -2 a y°a y°2L 1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被 M点平分，求这条弦所在直线的方程。4一 四种题型与三种方法1四种题型1:椭圆C：1内有一点 A( 2, 1), F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动PAI +5 1 PF I的最小值。2 22:椭圆 1内有一点A ( 2, 1), F为椭圆的左焦点，2516P是椭圆上动点，求丨PAI + I PF的最大值与最小值。3 :椭圆2 x252仝 1外

13、一点A(5，6)，l为椭圆的左准线,16P为椭圆上动点，点P到I的距离为d，3求|PA+ d的最小值。54:定长为d(d2b2)的线段AB的两个端点分别在椭圆2 x 2 a2厶 1(a b 0)上移动，求AB的中点M b2到椭圆右准线的最短距离。2三种方法1:椭圆笃a2b21的切线与两坐标轴分别交于A,B两点，求三角形OAB的最小面积2 :椭圆122y_31 和直线 l:x-y+9=0，在I上取一点M，经过点M且以椭圆的焦点F1,F2为焦点作椭圆，求 M在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程3:过椭圆2x2y2 2的焦点的直线交椭圆 A,B两点，求 AOB面积的最大值- 课后同步练习2 2

14、1.椭圆 L 1的焦点坐标是 ， 离心率是，准线方程是 251692 22.F1、F2是椭圆也1691的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于MN两点，那么厶MNF的周长为()A.8B. 16 C25 D . 322 23.椭圆 L 1上一点P到一个焦点的距离为5,贝y P到另一个焦点的距离为(259.6 C4.椭圆方程为20 112J 1,那么它的焦距是.3.31D.315.如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是A. (0, +g) B.(0,2)C.(1,+g)D.(0,1)6设FF2为定点，|FiF2|=6，动点M满足| MF! | |MF2 | 6，那么动点M的轨

15、迹是(B.27.方程XA.椭圆直线2=1 ,m 12 mC.D.线段表示焦点在y轴上的椭圆，那么m的取值范围为8.椭圆的两个焦点坐标是Fi(-2，0)，F2(2，0)，53并且经过点 P (-,)，那么椭圆标准方程是2 29.过点A( -1，-2 )且与椭圆X21的两个焦点相同的椭圆标准方程是10.过点P ( J3，-2)，Q (-2, 1)两点的椭圆标准方程是2 211.假设椭圆代眷1的离心率是2，那么k的值等于12. ABC的顶点B、C在椭圆X2 + y2= 1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，那么 ABC的周长是2 2 _、F2分别为椭圆 笃+与=1的左、右焦点，点 P在椭圆上， POF是面积为.3的正三角形，贝U b2的值是a b2 214设M是椭圆x_1上一点,R、F2为焦点,F1MF2 云，那么 S MF1F215.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为焦点到相应准线的距离为 1，那么该椭圆的离心率为.2(A)2(B)(C)(D)2y_16.设5是右焦点为的椭圆2519上三个不同的点,那么 “ AF , BF , CF成等差数列是“ X1 X28 的(A)充要条件(B)必要不充分