图形的平移和旋转讲义

1、第十六讲图形的平移和旋转一、课标下复习指南(一) 平移变换1 平移的概念平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形变换称为平移.注：平移变换的两个要素：移动的方向和距离.2 平移的性质(1) 平移前后的图形全等；(2) 对应线段平行(或共线)且相等；(3) 对应点所连的线段平行(或共线)且相等.3. 平移变换的作图如图16- 1所示，将厶ABC平移至 A B' C ,那么有AA / BB ,且AA = BB ; BB' 与CC共线，且BB = CC .图 16- 1说明 我们可以根据平移的方向和距离作出平移后的图形；反之，可以根据平移前后的图形，得知平移的方向和距离.4

2、. 用坐标表示平移(1) 点(x, y)点(x + a, y)或(x a, y);(2) 点(x, y)( x, y + b)或(x, y b).(二) 轴对称变换1. 轴对称的概念把一个图形沿一条直线翻折过去， 如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这 条直线对称或轴对称.这条直线就是对称轴.两个图形中的对应点(即两图形重合时互相重合的点)叫做对称点.2. 轴对称的性质(1) 关于某条直线对称的两个图形全等；(2) 对称点所连的线段被对称轴垂直平分；(3) 对应线段所在直线假设相交，那么交点在对称轴上.3. 轴对称变换的作图如图16 2，假设 ABCM A' B ' C

3、关于直线I对称，那么有 ABCA A B' C' ; AA , BB , CC都被直线I垂直平分.图 16 2说明 我们可以根据对称轴作出一个图形的轴对称图形；反之，可以根据两个成轴对称关系的图形，得出对称轴.4. 轴对称图形如果把一个图形沿一条直线对折，对折的两局部能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线就是这个轴对称图形的对称轴.注：一个图形的对称轴可以有1条，也可以有多条.5. 轴对称与轴对称图形的区别与联系区别联系轴对称轴对称是假设把轴对称的两指两个图形的 对称关系个图形看成一个(整 体)图形，那么成为轴对 称图形；假设把轴对称图 形的互相对称的两个 局部看

4、成两个图形，那么 它们成轴对称轴对称 图形轴对称图 形是指具有某 种对称特性的 一个图形6. 用坐标表示轴对称点(x, y)关于x轴对称的点为(x, - y);点(x, y)关于y轴对称的点为(x, y);点(x, y)关于直线y = x对称的点为(y, x);点(x, y)关于直线y = x对称的点为(一y, x);*点(x, y)关于直线x= m对称的点为(2m- x, y)；*点(x, y)关于直线y= n对称的点为(x, 2n y).(三) 旋转变换1. 旋转的概念在平面内，将一个图形绕一个定点 0沿某个方向(逆时针或顺时针)转动一定的角度，这 样的图形变换叫做旋转.这个定点0叫做旋转

5、中心，转动的角称为旋转角.注：旋转变换的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角.2. 旋转的性质(1) 旋转前后的图形全等；(2) 对应点到旋转中心的距离相等 (意味着：即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线 上)；(3) 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；*(4)对应线段所在直线的夹角等于旋转角.3. 旋转变换的作图(1) 明确旋转中心、旋转方向和旋转角，找出能确定原图形的关键点；(2) 将能确定原图形的关键点(多边形一般为每个顶点)与旋转中心连接，并将线段按要 求进行旋转，得到这些关键点的对应点；(3) 按原图形顶点的顺序顺次连接这些对应点，得到旋转后的图形. 说明根据旋转前后的图形可

6、以确定旋转中心、旋转方向和旋转角.*4 .旋转对称图形如果某图形绕着某一定点转动一定角度(小于360° )后能与自身重合，那么这种图形就叫做旋转对称图形.5. 中心对称把一个图形绕着某个定点旋转180°,如果它能和另一个图形重合，那么这两个图形关于这个定点对称或中心对称.这个定点叫做对称中心， 两个图形中对应点叫做关于对称中心的对称点.6. 中心对称的性质中心对称是一种特殊的旋转，因此它具有旋转的一切性质.另外，它还有自己特殊的性质：(1) 对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，即对称中心是两个对称点所 连线段的中点；(2) 对应线段平行或共线.7. 中心对称的作

7、图如图16- 3,假设厶ABCW A B C'关于点O中心对称，那么对称中心 O是线段AA、 BB、CC 共同的中点，且 AB/ A B', AB= A B', BC/ B' C , BC= B' C , CAI C A , CA= C A'.图 16- 3说明 我们可以根据对称中心作出一个图形的中心对称图形；反之，可以根据两个成中心对称关系的图形，得出对称中心.&中心对称图形一个图形绕着一个定点旋转 180°后能与自身重合，这种图形称为中心对称图形这个 定点叫做该图形的对称中心.*中心对称图形是一个特殊的旋转对称图形(旋转角等

8、于180°).9中心对称与中心对称图形的区别与联系区别联系中心 对称中心对称 是指两个图形 的对称关系把中心对称的两个 图形看成一个(整体)图 形，那么称为中心对称图 形；把中心对称图形的 互相对称的两个局部看 成两个图形，那么它们成 中心对称中心对 称图形中心对称 图形是指具有 某种对称特性 的一个图形10.关于原点对称的点的坐标点(x, y)关于原点对称的点的坐标为 (一X, y).二、例题分析例1在平面直角坐标系中， Rt AOB勺两条直角边 OA OB分别在x轴的负半轴，y轴 的负半轴上，且 OA= 2, OB= 1将 AOB绕点O按顺时针方向旋转 90°,再把所得

9、的图形 沿x轴正方向平移1个单位长度，得到 CDO(1) 在坐标系中，分别画出 AOBFHA COD并写出点 A, C的坐标；(2) 求点A和点C之间的距离；(3) 求点A到点C所经过的路线的长度.解 所画出的厶AOBFHA COD如图16 4所示，点A的坐标是(2, 0)，点C的坐标 是(1 , 2).图 16 4(2) 连接AC在 Rt ACD中, AD= OAFOD= 3, CD= 2,AC CD2 AD213.90(3) 点A到点C所经过的路线的长度是n OA 1 n 1.180说明(1)正确画出图形经过几何变换后所得到的图形，是考查我们对概念的理解和空 间想象力的具体表达. 想一想，

10、 AOB能否先进行平移、 再经过旋转，得到 CDO如果可以， 请用准确的术语写出这个变换的过程 .(2)请注意第、(3)小题的区别.例2如图16 5,把矩形纸片 ABCD EF折叠，使点B落在AD边上的点B'处，点A落在点A'处，折痕分别交 AD BC于E, F.图 16 5求证：B' E= BF;(2)设AE= a, AB= b, BF= c,试猜测以a, b, c为边的三角形的形状，并给予证明. 分析 折叠过程表达了轴对称，由轴对称性质可知，B' F= BF, / BFE=Z B' FE而/BFE=Z B' EF,故有 B' E= B

11、' F= BF.解(1)证明：由题意，可得 B' F= BF,Z BFE=Z B' FE.在矩形 ABCD中, AD/ BC/ B EF=Z BFE=Z B' FE B' E= B' F= BF(2) 解：以 a, b, c 为边可以构成直角三角形.证明：如图16-6,连接BE贝U BE= B' E图 16 6由 (1) 知, B' E= BF= c, a2b2= AE2 AB2= BE2= c2.以 a, b, c 为边构成的三角形是直角三角形.例3 如图 16-7,某人有一块平行四边形的土地,地里有一个圆形池塘,此人立下遗 嘱

12、：要把这块土地平分给他的两个儿子,中间的池塘也要同时平分,但不知如何去做.你能 想个方法吗 ?图 16- 7分析 这个图形实际上是由两个中心对称图形组合而成, 要想将其面积平分, 只要找一 条直线,使其既能平分平行四边形的面积,又能平分圆的面积即可.解 连接平行四边形的两条对角线,其交点 A 就是平行四边形的中心,而圆的圆心 B 就是圆的中心，因此直线 AB就能将土地与池塘的面积同时平分了.说明 此题可以推广.(1) 由于经过中心对称图形的对称中心的直线都可以平分该图形的面积,所以只要地和 池塘都是中心对称图形,过两个对称中心的直线即可同时平分它们的面积.(2) 一些非中心对称的图形内部也存在

13、这样的点,使得过该点有无数条直线平分该图形 的面积.比方梯形,过梯形中位线的中点,且与梯形上、下两底均相交的直线均平分该梯形 的面积.请思考：如图 16-8,五边形ABCD中, AB/ CD AE/ BC你能找到多少条平分该 五边形的面积的直线呢 ?图 16- 8例4 ABC中, AB> AC AD ABC勺角平分线，P为线段AD上一点，分别连接 BP和CP试判断AB- AC和BP- CP的大小关系，并说明理由.分析 AB和AC不共线，BP和CP也不共线,即不是同一个三角形的两条边，要想构造 它们的差 可以尝试通过图形变换把它们集中到一条直线上(或集中到一个三角形的三边上)，从而得到线段

14、差(或便于利用三角形的三边关系 ).另外，中有“ AD ABC的角 平分线，因此可以利用角平分线的特点作轴对称变换.这样几个关键的线段就都集中了.解 如图16 9,在AB上截取AC = AC连接PC ,图 16- 9贝U有 AB- AC= AB- AC = BC ./ AD平分/ BAC/ C ' APZ CAP 又 AC = AC, AP= AP, APC APCSAS).C' P= CP 假设点P与A重合，那么BP= AB C P= CP= AC BP- CP= AB- AC 假设点P与A不重合，那么在 BC P中，BP C Pv BC .即BP- CP< AB- A

15、C = AB AC.综上所述，AB- AO BP CP例5 如图16 10, P是矩形内一点， PA= 3, PB= 4, PC= 5,求PD的长.图 16 10分析 如图16 10,考虑通过平移将四条线段 PA PB PC, PD集中到一起，构成一个 封闭图形(四边形).再考虑到题目中有垂直的条件， 在平移后保持不变， 于是可能运用勾股 定理求出PD的长.解 女口图16 11，分别过P, D作AD AP的平行线，交于点 P，那么四边形APP D为平 行四边形.图 16 11 PP / AD/ BC PP = AD= BC四边形PBCP为平行四边形. P' D= PA= 3, P

16、9; C= PB= 4.又 ADL CD PP / AD PP 丄 CD设PP与CD相交于点Q那么 P' C + PD= (P Q + QC +(qD+ QP) = P' D)+ PC解得 PD 3、.2.例6 Q是等边三角形 ABC内一点，Z AQB= 110°,Z BQ& 135。，试问：(1) 以QA QB QC为边能否构成一个三角形 ？假设能，求出该三角形各角的度数；假设不能， 请说明理由；(2) 如果Z AQB的大小保持不变，那么当Z BQC等于多少度时，以 QA QB QC为边的三 角形是一个直角三角形 ？分析 由于QA QB QC的长度直接不易求

17、，但角的信息比拟多(除了直接给的Z AQBZ BQC外 ,还有正 ABC的三个内角均为 60° ),故可以考虑将这三条线段通过旋转变换集 中到一起，便可直接得知它们能否拼接成一个三角形了比方，这里可以将AQE绕点B顺时针旋转60°,这样QA QB QC就集中为一个四边形的边了.解(1)如图1612 ,过点B作BP,使得Z QBP= 60°,在BP上截取BP= BQ连接QP CP图 16 12正 ABC中 , Z ABC= 60°,又Z QBP= 60° ,/ ABC-Z OBC=/ OBFZ OBC/ ABO=Z CBP又 AB= CB BO=

18、 BP ABO CBPSAS). PC= OA Z BPC=Z BOA 110° . OBF中，BO= BP, Z OBP= 60°, OBP为正三角形. OP= OB Z BOAZ BPQ 60 ° ,亦即在 OPC中，PC= OA OP= OB OC= OC以OA OB OC为边能构成一个三角形，且这样的三角形与OPC全等.在厶OPC中,Z POAZ BOZ BOA 135° 60°= 75°.Z OPAZ BPC-Z BPO= 110° 60°= 50°.Z OCA 180°Z POC-Z

19、 OPA 180° 75° 50°a 55°.(2) vZ AOBt小不变， Z BPC大小也不变，即总有Z OPA 50°. 假设 OPC中,Z POA 90°,那么Z BOAZ POQ-Z BOP= 90°+ 60 ° a 150 °. 假设 OPC中,Z OCA 90° ,那么Z POA 180° Z OPC-Z OCA 180° 50° 90°= 40°.此时Z BOAZ POC-Z BOP= 40°+ 60°= 10

20、0° .综上所述,当Z BOA 150°或100°时，由OA OB OC为边的三角形为直角三角形. 说明一个图形经过平移、轴对称、旋转变换后都与原图形全等，因此可以用这三种变 换来构造全等图形，从而“转移边、角、面积的条件，使图形中一些分散的边与角相对集 中，便于发现关系.1 2例7抛物线C： y (x 1)22，请分别写出满足以下条件的抛物线的解析2式：(1) 抛物线C关于y轴对称的抛物线： ;(2) 抛物线C关于x轴对称的抛物线： ;(3) 抛物线C关于原点对称的抛物线： ;(4) 抛物线C关于其顶点对称的抛物线： ;(5) 抛物线C沿y轴向上平移3个单位长度

21、所得的抛物线： ;(6) 抛物线C沿x轴向左平移3个单位长度所得的抛物线：分析解决这类问题的关键是根据变换的规律确定所得抛物线的顶点坐标和开口方向， 而抛物线的形状不变(即| a|不变).1解 抛物线C的顶点为(1 , 2)，开口向上，且a -2(1)抛物线C关于y轴对称的抛物线的顶点为(一12)，开口方向不变，a -,21故所得抛物线为y -(x 1)22.2此题也可理解为抛物线对称后，只有对称轴变为直线x = 1.1 2 y (x 1)22.21 2 y (x 1)22.21 抛物线C关于其顶点对称后，顶点不变，开口向下a21故所得抛物线为y-i(x 1)2 2.21 2(5) 平移后抛物

22、线的顶点为(1 , 1)，方向、形状不变所得抛物线为y (x 1)1.1 2(6) 平移后抛物线的顶点为(一2, 2)，所得抛物线为 y (X 2)22.2例8如图16 13,在平面直角坐标系中有四个点A 6, 3), B( 2, 5) , C(0 , m),D(n, 0)，当四边形 ABCD勺周长最短时，求 m n的值.图 16 13分析 此题等价于：在平面直角坐标系中， A, B两点的坐标，在 x轴，y轴上各 求一点D, C,使得四边形 ABCD勺周长最小由于 A, B两点的位置确定，分别可作 A, B两 点关于x轴，y轴的对称点A', B',那么线段 A B'与x

23、轴，y轴的交点为所求作的点 D, C.解 如图1614,作点A关于x轴的对称点A' ( 6, 3)，点B关于y轴的对称点B' (2 , 5)，那么有 C內 BO AD= C內 B' C+ DA 图 16 14 当点C, D在直线A' B'上时，BO C內AD最小. 设直线A' B'的解析式为y= kx+ b,依题意得36kb,52k b.解得k 1,b 3.直线A' B'的解析式为y= x+ 3令 x = 0,得 y = 3;令 y= 0，得 x= 3. m= 3, n= 3.说明(1)此题利用轴对称把四边形周长最短问题转

24、化为两定点间折线段最短问题，从 而可利用“两点之间，线段最短来解决；(2)求几何中的最值问题是一类常见的题目，而对称点法是解决这类问题的一个非常有效的方法.三、课标下新题展示例92021河北在图16 15至图16- 17中，点B是线段 AC的中点，点 D是线段 CE的中点，四边形 BCG和CDH都是正方形，AE的中点是 M1如图16 15,点E在AC的延长线上，点 N与点G重合时，点 M与点C重合，图 16 15求证：FM= MH FML MH2将图16 15中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图16 16,求证： FMH是等腰直角三角形.图 16 16解1证明：四边形 BCG和CDH都是正

25、方形， 又点N与点G重合，点M与点C重合， FB= BM= MG= MD- DH/ FBIM=Z MDH= 90°. FBM2A MDH FM= MH/ FMB=Z DM-45°,/ FMH= 90°. FMLHM证明：连接 MB MD如图16 17,设FM与 AC交于点P.图 16 17 B, D, M分别是AC CE AE的中点， MD/ BC 且 M* BC= BF, MB/ CD且 MB= CD- DH四边形BCDM是平行四边形且/ APM=Z FMD / CBIWZ CDM又/ FBP=Z HDCFBM=Z MDH FBMP MDH FM= MH 且/

26、MFB=Z HMD/ FMH=Z FMZ HMBZ APIZ MFB=Z FBP= 90°. FMH是等腰直角三角形.例10 2021太原【问题解决】如图16 18 ,将正方形纸片 ABC折叠,使点B落在CE 1AMCD边上一点 日不与点C, D重合，压平后得到折痕 MN当时C -,求的值.CD 2BN方法指导:为了求得 迥 的值，可先求BN AM的长，BN不妨设AA 2.【类比归纳】CE1amCE1am在图1618中，假设1，那么如的值等于；假设竺丄，那么如的值等CD3BNCD4BNCF1AM于;假设 n为整数，那么的值等于用含n的式子表示.CDnBN图 16- 18【联系拓广】如

27、图16- 19,将矩形纸片ABC断叠，使点B落在CC边上一点E不与点C, D重合，压平后得到折痕ABMN设1(m1),些1贝1的值等于用含m nBCmCDnBN的式子表示图 16- 19解 【问题解决】方法一：如图16-20,连接BM EM BE图 16-20由题设，得四边形 ABNM和四边形FENM于直线 MN寸称. MN垂直平分BE BM= EM BN= EN四边形ABCD是正方形，/ 心/ DZ C- 90° ,AB= BC= C* DA= 2.CE 1,CE DE 1.CD 2设 BN= x，贝U NE= x, NO 2-x.在 Rt CNE中, NE= CN+ CE, x2

28、 = (2 x)2 + 12.解得 x 5,45即BN 54在 Rt ABM和在 Rt DEM中,aM+ aB = bM, dM+ dE= mE. aM+ aB= dM+ dE.1同理，可得AM -4AM 1BN 55方法二：同方法一，BN 4如图16-21，过点N做NG/ CD交AD于点G 连接BE图 16-21 / AD/ BC四边形GDCNI平行四边形. NGf CD= BC.同理，四边形 ABNC也是平行四边形.G A 得H7 二理同法方与/ MNLBEEBOZ BNIW 90°/ NGL BC Z MNG Z BNM 90 °.Z EBC=Z MNG又tZ C=Z

29、 NGM 90°, BCE NGM EC= MG5AMAGMGAMBN【联系拓广】29(n1)23517'n2122nm2n1【类比归纳】n2 m21四、课标考试达标题(-)选择题1.以下标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为()2 .在平面直角坐标系中，点(2,4)绕点(1 , 1)顺时针旋转90°后，所得的点的坐标为().A. ( 2, 2)B. (4 , 1)C. (3 , 1)D. (4 , 0)3 .两条互不平行的线段 AB A B'关于直线I对称，AB A B'所在的直线交于点 P,下面四个结论： AB= A B'点P在直线l

30、上；假设A, A是对称点，那么直线l垂 直平分线段AA ;假设B, B'是对称点，那么 PB PB 其中正确的选项是().A.B.C.D.4 .Z A0& 30 °，点P在Z AOB部，P与P关于0B对称，R与P关于0A寸称，那么ZPQP等于().A. 45°B. 50°C. 60°D. 70°5. 如图16 22,将边长为8cm的正方形纸片 ABC折叠，使点D落在BC边中点E处，点A 落在点F处，折痕为MN那么线段CN的长是().图 16 22A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm6. 如图16 23,两个全等的正六

31、边形 ABCDEFPQRST,其中点P位于正六边形 ABCDE的 中心.如果它们的面积均为3，那么阴影局部的面积是().图 16 23A.B. 1C. 2D. 3(二) 填空题7. 假设点M关于x轴对称的点的坐标为(3 , - 9)，那么点M关于y轴对称的点的坐标为 . &如图16-24, P是正 ABC内的一点，假设将 PAB绕点A逆时针旋转到 P' AC贝U/ PAP的度数为 .图 16-249如图16-25,半圆A和半圆B均与y轴相切于点Q其直径CD EF均和x轴垂直，以O 为顶点的两条抛物线分别经过点C, E和点D F,那么图中阴影局部的面积是 .图 16-2510如图16-26，正方形纸片 ABCD M N分别是AD BC的中点，把BC边向上翻折， 使点C恰好落在MN上的P点处，折痕交 CD于 Q那么/ PBQ=° .图 16-2611.如图 16-27,五边形 ABCD中，/ ABC=Z AED= 90°，假设 AB= CD= AE= BO DE= 20,那么五边形AB