函数的连续性67378PPT课件

1、1.1.定义定义2.9).)()(,)(;()(),()(;)(,)(, )()(lim,)(0000000上的连续函数上的连续函数是是又称为又称为上连续上连续在在则称则称中每一点都连续中每一点都连续在在若若为间断点）为间断点）又称又称的一个不连续点的一个不连续点称为称为这时这时称为间断称为间断又又点不连续点不连续在在否则称否则称的一个连续点的一个连续点称为称为点连续点连续在在则称则称若若的定义域为的定义域为设函数设函数DxfDxfDxfxfxxxfxfxxxfxfxfDxDxfyxx 处连续的三要素：处连续的三要素：在点在点0)(xxf处处有有定定义义；在在点点0)()1(xxf)()(li

2、m)3(00 xfxfxx 存在；存在；)(lim)2(0 xfxx第1页/共25页?)1()(lim1fxfx 2)3(lim)(lim11 xxfxx231)1(f处连续。处连续。在在于是由定义知，于是由定义知，1)( xxf).1(2)(lim1fxfx 由此可知，由此可知，处的连续性。处的连续性。和和在在讨论讨论010, 20, 3)( xxxxxxxf例例解解处有处有在在1 x处呢？处呢？在在0 x )3(lim)(lim00 xxfxx)0(2)2(lim)(lim00fxxfxx 右连续右连续不左连续不左连续处不连续。处不连续。在在0)( xxf)0(3f 第2页/共25页性质性

3、质2.14.)()(00点点既既左左连连续续又又右右连连续续在在点点连连续续在在xxfxxf定理定理2.3 基本初等函数在其基本初等函数在其定义域定义域内处处连续内处处连续, ,初等函初等函数在其数在其定义区间定义区间（含在定义域内的最大区间（含在定义域内的最大区间) )内处处连内处处连续，其中区间端点处的连续性是指相应的单侧连续性续，其中区间端点处的连续性是指相应的单侧连续性. .2.基本初等函数与初等函数的连续性基本初等函数与初等函数的连续性定义定义2.10.)(),()(lim000点右连续点右连续在在则称则称若若xxfxfxfxx .)(),()(lim000点左连续点左连续在在则称则

4、称若若xxfxfxfxx 。是一条连续不断的曲线是一条连续不断的曲线区间上的连续函数图形区间上的连续函数图形.)(只可能在分段点处只可能在分段点处间断点间断点分段函数的不连续点分段函数的不连续点,baC第3页/共25页3.函数的间断点函数的间断点处不连续，处不连续，在点在点若函数若函数0)(:xxfDef。间断点间断点的的为为则称则称)(0 xfx第一类间断点第一类间断点:第二类间断点第二类间断点:称称0 x为为可去间断点可去间断点 .若若, )(lim)(lim00 xfxfxxxx 及及中至少一个不存在中至少一个不存在 .)(lim0 xfxx )(lim0 xfxx 及及均存在均存在 ,

5、)(lim0 xfxx )(lim0 xfxx )(0 xf且且不不全全等等于于称称0 x为为跳跃间断点跳跃间断点 .若若, )(lim)(lim00 xfxfxxxx .)()(lim)(lim000点的跳跃度点的跳跃度在在称为称为且且xxfxfxfxxxx 第4页/共25页2)(lim1 xfx),1(f oxy1122)1(lim)(lim11xxfxx, 22lim)(lim11xxfxx, 1)1(f.1, 2)1(为连续点为连续点则则改改 xf解解.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxf例例.0可去间断点可去间断点为函数的为函

6、数的 x可去间断点可去间断点第5页/共25页注处处的的连连续续性性。在在讨讨论论函函数数01sin xxxy例例.0,01sin是是该该函函数数的的间间断断点点所所以以处处没没有有定定义义在在因因为为 xxxxy xxx1sinlim0而而.0可可去去间间断断点点为为该该函函数数的的所所以以 x, 00 yx时，时，如果补充当如果补充当解解则可使其变为连续点。则可使其变为连续点。定义，定义，补充间断点处函数值的补充间断点处函数值的可去间断点只要改变或可去间断点只要改变或的连续点。的连续点。为为则则)(0 xfx 0001sin)(xxxxxf)( , 0 无穷小乘有界变量无穷小乘有界变量第6页

7、/共25页跳跃间断点跳跃间断点, 0)(lim)(lim00 xxfxx, 1)1(lim)(lim00 xxfxx),(lim)(lim00 xfxfxx oxy, 0)0(f.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf例例解解.0跳跳跃跃间间断断点点为为函函数数的的 x.1跳跳跃跃度度为为返回返回第7页/共25页, 0lim)(lim00 xxfxx,1lim)(lim00 xxfxxoxy, 0)0(f.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf第二类间断点第二类间断点例例解解.0为函数的第二类间断点x无穷间断点无

8、穷间断点第8页/共25页xy1sin ,0处处没没有有定定义义在在 x.0为为非非无无穷穷第第二二类类间间断断点点 x.01sin)(处的连续性处的连续性在在例、讨论函数例、讨论函数 xxxf不存在并不为无穷大，不存在并不为无穷大，且且xx1sinlim0解解第9页/共25页例例.11lim)(22点的跳跃度点的跳跃度在在求求 xxxxfnnn, 1)(lim, 0)(lim11 xfxfxx由此可知由此可知解解因此因此 1,1,110lim2xxxxnn，由于由于 1,11,2110)(xxxxf，.11)(点的跳跃度为点的跳跃度为在在 xxf第10页/共25页例例.,.)(2, 12110

9、,110,1)(2判别类型判别类型若有间断点若有间断点的连续性的连续性在其定义域内在其定义域内讨论讨论设设xfxxxxxxxxf 解解, ), 2(2 , 1()1 , 0)0 ,()()1(的定义域为的定义域为xf,)(), 2(),2 , 1(),1 , 0(),0 ,()2(都是初等函数都是初等函数中中且在且在xf.2, 1, 0)(321处处的间断点只可能在的间断点只可能在因而因而 xxxxf120 xx且且.)(续续在在这这些些区区间间中中都都处处处处连连故故xf第11页/共25页xxfxx1lim)(lim00 由于由于, 211lim)(lim211 xxxfxx;)(01的第二

10、类间断点的第二类间断点是是因此因此xfx 11lim)(lim222 xxxfxx;)(12的可去间断点的可去间断点是是因此因此xfx ,12处无定义处无定义在在 x)12(lim)(lim22 xxfxx, 3)2( f.)(23的连续点的连续点是是因此因此xfx , 3 , 3 , .1 , 0), 1()1 , 0()0 ,()(均为间断点均为间断点上连续，上连续，在在故故 xxf:0)3(处处在在 x:2处处在在 x:1处处在在 x1)0( f第12页/共25页结论：在讨论分段函数连续性时，先利用初等函数的连结论：在讨论分段函数连续性时，先利用初等函数的连续性，分段说明函数在各分段子区

11、间内的连续性。但在续性，分段说明函数在各分段子区间内的连续性。但在分段点处的连续性，要按在一点连续性定义专门讨论。分段点处的连续性，要按在一点连续性定义专门讨论。-11 111)(),(.2xbxxxaxxfba内内连连续续：，使使函函数数在在其其定定义义域域和和求求常常数数例例解解: :内连续。内连续。在在函数连续性可知函数连续性可知等等段均为初等函数，由初段均为初等函数，由初为分段函数，而每一小为分段函数，而每一小), 1()1,()1 , 1()()()1( xfxf处也连续。处也连续。和和内连续，只要在分段点内连续，只要在分段点要在整个定义域要在整个定义域11),()2( xx第13页

12、/共25页bbxxx)(lim2)1()(lim)1(xfx1)1(lim)1(aaxx)(lim)1(xfx1)1(afbbxxxfxx 2)(lim)(lim2111)1(lim)(lim11aaxxfxx又又1)1( af 12111)(ababxxxf处连续，只要处连续，只要和和在在于是要使于是要使内内连连续续。在在定定义义域域时时，于于是是当当),()(0, 1 xfba0, 1 ba:1处处在在 x:1处处在在 x第14页/共25页指出函数的间断点及其类型方法：指出函数的间断点及其类型方法：函函数数中中的的分分段段点点。无无定定义义的的点点；或或者者分分段段一一般般为为使使得得、找

13、找出出可可能能的的间间断断点点：)()1(xf。、再再判判断断间间断断点点的的类类型型)2(。的的间间断断点点，并并指指出出类类型型指指出出函函数数例例)1(1)(.3 xxexfx处函数无意义，处函数无意义，和和10 xx都为间断点。都为间断点。和和10 xx )1(1lim30 xxexx3)1(3lim0 xx为可去间断点。为可去间断点。0 x)1(3lim0 xxxx )1(1lim31xxexx为无穷间断点。为无穷间断点。1 x解解: :第15页/共25页性质性质2.15. 0)()(, 0)(,)(0000 xfxOxxfxxf内内的某一小邻域的某一小邻域在在则则且且点连续点连续在

14、在若若 性质性质2.16.)0)()()(),()(),()(),()(,)(),(000点连续点连续在在为常数为常数那么那么点连续点连续在在若若xxgxgxfxgxfxgxfCxCfxxgxf ),()(lim)(000 xfxfxxfxx 处连续就是极限关系：处连续就是极限关系：在在由于由于推论推论.,) , 0)()()(),()(),()()(,)(),(0上连续上连续在在，上连续，则上连续，则在在设设babaxxgxgxfxgxfxgxfxCfbaxgxf 4.函数连续的有关性质函数连续的有关性质第16页/共25页性质性质2.17)()(lim,)(lim,)(AfxgfAxgAxx

15、fXxXx 则则点连续点连续在在若若点连续，点连续，在在点连续点连续在在特别是若特别是若)(A)(,)(00 xgxfxxg 函数在一点连续，则极限运算和函数运算可以交换。函数在一点连续，则极限运算和函数运算可以交换。)()(limAfxfAx 已知已知yxgXxxgf )()(lim令令)(limyfAy)(Af )(limxgfXx )()(lim)(000 xfxfxxfxx 连续：连续：在在函数函数).lim(0 xfxx )()(lim()(lim000 xgfxgfxgfxxxx 则则第17页/共25页内内处处处处连连续续在在),(e)( xxf xxxxxx11lnlime11l

16、im1e e. 例例.11limxxx 利用函数连续性求极限利用函数连续性求极限解解, 01lim xx由于由于 xxx11lnlimxxx1lim 1 xxxxxx11lnelim11lim),(111ln xxx因此因此ennn 11lim（幂指函数）（幂指函数） xxx11lnlime型型 1 exxx 101lim第18页/共25页例例 .) 1sin(1lim)3(;2321lim)2(;)21 (lim) 1 (11110 xxxxxxxxxxx 求求下下列列函函数数的的极极限限：解解xxx10)21(lim)1( xxxx 111)1sin(1lim)3()21ln(10elim

17、xxx )21ln(1lim0exxx .e2 xxxx 2321lim)2(xxxx2321lnelim 12321limexxxxe. )1sin(1ln()11(1elim xxxx.e1 )2(1lim0exxx xxxx2321lnlime )1sin(1ln()11(lim1e xxxx型型 1（幂指函数）（幂指函数）)1sin()(11(lim21e xxxxx)1()(11(lim21e xxxxx)1(lim21exxx 第19页/共25页性质性质2.18.)(lim,)(limAnfAxfnx 则则若若例例.1211limnnn 求极限求极限解解 1211lnelim121

18、1limxxxxxx由于由于 1211lnlimxxxnnn 1211lim因此由性质因此由性质2.18 可得可得 121limxxx,21 .e21 限。限。利用函数极限求数列极利用函数极限求数列极 1211lnlimexxx型型 1第20页/共25页例例 连续复利问题：连续复利问题：. )1(00010rArAAArA 为为，则一年后的本息之和，则一年后的本息之和是本金，年利率为是本金，年利率为设设则以一年末的本利和为则以一年末的本利和为金金本利和作为后一期的本本利和作为后一期的本且前一期的且前一期的每期利率为每期利率为如果一年分两期计息，如果一年分两期计息，,21r)211(02rAA 200)211(21)211(rArrA .nrn次，则每次利率为次，则每次利率为假设一年计息假设一年计息,10nnnrAA 一年后的本息之和为一年后的本息之和为第21页/共25页,e)(,00rArArA 一年后的本息之和为一年后的本息之和为则则年利率为年利