函数的连续性(3)PPT课件

1、一、函数的增量一、函数的增量,0 xxx有函数的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 对自变量的增量第1页/共34页可见 , 函数)(xf在点0 x二、二、 函数连续的两个定函数连续的两个定义义定义:)(xfy 在0 x的某邻域内有定义 , , )()(lim00 xfxfxx则称函数.)(0连续在xxf(1) )(xf在点0 x即)(0 xf(2) 极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx设函数连续必须具备下列条件:存在 ;且有定义 ,存在 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/

2、共34页定义2)(xfy 0 x,0 xxx设函数在的某邻域内有定义 ,如果当自变量的增量 趋近于零，对应的的函数的增量 也趋近于零，即 y,0)()(lim000limxfxxfyxx则称函数在点x0处连续。第3页/共34页continue)()(lim, ),(000 xPxPxxx若)(xf在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . ,baC例如,nnxaxaaxP10)(在),(上连续 .( 有理整函数 )又如, 有理分式函数)()()(xQxPxR在其定义域内连续.在闭区间,ba上的连续函数的集合记作只要,0)(0 xQ都有)()(lim00

3、 xRxRxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共34页例例. 证明函数证明函数xysin在),(内连续 .证: ),(xxxxysin)sin()cos(sin222xxx)cos(sin222xxxy122 xx0 x即0lim0yx这说明xysin在),(内连续 .同样可证: 函数xycos在),(内连续 .0机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共34页在在三、三、 函数的间断点函数的间断点(1) 函数)(xf0 x(2) 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在 ,但)()(lim00 xfxfxx 不连续

4、:0 x设0 x在点)(xf的某去心邻域内有定义 ,则下列情形这样的点0 x之一函数 f (x) 在点虽有定义 , 但虽有定义 , 且称为间断点 . 在无定义 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共34页间断点分类间断点分类: :第一类间断点:)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf若称0 x, )()(00 xfxf若称0 x第二类间断点:)(0 xf及)(0 xf中至少一个不存在 ,称0 x若其中有一个为振荡 ,称0 x若其中有一个为,为可去间断点 .为跳跃间断点 .为无穷间断点 .为振荡间断点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共34页xytan

5、) 1 (2x为其无穷间断点 .0 x为其振荡间断点 .xy1sin) 2(1x为可去间断点 .11)3(2xxyxoy1例如例如:xytan2xyoxyxy1sin0机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共34页1) 1 (1)(lim1fxfx显然1x为其可去间断点 .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x为其跳跃间断点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共34页备用题备用题 确定函数确定函数间断点的类型.xxexf111)(解: 间断点1,0 xx)(lim0 xfx,0 x为

6、无穷间断点;,1 时当x xx1,0)(xf,1 时当x xx1,1)(xf故1x为跳跃间断点. ,1,0处在x.)(连续xf机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共34页1、连续函数的运算法则 四、初等函数的连续性四、初等函数的连续性2、初等函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共34页定理2. 连续单调递增 函数的反函数xx cot,tan在其定义域内连续1、连续函数的运算法、连续函数的运算法则则定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明)连续xx cos,sin商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续

7、的函数 .例如,例如,xysin在,22上连续单调递增，其反函数xyarcsin(递减).(证明略)在 1 , 1 上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共34页定理定理3. 连续函数的复合函数是连续连续函数的复合函数是连续的的.xey 在),(上连续 单调 递增,其反函数xyln在),0(上也连续单调递增.证: 设函数)(xu,0连续在点 x.)(00ux,)(0连续在点函数uxfy . )()(lim00ufufuu于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故复合函数)(xf.0连续在点 x又如, 且即机动 目录 上

8、页 下页 返回 结束 第13页/共34页例如例如,xy1sin是由连续函数链),(,sinuuy,1xu *Rx因此xy1sin在*Rx上连续 .复合而成 ,xyoxy1sin机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共34页例例1 .设)()(xgxf与均在,ba上连续,证明函数)(, )(max)(xgxfx 也在,ba上连续.证:21)(x)()(xgxf)()(xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根据连续函数运算法则 ,可知)(, )(xx也在,ba上连续 .)(, )(min)(xgxfx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共34页2、初等函数的连续性、

9、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如,21xy的连续区间为1, 1(端点为单侧连续)xysinln的连续区间为Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定义域为Znnx,2因此它无连续点而机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共34页例例2. 求求.)1 (loglim0 xxax解:原式xxax1)1 (loglim0ealogaln1例3. 求.1lim0 xaxx解: 令, 1xat则, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln说明: 当, ea 时, 有0 x)1ln(x

10、1xexx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共34页例例4. 求求.)21 (limsin30 xxx解:原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36e说明: 若,0)(lim0 xuxx则有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 x2第18页/共34页1,41,)(xxxxx例例5. 设设,1,21,)(2xxxxxf解:讨论复合函数)(xf的连续性 . )(xf1,2xx1,2xx故此时连续;而)(lim1xfx21lim xx1)(lim1x

11、fx)2(lim1xx3故 )(xfx = 1为第一类间断点 .1)(),(2xx1)(, )(2xx,)(1为初等函数时xfx在点 x = 1 不连续 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共34页五、闭区间上连续函数的性质五、闭区间上连续函数的性质 1、最值定理 2、介值定理 *3、一致连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共34页注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .一一、最值定、最值定理理定理1.1.在闭区间上连续的函数即: 设, ,)(baCxfxoyab)(xfy 12则, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值

12、和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共34页例如,)1,0(,xxy无最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也无最大值和最小值 又如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共34页,)(baxf在因此bxoya)(xfy 12mM推论推论. 由定理 1 可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故证: 设, ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .二、介值定理定理2. ( 零点定理 ), ,)(baCxf至少有一点, ),(ba且使xyo

13、ab)(xfy .0)(f0)()(bfaf机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 证明略 )在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 第23页/共34页定理定理3. ( 介值定介值定理理 )设 , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点, ),(ba证: 作辅助函数Cxfx)()(则,)(baCx 且)()(ba)(CBCA0故由零点定理知, 至少有一点, ),(ba使,0)(即.)(Cf推论:Abxoya)(xfy BC使.)(Cf至少有在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共

14、34页例例1. 证明方证明方程程01423 xx一个根 .证: 显然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故据零点定理, 至少存在一点, ) 1 ,0(使,0)(f即01423说明:,21x,0)(8121f内必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中点,43x,0)(43f内必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根.二分法4321x01在区间)1 ,0(的中点取1 ,0内至少有机动 目录 上页 下页 返回 结束 则则第25页/共34页0)()()(212xfxff上连续 , 且恒为正 ,例例2. 设设)(xf在,ba对任意的, ),(,2121xxb

15、axx必存在一点证:, ,21xx使. )()()(21xfxff令)()()()(212xfxfxfxF, 则,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使,)()(21时当xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零点定理知 , 存在, ),(21xx,0)(F即. )()()(21xfxff当)()(21xfxf时,取1x或2x, 则有)()()(21xfxff证明:小结 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共34页例如例如,xxf1)(, 1,0(C但不一致连续 .因为, )

16、10(0取点, )N(,11211nxxnn则 21xx 111nn) 1(1nn可以任意小但)()(21xfxf) 1( nn1这说明xxf1)(在 ( 0 , 1 上不一致连续 .定理., ,)(baCxf若,)(baxf在则上一致连续.(证明略)思考: P73 题 6提示:设)(, )(bfaf存在,作辅助函数)(xFaxaf, )(bxaxf, )(bxbf, )(,)(baCxF显然机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页/共34页 内容小结内容小结基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明: 分

17、段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页/共34页)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续右连续)(. 2xf0 x第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型)(. 1xf0 x在点连续的等价形式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第29页/共34页则设, ,)(.3baCxf在)(. 1xf上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4. 当0)()(bfaf时, ),(ba使. 0)(f必存在,ba上有界;在)(. 2xf,ba在)(. 3xf,ba机动 目录 上页 下页 返回 结束 第30页/共34页思考与练习思考与练习1. 讨论函数231)(22xxxxfx = 2 是第二类无穷间断点 .间断点的类型.2. 设0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a时提示:,0)0(f)0(f)0(fa0)(xf为连续函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,第31页/共34页,)(. 30连续在点