金融工程与数学模型

1、金融工程与数学模型金融工程是20世纪80年代出现的一门工程型的新兴学科，其产生发展的直接原因是20世纪70年代开始的全球金融市场汇率及利率的频繁波动。随之而来的经济全球化和金融全球化不仅给市场参与者带来了获取潜在收益的机会，同时也带来了较高的风险管理的要求。为了回避与防范市场风险乃至信用风险，金融家们创造并应用了诸多金融工具(如远期合约、金融期货、金融期权、互换等)，金融工程应运而生，并在不到三十年的时间里得到迅速发展和完善。关于金融工程的定义，普遍为大家所接受的是由约翰·芬尼迪提出的，他认为“金融工程学包含创新性金融工具及金融手段的设计、开发和实施，以及对金融问题的创造性地解决.”

2、具体说来，金融工程将工程思维引入金融领域，综合的采用各种工程技术方法(数学建模、数值计算、仿真模拟等)设计、开发和实用新型的金融产品，将现在的金融结构进行重组以获得人们所希望的结果。由于金融工程的产生和发展都是以管理金融风险为目的，因此国内有学者认为“金融工程其核心是风险管理的工程化和系统化”。面对风险，金融工程有两个选择，第一个选择是用确定性来代替风险，这就意味着既防范不利结果的出现，同时也消除有利结果出现的可能性，主要表现为运用远期、期货、互换等产品。所有这些工具都能确保使用者获得既定的金融结果。当然，这属于消除风险的范畴。例如，有一家美国公司，在3个月内将支付一笔日元，它就可以以固定的价

3、格现在购买一笔未来3个月内交割的日元，这笔远期交易就将可能的货币风险避免了。不论在3个月内汇率如何变化，该公司已经以己知的固定价格购买了日元，从而不会受到3个月后的市场汇率高低的影响。另一种方法是消除不利风险，同时保留了有利的获利机会，主要表现为运用期权及其相关产品。这里所谓的“消除不利风险”也不是绝对地从根源上消除了风险，而是将风险转移给交易的另一方，这属于风险转移的范畴。例如，期权则可以替换掉于己不利的风险，同时保留获利的机会。从理论来源上讲，金融工程是以现代科学理论特别是系统工程理论为指导，以现代管理方法为手段的一门自然科学与社会科学交叉融合的新兴学科。它吸收了经济学、金融学和投资学的基

4、本原理，又引进了运筹学、物理学、遗传学、工程学等多门学科的精华和必要的会计、税务知识。因此，从事金融工程研究的人员多是经济学家、数学家、物理学家、计算机专家、他们被业内称之为“火箭科学家”，而一般的研究开发人员则被称为“金融工程师”。但真正作为金融工程理论基础的还是经济学和金融学的基本原理及各种理论学说。由于金融工程最终是通过识辨和利用金融机会来创造价值的，因此，有关价值的来源、价格的确定以及金融市场特性的理论研究构成了金融工程的核心基础理论。它主要包括:估价理论、证券组合理论、资本资产定价理论、套期保值理论、期权定价理论、代理理论、期货市场创新理论等。伴随金融市场国际化相交易与监管的全球化进

5、程，汇率决定理沦、利率理论、利息平价理论等也构成了金融工程的基本理论.对于这些理论的新发展.金融工程师应及时了解和掌握，以使自始至终地处于专门领域的理论前沿，并利用这些前沿理论创造性地开发新产品，解决金融实际问题。金融工程学需要对具体的金融问题提供创造性的结构化解决方案，实际上也就是为具体问题提供一个最优或可行解，这就需要建立一些复杂的数学模型并提供精确快速的计算方法。从目前发展的趋势来看，金融工程的理论与实务中已经使用到了现代数学大部分分支的内容与方法。在说收益和风险规避中数学模型发挥了重要作用。如一单个资产的收益和风险1期望收益(expected return)对于风险资产而言，其未来的收

6、益是一个随机变量。在不同的经济条件下，这个随机变量将取不同的值，而每一种经济条件的出现都有其概率。把资产收益的不同取值乘以不同经济条件出现的概率，就能够对该资产未来的收益做出估计。用公式表示为：式中，为该资产收益的第状态的取值；为资产收益取值的概率；为该资产的期望收益。2收益的方差(variance)在数学上，方差反映的是一个随机变量对于其数学期望的偏离程度。同时，由于我们把投资的风险定义为投资收益偏离预期收益的潜在可能性，因此我们可以用预期收益的方差来作为衡量风险的标准。用公式表示为：即：方差或者标准差的数值越大就表示投资收益偏离预期收益的幅度越大，也就意味着投资的风险越大。二投资组合的风险

7、与收益1投资组合的构成资产组合就是由几种资产构成的组合。投资者可以按照各种比率（或者称为比重或权重）将其财富分散投资于各种资产上，假设投资者选择投在种资产上的比重为、，则有如下限制条件：s. t. ,其中：=投资组合所包括的资产种类的数量=某种特定的资产=分配给第种资产的比重2投资组合的收益投资组合的收益率取决于两个因素：各种资产的类别；各种资产的投资比率。投资组合的期望收益率记作，其大小等于投资组合中各种资产的平均收益率与各自的投资比重的乘积之和，即：其中：=投资组合所包括的资产种类的数量=第种资产的期望收益率=分配给第种资产的比重3投资组合的风险按照方差的定义，投资组合的方差可以按照下面的

8、方法算出。即：三资产的相关关系和投资组合的风险规避1资产的相关关系(dependency relationship)随机向量的协方差(covariance)协方差的定义：设为二维随机向量，均存在，如果存在，则称其为随机变量与的协方差，记作，即：相关系数(coefficient of correlation)相关系数的定义为：设是一个二维随机向量，和的方差均存在，且均为正，则称为与之间的相关系数。用协方差形式表示的投资组合的风险如果将资产和资产之间的协方差记为，则投资组合的方差也可以表示为：进一步的投资组合的方差的公式也可以写成：用矩阵的形式表示的投资组合的风险：设有种证券其收益为 ，为随机变量

9、，以向量的形式可表示为：其数学期望和方差（协方差矩阵）分别为：设投资组合投资于第种证券的比例为 ,用向量表示就是：根据前面的假设，由于约束条件为，因此上式也可以写成下述向量的形式：某一投资组合的期望收益就是该组合中所有证券期望收益的加权平均。其数学表达式为：投资组合的方差为：2分散投资、资产相关性和风险的规避我们已知投资组合的方差可以表示为：当投资者对每种资产进行等额投资时，也就是，将其带入上式，则有：（1）如果将协方差的平均值记为：那么，可以把（1）式进一步简化为：（2）当资产组合充分多元化时，也就是时，对（2）式求极限可得（当然假设各证券收益的方差有界）；（3） 当资本市场上的资产不是处于

10、完全不相关状态时（这也是资本市场上的一般情况），不全成立，因而不一定成立。由此我们可以得出重要的结论：当投资组合中包含有很多风险资产时，对于整个组合的风险而言，个别资产的风险（）将不再起作用，而各资产之间的协方差虽然存在着正负相抵的可能，但并不能完全消除。 进一步，如果资产组合中的资产两两不相关，此时，投资组合的风险通过分散化投资可以完全消除。但是这种情况在现实生活中不可能出现，因为资本市场上的资产价格不可避免地会受到某个共同因素的影响，不可能表现为完全不相关的情况。 现在我们来考虑资本市场上的一般情况，即资产不是处于完全不相关时的情况。由（3）式我们知道充分的分散化能够消除资产组合的部分风险

11、，但不能消除组合的全部风险。可以消除的那部分风险称为非系统性风险(unsystematic risk)，也就是（2）中的第一项；不能够完全消除的那部分风险称为系统性风险(systematic risk)，也就是（2）式中的第二项。 非系统性风险是某一资产所特有的风险，它是影响特定资产收益的风险因素。例如，对于某一发行证券的企业而言，该企业新产品开发的失败或者应收账款产生呆账等都是只对该企业所发行证券有影响的非系统性风险。而系统风险则对市场上所有的资产都产生影响，如银行利率的下降或者通货膨胀率的上升都不可避免地会影响到整个市场。 试想一下，若有一名投资者构建了一个包括市场上所有资产的投资组合，而

12、且存在一个包括市场上所有资产的市场指数，那么投资者所要做的仅仅是让每种资产的投资比例等于计算市场指数时该资产的权重，就可以完全消除个别资产的非系统性风险。这名投资者所要承担的风险仅仅是指数的波动，也就是系统性风险。金融工程学作为一门新兴学科，在我国的金融市场中的运用越来越受到重视，已经成为学者或证券分析师分析金融市场行情的重要工具，但是，在运用数学模型分析金融问题时，我们仍需实际情况实际分析，不能简单的使用各类数学模型。名句赏析！不限主题不限抒情四季山水天气人物人生生活节日动物植物食物山有木兮木有枝，心悦君兮君不知。_佚名越人歌人生若只如初见，何事秋风悲画扇。_纳兰性德木兰词·拟古决

13、绝词柬友十年生死两茫茫，不思量，自难忘。_苏轼江城子·乙卯正月二十日夜记梦只愿君心似我心，定不负相思意。_李之仪卜算子·我住长江头玲珑骰子安红豆，入骨相思知不知。_温庭筠南歌子词二首 / 新添声杨柳枝词曾经沧海难为水，除却巫山不是云。_元稹离思五首·其四愿得一心人，白头不相离。_卓文君白头吟去年今日此门中，人面桃花相映红。_崔护题都城南庄平生不会相思，才会相思，便害相思。_徐再思折桂令·春情入我相思门，知我相思苦。_李白三五七言 / 秋风词山无陵，江水为竭。冬雷震震，夏雨雪。天地合，乃敢与君绝。_佚名上邪人生自是有情痴，此恨不关风与月。_欧阳修玉楼春&#

14、183;尊前拟把归期说一往情深深几许？深山夕照深秋雨。_纳兰性德蝶恋花·出塞两情若是久长时，又岂在朝朝暮暮。_秦观鹊桥仙·纤云弄巧执子之手，与子偕老。_佚名击鼓花自飘零水自流。一种相思，两处闲愁。_李清照一剪梅·红藕香残玉簟秋问世间，情为何物，直教生死相许？_元好问摸鱼儿·雁丘词 / 迈陂塘一日不见兮，思之如狂。_司马相如凤求凰 / 琴歌人生如逆旅，我亦是行人。_苏轼临江仙·送钱穆父世间无限丹青手，一片伤心画不成。_高蟾金陵晚望林花谢了春红，太匆匆。无奈朝来寒雨，晚来风。_李煜相见欢·林花谢了春红独立寒秋，湘江北去，橘子洲头。_毛泽东

15、沁园春·长沙身无彩凤双飞翼，心有灵犀一点通。_李商隐无题·昨夜星辰昨夜风滚滚长江东逝水，浪花淘尽英雄。_杨慎临江仙·滚滚长江东逝水怕相思，已相思，轮到相思没处辞，眉间露一丝。_俞彦长相思·折花枝此情可待成追忆？只是当时已惘然。_李商隐锦瑟思悠悠，恨悠悠，恨到归时方始休。_白居易长相思·汴水流取次花丛懒回顾，半缘修道半缘君。_元稹离思五首·其四若是前生未有缘，待重结、来生愿。_乐婉卜算子·答施雨打梨花深闭门，忘了青春，误了青春。_唐寅一剪梅·雨打梨花深闭门少年不识愁滋味，爱上层楼。爱上层楼。为赋新词强说愁。_辛弃疾丑

16、奴儿·书博山道中壁自在飞花轻似梦，无边丝雨细如愁。_秦观浣溪沙·漠漠轻寒上小楼近水楼台先得月，向阳花木易为春。_苏麟断句一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来。_杜牧过华清宫绝句三首抽刀断水水更流，举杯消愁愁更愁。_李白宣州谢脁楼饯别校书叔云 / 陪侍御叔华登楼歌疏影横斜水清浅，暗香浮动月黄昏。_林逋山园小梅·其一人面不知何处去，桃花依旧笑春风。_崔护题都城南庄时光只解催人老，不信多情，长恨离亭，泪滴春衫酒易醒。_晏殊采桑子·时光只解催人老一生大笑能几回，斗酒相逢须醉倒。_岑参凉州馆中与诸判官夜集天涯地角有穷时，只有相思无尽处。_晏殊玉楼春·春恨问君能

17、有几多愁？恰似一江春水向东流。_李煜虞美人·春花秋月何时了似此星辰非昨夜，为谁风露立中宵。_黄景仁绮怀菩提本无树，明镜亦非台。_惠能菩提偈溪云初起日沉阁，山雨欲来风满楼。_许浑咸阳城东楼 / 咸阳城西楼晚眺 / 西门春风得意马蹄疾，一日看尽长安花。_孟郊登科后枯藤老树昏鸦，小桥流水人家，古道西风瘦马。_马致远天净沙·秋思空山新雨后，天气晚来秋。_王维山居秋暝人到情多情转薄，而今真个悔多情。_纳兰性德山花子·风絮飘残已化萍同是天涯沦落人，相逢何必曾相识！_马致远杂剧·江州司马青衫泪浮云一别后，流水十年间。_韦应物淮上喜会梁川故人 / 淮上喜会梁州故人 名句

18、赏析！不限主题不限抒情四季山水天气人物人生生活节日动物植物食物山有木兮木有枝，心悦君兮君不知。_佚名越人歌人生若只如初见，何事秋风悲画扇。_纳兰性德木兰词·拟古决绝词柬友十年生死两茫茫，不思量，自难忘。_苏轼江城子·乙卯正月二十日夜记梦只愿君心似我心，定不负相思意。_李之仪卜算子·我住长江头玲珑骰子安红豆，入骨相思知不知。_温庭筠南歌子词二首 / 新添声杨柳枝词曾经沧海难为水，除却巫山不是云。_元稹离思五首·其四愿得一心人，白头不相离。_卓文君白头吟去年今日此门中，人面桃花相映红。_崔护题都城南庄平生不会相思，才会相思，便害相思。_徐再思折桂令·

19、;春情入我相思门，知我相思苦。_李白三五七言 / 秋风词山无陵，江水为竭。冬雷震震，夏雨雪。天地合，乃敢与君绝。_佚名上邪人生自是有情痴，此恨不关风与月。_欧阳修玉楼春·尊前拟把归期说一往情深深几许？深山夕照深秋雨。_纳兰性德蝶恋花·出塞两情若是久长时，又岂在朝朝暮暮。_秦观鹊桥仙·纤云弄巧执子之手，与子偕老。_佚名击鼓花自飘零水自流。一种相思，两处闲愁。_李清照一剪梅·红藕香残玉簟秋问世间，情为何物，直教生死相许？_元好问摸鱼儿·雁丘词 / 迈陂塘一日不见兮，思之如狂。_司马相如凤求凰 / 琴歌人生如逆旅，我亦是行人。_苏轼临江仙·

20、送钱穆父世间无限丹青手，一片伤心画不成。_高蟾金陵晚望林花谢了春红，太匆匆。无奈朝来寒雨，晚来风。_李煜相见欢·林花谢了春红独立寒秋，湘江北去，橘子洲头。_毛泽东沁园春·长沙身无彩凤双飞翼，心有灵犀一点通。_李商隐无题·昨夜星辰昨夜风滚滚长江东逝水，浪花淘尽英雄。_杨慎临江仙·滚滚长江东逝水怕相思，已相思，轮到相思没处辞，眉间露一丝。_俞彦长相思·折花枝此情可待成追忆？只是当时已惘然。_李商隐锦瑟思悠悠，恨悠悠，恨到归时方始休。_白居易长相思·汴水流取次花丛懒回顾，半缘修道半缘君。_元稹离思五首·其四若是前生未有缘，待重结、

21、来生愿。_乐婉卜算子·答施雨打梨花深闭门，忘了青春，误了青春。_唐寅一剪梅·雨打梨花深闭门少年不识愁滋味，爱上层楼。爱上层楼。为赋新词强说愁。_辛弃疾丑奴儿·书博山道中壁自在飞花轻似梦，无边丝雨细如愁。_秦观浣溪沙·漠漠轻寒上小楼近水楼台先得月，向阳花木易为春。_苏麟断句一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来。_杜牧过华清宫绝句三首抽刀断水水更流，举杯消愁愁更愁。_李白宣州谢脁楼饯别校书叔云 / 陪侍御叔华登楼歌疏影横斜水清浅，暗香浮动月黄昏。_林逋山园小梅·其一人面不知何处去，桃花依旧笑春风。_崔护题都城南庄时光只解催人老，不信多情，长恨离亭，泪滴春衫酒易醒。_晏殊采桑子·时光只解催人老一生大笑能几回，斗酒相逢须醉倒。_岑参凉州馆中与诸判官夜集天涯地角有穷时，只有相思无尽处。_晏殊玉楼春·春恨问君能有几多愁？恰似一江春水向东流。_李煜虞美人·春花秋月何时了似此星辰非昨夜，为谁风露立中宵。_黄景仁绮怀菩提本无树，明镜亦非台。_惠能菩提偈溪云初起日沉阁，山雨欲来风满楼。_许浑咸阳城东楼 / 咸阳城西楼晚眺 / 西门春风得意马蹄疾，一日看尽长安花。_孟郊登科后枯藤老树昏鸦，小桥流水人家，古道西风瘦马。_马致远天净沙·秋思空山新雨后，天气晚来