八年级下册数学最北师大版第四章因式分解 第三节 公式法课件

1、1.1.把一个多项式化为几个把一个多项式化为几个 的的 的的形式形式, ,就是因式分解就是因式分解. .整式整式乘积乘积2、把下列各式分解因式。把下列各式分解因式。（1）4x3-6x2 （2） 2x3y3_2x2y2+3xy（3）-6m2n-15mn2+30m2n2 （4）6m(p-3)+12n(3-p)(baba)2)(2(xx22ba4.4.做一做做一做)(baba22ba 42x3.3.猜一猜猜一猜图图1a22ba)(baba 如图（如图（1 1），在边长为），在边长为a a的正方形中挖掉一个边长为的正方形中挖掉一个边长为b b的小正方形（的小正方形（a ab b），把余下部分剪拼成一个

2、矩形（如图），把余下部分剪拼成一个矩形（如图（2 2），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证一个等式。一个等式。图图2ab=由图可得：由图可得：b)(22bababa反过来得到22)(bababa把乘法公式： 也就是说，两个数的平方差，等于这两个两个数的平方差，等于这两个数的和与它们的差的积。数的和与它们的差的积。 利用这整式乘法与因式分解过程相反的关系，利用这整式乘法与因式分解过程相反的关系，我们把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项我们把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。式分解因式，这种方法叫运用公式法。)

3、(22bababa新知识点实例探究新知识点实例探究162x224 x)4)(4(xx)(22bababa2249yx22)()()23)(23(yxyx)(22bababa3x2y【例【例1 1 】把下列各式分解因式】把下列各式分解因式. .2251b22425yx 2201.094nm 2201.094nm22)()()1 .032)(1 .032(nmnmm32n1 . 0利用平方差公式把下列各式分解因式利用平方差公式把下列各式分解因式 口答口答42x21a29y224yx2294yx236m224925qp2291xa1362n221681.0ba判断判断)(22yxyxyx（ ） )4

4、)(4(422yxyxyx（ ） 学校搞美化工程，在一个边长为学校搞美化工程，在一个边长为米米的正方形广场的四的正方形广场的四角均留出一个边长为角均留出一个边长为米米的正方形修建花坛，其余地方种草的正方形修建花坛，其余地方种草坪。坪。（1 1）草坪的面积有多大）草坪的面积有多大? ?解：（解：（1 1）广场种草坪的面积为：）广场种草坪的面积为：当，时当，时224ba)2)(2(baba)25. 925 .118)(25. 925 .118(平方米ba生活实践生活实践生活实践生活实践 学校搞美化工程，在一个边长为学校搞美化工程，在一个边长为米米的正方形广场的四的正方形广

5、场的四角均留出一个边长为角均留出一个边长为米米的正方形修建花坛，其余地方种草的正方形修建花坛，其余地方种草坪。坪。（2 2）如果草坪每平方米需）如果草坪每平方米需5 5元，那么给这个广场种草元，那么给这个广场种草坪，至少投资多少钱？坪，至少投资多少钱？（2）)(68500137005元答：答： （1 1）草坪的面积是草坪的面积是1370013700平方米；平方米； （2 2）至少投资）至少投资6850068500元。元。ba 如图，在半径为如图，在半径为R R的圆形钢板上，冲去半径为的圆形钢板上，冲去半径为r r的四的四个小圆，利用因式分解计算当，时，剩余部分的面积。个小圆，利用因式分解计算当

6、，时，剩余部分的面积。（取取，结果保留三位有效数字，结果保留三位有效数字 ）解：解： 剩余部分的面积是：剩余部分的面积是：224rR224rR)4(22rR) 1 . 128 . 7)(1 . 128 . 7(14. 3)(1762cm当，时当，时答：剩余部分的面积约为答：剩余部分的面积约为176cm176cm2 2 。)(rRrR例题精讲例题精讲1、把下列各式分解因式、把下列各式分解因式:(1) 36-25x2解：解：(1) 36-25x2=62-(5x)2=(6+5x)(6-5x)(2) 16a2-9b2(2) 16a2-9b2=(4a)2-(3b)2=(4a+3b)(4a-3b)2、把多

7、项式、把多项式9(a+b)2-4(a-b)2分解因式分解因式.解：解：9(a+b)2-4(a-b)2=3(a+b)2-2(a-b)2=3(a+b)+2(a-b)3(a+b)-2(a-b)=(3a+3b+2a-2b)(3a+3b-2a+2b)=(5a+b)(a+5b)平方差公式中字母平方差公式中字母a、b不仅可以表不仅可以表示数，而且也可以表示其它示数，而且也可以表示其它代数式代数式.3、把多项式、把多项式x4-16分解因式分解因式.解：解：x4-16 =(x2)2-42=(x2+4)(x2-4)分解因式应分解到各因分解因式应分解到各因式都式都不能再分解不能再分解为止为止.=(x2+4)(x+2

8、)(x-2)若多项式中有公因式若多项式中有公因式, ,应应先提取公因式先提取公因式, ,然然后再进一步分解因式后再进一步分解因式, ,直到直到不能分解为止不能分解为止. .解：解：2x3-8x4、把多项式、把多项式2x3-8x分解因式分解因式.=2x (x2_22) =2x (x+2)(x-2)=2x (x2-4)5、把下列各式分解因式、把下列各式分解因式:(1) a4b4=(2) (m2-3)21=(a2)2-(b2)2=(a2+b2)(a2-b2)=(a2+b2)(a+b)(a-b)(m2-3-1)(m2-3+1)=(m2-4)(m2-2)=(m+2)(m-2)(m2-2)课堂小结课堂小结

9、1.1.平方差公式：平方差公式： a a2 2-b-b2 2 = (a+b)(a-b) = (a+b)(a-b)2.2.用平方差公式因式分解步骤：用平方差公式因式分解步骤： 一变、二分解一变、二分解提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)运用公式法： a2-b2=(a+b)(a-b)练习把下列各式分解因式 x4-16解:原式=ax2(x2-1) =ax2(x+1)(x-1)解:原式=(x2+4)(x2-4) =(x2 +4)(x+2)(x-2)课前复习：课前复习：1、分解因式学了哪些方法、分解因式学了哪些方法24axax （有公因式，先提公因式。）（有公因式，先提公因式。）（因式分解要

10、彻底。）（因式分解要彻底。）课前复习：课前复习：2除了平方差公式外，还学过了哪些公式？ 2)(ba 2)(ba 222baba222baba2222bababa2222bababa用公式法正确分解因式关键是什么？熟知公式特征！熟知公式特征！完全平方式从项数看：完全平方式完全平方式都有两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍.从符号看：平方项符号相同a2 2 a b + b2 = （ a b ）2 (一数一数) 2 2(一数一数)(另一数另一数)+(另一数另一数)2=(一数一数另一数另一数)2（即：两平方项的符号同号，首尾2倍中间项）是否是完全平方式a、b各表示什

11、么表示（a+b）2或（ab）241212xx是a表示2y，b表示12)12(y否否否是a表示2y，b表示3x2)32(xy 是a表示(a+b)，b表示12)1( ba962 xx1442yy241a229124xxyy1)( 2)(2baba2)3( x多项式多项式2244yxx是a表示x，b表示3是否是完全平方式a、b各表示什么表示（a+b）2或（ab）2否否是a表示 ，b表示3n412 xx13922 abba229341nmnm2)21( x多项式多项式251036xxm212)321(nm是a表示x，b表示1/2 填空： （1）a2+ +b2=(a+b)2 （2）a2-2ab+ =(a

12、-b) 2 （3）m2+2m+ =( ) 2 （4）n2-2n+ =( ) 2（5）x2-x+0.25=( ) 2 （6）4x2+4xy+( ) 2=( ) 22abb21m+11n-1y2x+y(1)x214x49 解：2277x2 x原式27)(x (2)9)(6)(2nmnm解：2233n)(m2)(nm原式2)3(nm例题1 (3)3ax26axy3ay2 解：)y2xy(322xa原式2y)(x3a(4)解： -x2-4y24xy 解：)y44xy-(22x原式)2y()2y(x2x222)2(yx 229124baba22)3b()3b()2a(2(2a)原式2)32(ba(5)解

13、： 16x4- -8x21（6）222211)4x(2)(4x原式解：解：22) 14(x2221)2(x2) 12)(12(xx22) 12() 12(xx（1）25x210 x1 解:原式=（5x)2+25x1+12 =(5x+1)22269)2(baba解:原式=（3a)2-23ab+b2 =(3a-b)2abba1449)3(22解:原式=（7a)2+27ab+b2 =(7a+b)2 （4）-a2-10a -25解:原式=-（a2+2a5+52) =-(a+5)2（5 5）-a-a3 3b b3 3+2a+2a2 2b b3 3-ab-ab3 3解：原式=-ab3(a2-2a1+12)

14、 =-ab3(a-1)2 （6 6）9 - 1212(a-b) + 4 (a-b)2解:原式=32-232(a-b)+ = =(3-2a+2b)22)(2ba2)(23ba总结与反思： 1:整式乘法的完全平方公式是： 2:利用完全平方公式分解因式的公式形式是： 3:完全平方公式特点：2222aab ba b 2222a baab b含有三项；两平方项的符号同号；首尾2倍中间项1.已知 4x2+kxy+9y2 是一个完全平式，则k=a2+b2 22.已知 a(a+1)-(a2-b)=-2, 求 +ab 的值。12解: 由a(a+1)-(a2-b)=a2+a-a2+b=a+b=-2得 22)2(2

15、)(222222222baabbaabba3.已知x2+4x+y2-2y+5=0,求 x-y 的值。解：由x2+4x+y2-2y+5=(x2+4x+4)+(y2-2y+1) =(x+2)2+(y-1)2=0得 x+2=0,y-1=0 x=-2,y=1 x-y=(-2)-1=214、把下列各式因式分解、把下列各式因式分解2249) 1 (yx 224129) 3(yxyx2249)2(yx 224129)4(yxyx)23)(23(yxyx)32)(32(xyxy2)23(yx 2)23(yx)3(49)5(2baba22363)6(ayaxyax(7)(a+1)2- -2(a2-1) (a-1

16、)22222)(4)(12)(9)8(bababa222)23(4129bababa222)(3)2(3yxayxyxa=(a+1-a+1)2=422)5()(2)(3bababa)2)(2(:2222xyxyxyxy原式解9 9、 (y(y2 2 + x + x2 2 ) )2 2 - 4x- 4x2 2y y2 2=(y+x)2(y-x)210、简便计算：、简便计算：2234566856解：原式=（56+34）2=902=81001 1.(x+2)(x+1)=.(x+2)(x+1)=请直接口答计算结果： 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因

17、式的方法叫做因式的方法叫做十字相乘法十字相乘法.2 2+8x+12=+8x+12=2 2-11x-12=-11x-12=2 2-7x+12=-7x+12=2 2-4x-12=-4x-12=(x+2)(x+6)(x+2)(x+6)(x-6)(x+2)(x-6)(x+2)(x-3)(x-4)(x-3)(x-4)(x-12)(x+1)(x-12)(x+1)符号规律：符号规律： 常数项是正数时，应分解为两个常数项是正数时，应分解为两个 因数，他们的符号与因数，他们的符号与一次项系数符号一次项系数符号 ； 常数项是负数时，应分解为两个常数项是负数时，应分解为两个 因数，其绝对值因数，其绝对值 的的因数与

18、一次项系数的符号相同因数与一次项系数的符号相同. .同号同号相同相同异号异号较大较大2 2+13x+12=+13x+12=(x+1)(x+12)(x+1)(x+12)2 2-x-12=-x-12=(x-4)(x+3)(x-4)(x+3)将下列各式因式分解将下列各式因式分解: :xxabax+bx=对二次三项式对二次三项式x x2 2+px+q+px+q进行因式分解，应重点掌握以下三个问题：进行因式分解，应重点掌握以下三个问题：1.1.掌握方法：拆分常数项，验证一次项掌握方法：拆分常数项，验证一次项. . 2. 2.符号规律：符号规律： 当当q0q0时，时，a a、b b同号，且同号，且a a、b b的符号与的符号与p p的符号相同；的符号相同； 当当q0q0时，时，a a、b b异号，且绝对值较大的因数与异号，且绝对值较大的因数与p p的符号相同的符号相同. . 3.3.书写格式：竖分横积书写格式：竖分横积(x+2)(x-3)(x+2)(x-3)2 2-x- 6 =-x- 6 =(x-3)(x+5)(x-3)(x+5)2 2+2x-15=+2x-15=(x+2)(x-5)(x+2)(x-5)2 2-3x-10=-3x-10=(x-5)(x-4)(x-5)(x-4)2 2-9x+20=-9x+20=