洛必达法则最新课件

1、洛必达法则最新2. 洛必达法则洛必达法则 1. “ 0 0 ” 不定式极限的计算法则不定式极限的计算法则 a. 自变量趋于有限数情况自变量趋于有限数情况0)(lim)(lim) 1 (00 xgxfxxxx0)( )2(xg;()( )( lim)3(0）或 Axgxfxx。）或：极限则不定式()()(lim000Axgxfxx)()()()(lim)()(lim0000 xgxgxfxfxgxfxxxx证明。Axgxfxx)( )( lim0。即可考虑，时当0)( )( lim)( )( lim00 xfxgxgxfxxxx)( )( lim)( )( lim0000gfgfxxxxxxx或

2、设函数设函数 f ( x ) 与与 g ( x ) 满足条件：满足条件： 洛必达法则最新b. 自变量趋于无穷情况自变量趋于无穷情况0)(lim)(lim) 1 (xgxfxx0)( )2(xg;()( )( lim)3(）或 Axgxfx。）或：极限则不定式()()(lim00Axgxfx)1()1(lim)()(lim01tgtfxgxftxtx证明。Augufutu)( )( lim1。即可考虑，时当0)( )( lim)( )( lim0 xfxgxgxfxxx)1()1(lim0tgtft设函数设函数 f ( x ) 与与 g ( x ) 满足条件：满足条件： )1()1( )1()1

3、( lim220ttgttft)1( )1( lim0tgtft洛必达法则最新。的值求：应用实例57245lim.431xxxxx）（解：0057245lim431xxxxx)572(45lim431xxxxx）（.2127853lim321xxx。的值求：22337lim32xxx）（解：0022337lim32xxx)223()37(lim32xxx.324161)23(331721lim232xxx洛必达法则最新洛必达法则可以多次运用洛必达法则可以多次运用。的值求：xeexxxcos12lim0）（解：00cos12lim0 xeexxx.2coslim0代入法xeexxx。的值求：xx

4、xxxxsincoslim0）（）（解：00cos1sincos1lim00sincoslim00 xxxxxxxxxxx）（00sincossinsinlim0 xxxxxx)cos1 (2lim0 xeexxx）（）（00sinlim0 xeexxx)(sin)(lim0 xeexxx.3cossincoscos2lim0代入xxxxxx洛必达法则最新注意洛必达法则与乘法极限法则的联合运用注意洛必达法则与乘法极限法则的联合运用 - 非零因子的分离非零因子的分离。年研究生入学试题）的值求：93()2/sin(1)1cos(lnlim1xxx2)2/cos() 1cos() 1sin(lim)

5、2/sin(1 ()1cos(lnlim11xxxxxxx)2/cos() 1sin(lim) 1cos(2lim11xxxxx。的值求：xxxx30sinarcsinlimxxxxxxxxxx22020220sin11lim1cos31limcossin3111lim.61sinlim6112cossin22lim31)(sin)11(lim31020220 xxxxxxxxxxx)00()2/sin(1) 1cos(lnlim1xxx解：.42/)2/sin() 1cos(lim221xxxxxxx30sinarcsinlim解：洛必达法则最新)1ln(11lim2)1ln(0 xxxxe

6、xxx20)1ln()1(limxxxxex。的值求：xexxx10)1 (lim)00()1 (lim10 xexxx解：xeexxx)1ln(0limxxex)1ln(lim20.2e)1 ()1ln()1 (limlim20)1ln(0 xxxxxexxxxxxex21)1ln(1lim0洛必达法则最新注意洛必达法则与重要极限的联合运用注意洛必达法则与重要极限的联合运用 - 等价无穷小的替换等价无穷小的替换。的值求：xxexx20sin1sinlimxxexx20sin1sinlim解：.212sinlim)00(2coslim00 xexxexxxx。的值求：xxxexx320sin)

7、 1(limxxxexx320sin) 1(lim解：.411lim2121lim2020 xexexxxx220)1(limxxexx) 1(lim420sinxxexxxx201sinlimxxexx)sin(1sinlim2220 xxxxexx洛必达法则最新。年研究生入学试题）的值求：91() 1(sinlim20 xxexxx）（解：00) 1(sinlim20 xxexxx.616sinlim0 xxx。年研究生入学试题）的值求：92(111sinlim20 xxexx.1)sin(lim0代入洛必达xexx1sinlim30 xxexxxx1limsinlim030 xxxexx

8、xx30sinlimxxxx203cos1limxxx洛必达)00(211sinlim20 xxexxxxexxcoslim0洛必达1)(11sinlim2120 xxexx（原式解洛必达法则最新)03()(020)(1;000,4sin16arcsin)1ln()(23年考研题的可去间断点？是）（处连续；在）（，为何值时问设函数xfxxxfaxxxxxaxxexxaxxfaxxxaxfxarcsin)1ln(lim)0(30解：xxaxxarcsinlim302201113limxaxx)1113(lim2220 xxaxx2lim3220 xxaxa6洛必达法则最新2201lim4xaxx

9、eaxx4sin1lim) 0(20 xxaxxefaxxxaxaeaxx22lim4022lim420axxea;)2(22a处连续在0)() 1 (xxf)0()0()0(fff66)2(22aa;1a的可去间断点是)(0)2(xfx ) 0 () 0() 0(fff66)2(22aa.2a洛必达法则最新 注意与原有求极限方法（变量替换、共轭因子法等）的综合运用注意与原有求极限方法（变量替换、共轭因子法等）的综合运用 年考研试题）的值求：99()1ln(sin1tan1lim20 xxxxxxxxxxxxxxsin1tan11)1ln(sin1tan1lim0）（原式解：)1ln(sint

10、anlim210 xxxxxx)1ln(cos)cos1 (sinlim210 xxxxxxxxxxx)1ln(cos1lim11210)1(ln()cos1 (lim210 xxxx111sinlim210 xxx)1 (sinlim210 xxxx.21洛必达法则最新自变量趋于无穷下的实例自变量趋于无穷下的实例 。的值求：xarcxxcot)11ln(lim)cot()ln)1(ln(lim)00(cot)11ln(limxarcxxxarcxxx解：.1)1 (1lim11111lim22xxxxxxxx。的值求：xxxx1tan)1cos1ln(sinlim)00(1tan)1cos1

11、ln(sinlimxxxx解：ttttxttan)cosln(sinlim01tttt)cosln(sinlim0无穷小替换tttttcossinsincoslim0洛必达.10cos0sin0sin0cos代入法洛必达法则最新洛必达法则不能滥用洛必达法则不能滥用 .)(83249lim249lim7853lim57245lim2131331431xxxxxxxxxxxxx错误实例：洛必达法则失效实例洛必达法则失效实例 。的值求：xxxxxsinsinlim！既不存在，也不为 xxxxxxxxcos1cos1lim)sin()sin(limxxxxxxxxxxxxsinsinlimsinsin

12、lim但是或者说：洛必达法则是一个充分性法则，不是一个必要性法则或者说：洛必达法则是一个充分性法则，不是一个必要性法则 .此例说明，当导数之比的极限不存在也不为此例说明，当导数之比的极限不存在也不为 时，函数之比的极限时，函数之比的极限 仍有可能存在。仍有可能存在。)(sinsinlimxxxxx解：xxxxxsin11sin11lim存在！1)sin1(lim1)sin1(lim1xxxxxx洛必达法则最新2. “ ” 不定式极限的计算法则不定式极限的计算法则 设函数设函数 f ( x ) 与与 g ( x ) 满足条件：满足条件：)()(lim)(lim) 1 (0000或xgxfxxxx

13、0)( )2(xg;()( )( lim) 3 (00）或 Axgxfxx。）或：极限则不定式()()(lim00Axgxfxx符号不变证：)( ,0)( xgxg；的右邻域内为减函数在且又00)(0)( )(lim0 xxgxgxgxx；的右邻域内有即在0)(0 xgx;2)( )( ,0,0)( )( lim0000AxgxfxxxAxgxfxx时在;,2)( )( )()()()(0 xxAgfAagxgafxf洛必达法则最新,)()()()()()()()()()()()(00000 xgxgAxfxgxgxgAxgxgxfxfAxgxf,)()()()()()()()()(0000

14、xgxgAxfAxgxgxfxfAxgxf；时有当2)()()(:0,0)(lim000000 xgxgAxfxxxxgxx,22)()(00Axgxfxxx时就有：当这样，。Axgxfxx)()(lim00情况。情况和类似可证)()(lim0000 xgxfxxxx洛必达法则最新。的值求：应用实例xxxlnlim.。解：02lim211lim)()(lnlim)(lnlimxxxxxxxxxxx。的值求：xxex33limxxxxxxexexex32333333lim)()(lim)(lim解：.031lim32)(32lim)()(lim)(lim333232xxxxxxxxeexexex

15、。其中常数有，一般地0,0lnlim.xxx。其中常数有，一般地1,0,0lim.kkxxx洛必达法则最新。的值求：xctgctgxx3lim0.33lim31)00(sin3sinlim313sin1sin1lim31202020 xxxxxxxxx)3()(lim0 xctgctgxx）原式（解：3. “ 0 ” 不定式极限的计算法则不定式极限的计算法则 11000100100则，若)(lim0)(lim)()(00 xgxfxxxx或者)00()(1)(lim)()(lim)()(00 xgxfxgxfxxxx.)()(1)(lim)()(lim)()(00 xfxgxgxfxxxx3)

16、3csc(csclim220 xxx20)3csccsc(lim31xxx洛必达法则最新。的值（求：)lnlim0 xxx2302102100211lim)()(lnlim)(lnlim)0)(lnlimxxxxxxxxxxxx（解：.02(lim)2(lim0)23(10）xxxx。的值（求：6tan)22lim4xxx)0(6tan)22lim4xxx（解：.31)6sin31(lim6csc62lim)00(6cot22lim24244xxxxxxx年研究生入学试题）的值求：88(2tan)1 (lim21xxx.42)2csc(2lim)2(cot)1 (lim2cot1lim2tan

17、)1 (lim21212121代入解：xxxxxxxxxxxx洛必达法则最新4. “ - - ” 不定式极限的计算法则不定式极限的计算法则 则，若)(lim)(lim)()(00 xgxfxxxx;)00()(1)(1)(1)(1lim)(11)(11lim)()(lim)()()(000 xgxfxgxfxgxfxgxfxxxxxx.lim1lim0txxt后，化为极限常可先作替代时，当极限是。的值求：)11ln1(lim1xxx)1(ln)ln1(lim)00() 1(lnln1lim)(11xxxxxxxxxx原式解：.21ln21lim1ln11lim)00(ln11limln) 1(

18、111lim1111xxxxxxxxxxxxxxxx洛必达法则最新年研究生入学试题）求：97()0()1ln()1(lim220aaxaxxax)00()1ln()1 (lim2220 xaxxaaxx)()1ln()1 (lim2220 xaxxaaxxxxaaxxax2)1ln(2lim220.22)1ln(2lim2220aaaxax代入)1(2141lim0 xxexx求：) 1(41lim0 xxxexe通分原式.81lim810 xexx)()1ln()1(lim220axaxxax解：xaxaxaaxxaax21)1 ()1ln(2lim2220 xaxaaxxaax2)1 ()

19、1ln(2lim20洛必达法则最新设设,21, 0(,)1 (11sin1)(xxxxxf使得使得 f ( x ) 在在21, 0上连续上连续.（2003年考研试题）年考研试题）试补充定义试补充定义 f ( 0 ) ,)(lim:0 xfx解1sinsinlim0 xxxxx通分和代入法1sinlim220 xxxx等价无穷小替换12coslim20 xxx洛必达12sinlim0 xx洛必达.1代入法由于由于 f ( x ) 在在21, 0(上连续，因此定义上连续，因此定义 1)0(f可使可使 f ( x ) 在在21, 0上连续上连续.12cos1lim0 xxx洛必达法则最新)03(1,

20、21)() 1 ()1,21,)1 (1sin11)(年考研题。上连续在使得试补充定义，设xffxxxxxf)1 (1sin11lim01xxxx)1 (1sin1lim101xxx)1 (sinsin)1 (lim1101xxxxxtttttxt)1 (sin)1 (sinlim1101tttttsinsinlim11020sinlim11ttttttt2coslim110)(lim)01 (01xffx解：1012sinlim1120tt。上连续在时故定义1,21)(/1) 1 (xff洛必达法则最新年研究生入学试题）的值求：99()tan11(lim20 xxxxxxxxxxxxxtan

21、tanlim)tan11(lim2020解：.31cos13sinlim3tanlim2220220 xxxxxxx年研究生入学试题）的值求：94()11ln(lim2xxxx)()11ln(lim2xxxx解：20)1ln(limtttt)1ln(11lim201ttttxt.21)1(2lim2111lim00tttttttcossintanlim20 xxxxxxxxxxxsintanlim2022031seclimxxx)00(tanlim30 xxxx洛必达法则最新5. “ 1 ” 不定式极限的计算法则不定式极限的计算法则 。的值求：xxx111lim)1 (lim111xxx解：.

22、11)1(lim1eeexx。的值求：xxxxe10)3(lim:)3ln(lim10的值先算解：xxxxe)3ln(lim10 xxxxe；代入433lim0 xeexxxxxxe11ln1limxxxeln111limxxxe1lnlim1)1(lnlim1xxxe）（)00()3ln(lim0 xxexx)3ln(lim0 xxexx.)3(lim410exexxx洛必达法则最新。年研究生入学试题的值求：)89()1cos1(sinlimxxxxxxxxxxxx1)1cos1ln(sinlim)1cos1ln(sinlim解：ttttxt)cosln(sinlim01.)1cos1(si

23、nlim1eexxxx;1cossinsincoslim0ttttt求极限：求极限：xxx20)1ln(1 lim（2003年考研试题）年考研试题）xxx20)1ln(1 lim:解)1ln(1ln20limxxxexxxe)1ln(1ln2lim0)1ln(1(lnlim20 xxxe洛必达xxxe11)1ln(11lim20.212ee代入法洛必达法则最新。年研究生入学试题的值求：)91()(lim120 xnxxxxneee)ln(lim120 xnxxxxneee解：nxxxnxxxxeeeenee22021lim。21120)(limnxnxxxxeneee;2121nnn代入)00

24、(ln)ln(lim20 xneeenxxxx洛必达法则最新.)97()(lim)1 ()(011年研究生入学试题求证：生产函数，为称产函数，为固定替代弹性生在经济学中，称QxQDouglasCobbLAKQLKAxQxxxx;)1()1(lim)(lim100 xxxxxLKAxQ证：xxxxLK10)1 (lnlim而xxxxxLKLLKK)1 ()ln()1 ()ln(lim0.)(lim1ln)1(ln0QLAKeAxQLKx；LKln)1 (lnxxxxxLKLK)1 ()1 (lim0)00()1 (lnlim0 xLKxxx洛必达法则最新。年研究生入学试题的值求：)2000()

25、0, 0()2(lim30babaxxxxxxxxba30)2ln(lim解：xbaxxx2ln)ln(lim30;232lnln3ba代入abxxxxebaln2330)2(lim。年研究生入学试题并指出其类型间断点，的求记此极限为求：)2002()(),(,)sinsin(limsinsinxfxfxtxtxxtxxxxxbaba)(lim30 xxxxxbabbaalnlnlim30)00(2ln)ln(lim30 xbaxxx)2ln(3lim0 xxxbax。23)(ab洛必达法则最新;lim)(lim)0(0sinlimsin000eeexfkxxxxxxxx因为时，当有定义，初等函数时，为整数当且仅当xxexfkkxsin)()(；是第一类可去间断点0 x;时均是间断点当时均是连续点故当kxkx与因为时，当xxxxkxkxkxeexfkkxs