一致连续与柯西收敛准则PPT精选文档

1、.11. 柯西极限存在准则柯西极限存在准则(柯西审敛原理) (p71)数列nx极限存在的充要条件是:,0存在正整数 n , 使当nnnm,时,mnxx有 例例1.应用柯西收敛准则证明下列数列收敛应用柯西收敛准则证明下列数列收敛,2210nnnqaqaqaax., 10（常数）其中maqinnmmmmmnqaqaqaxx2211证明：证明：,1111mmmqqmqqmq时，mn .2,1, 0mmnqqmxx只要欲使,ln1lnqmqm 或只要时，恒有则当故取正整数nmnqmqn ,ln1ln,mnxx 收敛。知，数列所以，由柯西收敛准则nx.3例例2.其否定描述。存在的柯西收敛准则及写出极限)

2、(limxfx存在的柯西收敛准则：极限)(limxfx解：解：.)()(, 0, 0 xfxfxxxx时，有当存在的充分必要条件为)(limxfx：不存在的柯西收敛准则极限)(limxfx.)()(, 0, 0021210 xfxfxxxx使得总有对为不存在的充分必要条件)(limxfx.4例例3.存在。明极限利用柯西收敛准则，证xxxcoslim证明：证明：,cos)(xxxf令,11coscos)()(xxxxxxxfxf 则, 0, xxx不妨设,2)()(,minxxfxfxxx 则令,2,)()(, 0 xxfxf只要欲使于是，对时，恒有则当故取或只要xxxxx ,2,2,cosco

3、s)()( xxxxxfxf存在。限由柯西收敛准则知，极xxxcoslim.5例例4.不存在。明极限利用柯西收敛准则，证xxsinlim证明：证明：, 0210x，对任意的给定,22,221nxnx总有点充分大）取nxxx(,21,1sinsin021xx使得不存在。限由柯西收敛准则知，极xxsinlim.6例例5.,:1nnncxxnn有若利用柯西收敛准则证明 也收敛。收敛，则数列而数列且nnnnxscccs,21证明：证明： 收敛，ns由柯西收敛准则知，.mnss恒有则不妨设,mn mmnnnnmnxxxxxxxx1211mmnnnnxxxxxx1211121121mnnnmnnccccc

4、cc时，当正整数nmnn, 0,mnmnssss 收敛。列由柯西收敛准则知，数nx.7例例6. 发散。数列利用柯西收敛准则证明设nnxnx,1211证明：证明：使得总有对任何正整数给定正数,310nnn,212111212102nnnnnxxnn 发散。数列故由柯西收敛准则知，nx.82. 一致连续性一致连续性上是一致连续的。在区间那么称函数时，就有，当、上的任意两点，使得对于区间，总存在着正数正数意给定的上有定义，如果对于任在区间设函数ixfxfxfxxxxiixf)(,)()()(212121)()(, 0, 0212121xfxfxxixx.9例例7.上一致连续。在用定义证明函数),(s

5、in)(xxxf证明：证明：)sin(sin)()(212121xxxxxfxf2sin2cos2sinsin2121212121xxxxxxxxxx21212121212222sin2xxxxxxxxxx,)()(),(, 02, 0212121xfxfxxxx时，恒有当对任意的上一致连续。在函数),(sin)(xxxf.10例例8.)()(,)(),(:xgxfixgxf则函数上一致连续在区间函数证明上一致连续。在区间i证明：证明：,)(),(上一致连续在区间函数ixgxf时，当对任意的2121, 0, 0 xxixx,2)()(,2)()(2121xgxgxfxf ,22)()()()(

6、2211xgxfxgxf上一致连续。在区间故函数ixgxf)()(.11例例9.则函数且上连续若函数证明,)(lim,),)(:bxfaxfx上一致连续。在),)(axf证明：证明：,)(limbxfx.2)(, 0, 0bxfxxx时，当),),xxaa与分为区间将区间连续，所以一致连续。上，因为在闭区间)(,) 1 (xfxa，对任意的，存在故对上述的, 021xaxx;4)()(2121xfxfxx时，当时，当与对上述的2121),)2(xxxxxbxfbxfxfbbxfxfxf)()()()()()(212121.22.12,),)3(212121xxxxxxxxxax与时，必有当，与

7、对上述的）得）与（故由（21)()()()()()(2121xfxfxfxfxfxf.22时，当综上讨论，对任意的2121),xxaxx.)()(21xfxf上一致连续。在区间),)(axf.13例例10.上非一致连续。在区间若函数证明) 1 , 0(1cos)(:xexfx证明：证明：，总有对任意的正数）（给定正数,10),1 , 0(,221,2121nxnx充分大时总可成立）nxx(,21.11cos1cos)()(021212121nxxexexexfxf而上非一致连续。在区间) 1 , 0(1cos)(xexfx.14例例11.上非一致连续。在区间若函数证明),(sin)(:2xxf证明：证明：,2sin2cos2sinsin222122212221xxxxxx,42,422,2221222121xxnxxxx满足取正数,22,22