定积分的应用课件

1、 内容提要内容提要 1.1. 2.2.平面图形的平面图形的面积；面积； 3.3.立体的体积。立体的体积。 教学要求教学要求 1.1.熟练掌握应用微元法去解决积分中的实熟练掌握应用微元法去解决积分中的实际应用题际应用题 ； 2.2.熟悉各种平面面积的积分表达方法；熟悉各种平面面积的积分表达方法； 3.熟练掌握应用微元法求体积的方法；熟练掌握应用微元法求体积的方法； 4. 能用定积分表达某些物理量能用定积分表达某些物理量 。 定积分的应用定积分的应用定积分的应用课定积分的应用课件件 badxxfA)(回顾回顾 用定积分求曲边梯形面积的问题：用定积分求曲边梯形面积的问题：0 , , ybxax，且且

2、0)( xf及直线及直线所围成的曲边梯形的面积所围成的曲边梯形的面积其求解步骤如下：其求解步骤如下：上上连连续续，在在设设,)(baxfy 、则则由由曲曲线线)(xfy ab xyo)(xfy A定积分的应用课定积分的应用课件件ab xoy)(xfy iiixfA )( 即即 ,1iiixx 任任取取第一步：分割第一步：分割 将区间将区间,ba任意分成任意分成n个小区间个小区间), 2 , 1(,1nixxii 由此曲边梯形就相应地分成由此曲边梯形就相应地分成个小曲边梯形。个小曲边梯形。第二步：近似第二步：近似形面积之和形面积之和即即 niiAA1所求的曲边梯形面积所求的曲边梯形面积A为每个小

3、曲边梯为每个小曲边梯为为高高，以以)(if iiixxx 1为底为底的小矩形面积的小矩形面积iixf )( 近似代替小曲边梯形面积近似代替小曲边梯形面积iA iA i n1 ixix定积分的应用课定积分的应用课件件第三步：第三步： 求和求和第四步：第四步： 取极限取极限Aiinixf )(lim10 max1inix 其中其中总结：总结： 上述四步中，由第一步知，上述四步中，由第一步知，,ba有关，有关，部分量的和，部分量的和，可加性可加性.,ba分成许多小区间，分成许多小区间，的面积的面积A这个量就相应地分成许多部分量，这个量就相应地分成许多部分量，如果把区间如果把区间,ba具有具有这种性质

4、称为所求量这种性质称为所求量A对区间对区间则所求则所求而而A是所有是所有.)(1iinixf ab xoy)(xfy iA i 1 ixix A所求面积所求面积A这个量与这个量与是是定定积积分分的的积积分分区区间间。,ba badxxf)(定积分的应用课定积分的应用课件件就是定积分的被积表达式就是定积分的被积表达式ab xoy)(xfy iA 1 ixix上述第二步中的近似表达式上述第二步中的近似表达式iiixfA )( 可确定定积分的被积表达式可确定定积分的被积表达式dxxf)(方法是：方法是：,1 iix 取取于是有于是有iiixxfA )(1再将区间再将区间,1dxxxxxii 记为记为

5、则则iixxf )(1可写为可写为dxxf)(称称dxxf)(为面积为面积A的微元，的微元，于是于是 badAAdAdxxfdA)( 即即xdxx i 记为记为dA badxxf)( iA A定积分的应用课定积分的应用课件件一般地，当所求量一般地，当所求量F符合下列条件：符合下列条件：以上方法称为以上方法称为有关的量；有关的量；的变化区间的变化区间是与变量是与变量,)1(baxF具具有有可可加加性性，对对于于区区间间,)2(baF,ba即如果把即如果把，分分成成许许多多部部分分区区间间许许多多部部相相应应地地分分成成则则F，分量分量许许多多部部分分量量的的和和；等等于于而而F可可这这是是量量F

6、.以以用用定定积积分分表表示示的的前前提提上上，的的任任意意小小区区间间在在,)3(dxxxba 相相应应分分量量，的近似值可表示为的近似值可表示为dxxfF)( 称称为为将将dxxf)(,dF且记作且记作,的微元的微元F.)(dxxfdF 即即这就给出了定积分的被积表达式这就给出了定积分的被积表达式dxxf)(于是于是 badFF badxxf)(“微元法微元法”定积分的应用课定积分的应用课件件微元法解决实际问题的一般步骤如下：微元法解决实际问题的一般步骤如下：(1) 根据问题的具体情况，根据问题的具体情况，x选取一个变量选取一个变量例如取例如取为积分变量，为积分变量， 并确定它的变化区间并

7、确定它的变化区间; ,ba，上上任任取取一一个个小小区区间间在在,)2(dxxxba 求出所求量求出所求量，微元微元的的dxxfF)( badFF)3( badxxf)(以上步骤要熟练掌握以上步骤要熟练掌握!定积分的应用课定积分的应用课件件如：平面图形的面积；如：平面图形的面积；引力和平均值引力和平均值;液体的压力；液体的压力；变力做功；变力做功；平面曲线的弧长；平面曲线的弧长；体积；体积；注意注意 微元法解决实际问题的使用对象：微元法解决实际问题的使用对象：具有可加性的量具有可加性的量等等等等.定积分的应用课定积分的应用课件件)(xfy ab xyo)(xfy axboy badxxf)(二

8、、平面图形的面积二、平面图形的面积0)( xf1）如果）如果则则 badxxf)( badxxfS)(，上上如果在如果在0)(,)2 xfbaSS即即则则S上上所所围围的的面面积积在在,)(. 1baxf上上在在,ba（一）、在直角坐标系下的面积问题（一）、在直角坐标系下的面积问题S 定积分的应用课定积分的应用课件件)(xfy abxyo1S2S区区间间上上时时正正时时负负，在在若若,)()3baxf 21SS如图如图21)(SSdxxfba 则则 badxxf| )(|?定积分的应用课定积分的应用课件件)(xfy )(xgy abxyo badxxgxfA)()(dx.,)(),(. 2所所

9、围围平平面面图图形形面面积积及及由由bxaxxgxf dxx x上上连连续续，在在、设设,)()(baxgxf，且且)()(xgxf bxaxxgyxfy ,)(),(及及直直线线求求由由曲曲线线.A所所围围成成的的平平面面图图形形面面积积 熟记熟记用微元法：用微元法：dA.为积分变量为积分变量取取x)()(xgxf 定积分的应用课定积分的应用课件件cd)(yx )(yx yxo dAA.,Adycy所所围围成成的的平平面面图图形形面面积积及及直直线线 y dyy dyy dA)()(),(yyyxyx ）（且（且求由求由dyyydc )()( 熟记熟记用微元法：用微元法：.为积分变量为积分变

10、量取取ydy)()(yy 定积分的应用课定积分的应用课件件xy 1所围成的图形所围成的图形例例1 计算由抛物线计算由抛物线,xy 轴轴xx,1 的面积的面积A . 解解为积分变量，为积分变量，取取x.1 , 0积积分分区区间间为为 10dAAdxx 1032 dxx x dA用微元法用微元法dxxdA 定积分的应用课定积分的应用课件件2xy xy 2xyo例例 2 2 计计算算由由两两条条抛抛物物线线xy 2和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积 A . 确定积分区间：确定积分区间： dA 10dAA10333223 xx31 解解方法一：选择方法一：选择 x 作积分变量作积分变量

11、xyxy22由由1从而得到积分区间从而得到积分区间,1 , 0区间上任取一小区区间上任取一小区间间,dxxx dAxdxx 1, 0 xx解解得得dxxx)(210 1 , 0在在面积微元面积微元dxxx)(2 ?定积分的应用课定积分的应用课件件ox2xy xy 2y确定积分区间：确定积分区间：面积微元面积微元 dA 10dAA10333223 yy31 方法二：选择方法二：选择 y 作积分变量作积分变量解得解得 y=0, y=1 xyxy22由由从而得到积分区间从而得到积分区间,1 , 0区间上任取一小区区间上任取一小区间间,dyyy 1yy+dydA1 , 0在在dyyy)(210 dyy

12、y)(2 ?定积分的应用课定积分的应用课件件xy22 4 xy例例 3 3 计计算算由由曲曲线线xy22 和和直直线线4 xy所所围围 解解求两曲线的交点求两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxy选选 为积分变量为积分变量y4, 2 y dA 42dAA选选 x 作积分变量时，需求作积分变量时，需求两块面积两块面积yy+dy作面积微元作面积微元 dAdA18 dyyy 42224成的图形的面积成的图形的面积.,242dyyy ?定积分的应用课定积分的应用课件件yxo解解 由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积)20, 0(sincos4

13、33 tataytax求求星星形形线线例例)cos(sin43203tatdaA 注意：注意：.所所围围成成图图形形的的面面积积)cos(sin43023tatda dttta20242cossin)3(4 dttta)sin1(sin1222042 283a aaa a aydxA04dxxx ydxdA 定积分的应用课定积分的应用课件件如果曲边梯形的曲边如果曲边梯形的曲边 )()(tytx )( t的方程为参数方程：的方程为参数方程：)(xfy ), 0)(baxxf ,)(,)(ba 且且上上具具有有连连续续导导数数，在在,)( t.)( 连连续续ty ,)(,)(ba 或或oyxab)

14、(xfy 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 )()( tdtdxxfAba )(由上例可知：由上例可知：dxxfAba )(或或 )()( tdt定积分的应用课定积分的应用课件件yxo 20)cos(sin4 tatdb解解 由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积 02)cos(sin4 tatdbAdttab 202sin4 .ab .)20(sincos所所围围成成图图形形的的面面积积求求椭椭圆圆 ttbytax注意：注意：abb a aydxA0练习练习定积分的应用课定积分的应用课件件 xo d )( rr 面积微元面积微元 drdA2)(21 曲边扇

15、形的面积曲边扇形的面积.)(212 drA （二）、在极坐标系下的面积问题（二）、在极坐标系下的面积问题)(,)( 及及射射线线由由曲曲线线rr所围成的图形，所围成的图形，.A求其面积求其面积称为曲边扇形称为曲边扇形.解解为为积积分分变变量量，取取 ., 积积分分区区间间为为用微元法用微元法，上上任任取取一一小小区区间间, d , 在在定积分的应用课定积分的应用课件件xo ar )0(1 aar 计计算算阿阿基基米米德德螺螺线线例例的图形的图形的一段弧与极轴所围成的一段弧与极轴所围成变到变到从从 20上相应于上相应于.A的面积的面积a 2解解 A da222021 20323121 a3234

16、 a da220)(21 ?.)(212 drA 定积分的应用课定积分的应用课件件ox解解.232a daA)cos1(21220 d)coscos21(2 2022a 2022sin41sin2232 a)0( a)cos1( ar所围平面图形的面积所围平面图形的面积A .例例2 求心形线求心形线 .)(212 drA 定积分的应用课定积分的应用课件件解解 由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积14AA daA2cos214402 xy 2cos22a xo1A求双纽线求双纽线 2cos22a 所围平面图形的面积所围平面图形的面积.2a 22cos402da

17、 4022sin a .)(212 drA 练习练习定积分的应用课定积分的应用课件件 xo2. 在极坐标系下的面积问题在极坐标系下的面积问题.)(212 dr )( rr A?定积分的应用课定积分的应用课件件三、三、 体积体积旋转体旋转体圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台（一）、旋转体的体积（一）、旋转体的体积由一个平面图形绕这个平面内一条由一个平面图形绕这个平面内一条直线旋转一周而成的立体直线旋转一周而成的立体这直线叫做这直线叫做旋转轴旋转轴定积分的应用课定积分的应用课件件y取横坐标取横坐标x为积分变量为积分变量, , 一般地一般地, ,轴所围成的曲边梯形轴所围成的曲边梯形, ,及及 x轴旋转一周而成

18、轴旋转一周而成绕绕 x?V求体积求体积由连续曲线由连续曲线)(xfy 直线直线bxax ,的立体的立体, ,yxoab)(xfy ,ba它的变化区间为它的变化区间为相应于相应于,ba上任一小区上任一小区,dxxx 间间小曲边梯形小曲边梯形绕绕x轴旋转而成的薄片轴旋转而成的薄片近似地等于以近似地等于以f(x)为底面半径、为底面半径、dx为高的圆柱体的为高的圆柱体的体积，体积， 即体积微元为即体积微元为2)(xfdV dx于是，在闭区间于是，在闭区间a,b上作定积分，上作定积分， 得所求旋转体得所求旋转体体积为体积为Vdxxfba 2)( 的体积的体积xdxx 定积分的应用课定积分的应用课件件例例

19、1 1圆锥体的体积圆锥体的体积解解xhry 取取积积分分变变量量为为x，, 0hx 直线直线 的方程为的方程为OPyrhPxoxhry 利用旋转体体积公式，利用旋转体体积公式，圆锥体的体积圆锥体的体积dxxfVh20)( dxxhrh20 hxhr03223 .32hr hdxxhr0222 知：知：dxxfVba 2)( .32hrV 的的高高为为求求证证半半径径为为hr 定积分的应用课定积分的应用课件件例例2 计算椭圆计算椭圆12222 byax绕绕x轴旋转而形成的旋转体轴旋转而形成的旋转体的体积的体积.oxy12222 byaxa a解解 这个旋转体可以看成这个旋转体可以看成以半个椭圆以

20、半个椭圆22xaaby 绕绕x轴旋转而成的立体轴旋转而成的立体取积分变量为取积分变量为x,aax 利用利用旋转体体积公式旋转体体积公式，知：，知： 所求的体积为所求的体积为 aadxxaabV222 aadxxaab)(2222 aaxxaab 322231 234ab 定积分的应用课定积分的应用课件件求星形线求星形线绕绕x轴旋转轴旋转构成旋转体的体积构成旋转体的体积.解解,323232xay 332322 xay,aax 由由旋转体的体积公式旋转体的体积公式，知：，知： dxxfVaa2)( .105323a dxxaaa33232 )0(323232 aayx练习练习定积分的应用课定积分的

21、应用课件件xyo)(yx cd 类似地，如果旋转体是由连续曲线类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yx 直线直线cy 、dy 及及y轴所围成的曲边梯形轴所围成的曲边梯形 绕绕y轴旋转轴旋转体积为体积为dyy2)( dcV熟记熟记一周而成的立体，一周而成的立体，定积分的应用课定积分的应用课件件xoy12例例3 3 轴轴所所围围成成的的及及直直线线xx1 ，求求由由抛抛物物线线22xy 旋转一周而成的旋转体的旋转一周而成的旋转体的体积体积.图形图形解解为为轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体的的体体积积绕绕xdxyVx 102 dxx 1044 54 为为轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体的的体体积积绕绕yyV

22、2 212 dyx 202 dyy 202 轴轴轴轴，分分别别绕绕yx定积分的应用课定积分的应用课件件（二）、平行截面面积为已知的立体的体积（二）、平行截面面积为已知的立体的体积设一立体位于设一立体位于 过点过点x=a, x=b 且垂直于且垂直于 x 轴的两平面之间，轴的两平面之间，,)(dxxA .)( badxxAV 从而从而用垂直于用垂直于 x 轴的任一平面截轴的任一平面截此立体所得的截面积此立体所得的截面积 A(x) 是是 x 的已知函数，的已知函数，)(xAx取取 x 为积分变量，在区间为积分变量，在区间 a, b 上任取一小区间上任取一小区间过其端点作垂直过其端点作垂直 x 轴的平

23、面，轴的平面，)(xAx x+dx作体积微元：作体积微元：)(xAx x+dxxoaby.V求求这这个个立立体体的的体体积积dV体体积积微微元元为为x , x+dx ，以以A(x) 为底，为底，dx 为高作柱体，为高作柱体，用微元法：用微元法：定积分的应用课定积分的应用课件件xoy例例 一一平平面面经经过过半半径径为为R 的的圆圆柱柱体体的的底底圆圆中中心心，并并与与底底面面交交成成角角 ，计计算算这这平平面面截截圆圆柱柱体体所所得得立立体体的的体体积积.解解 取坐标系如图取坐标系如图底半圆方程为底半圆方程为22xRy 截面面积截面面积)(xA立体体积立体体积V.323 tgR 垂垂直直于于x

24、轴轴的的截截面面为为直直角角三三角角形形222Ryx RR tgxR)(2122 ytgy 21dxtgxRRR )(2122 RRdxxA)(定积分的应用课定积分的应用课件件,. 1的圆的圆计算底面是半径为计算底面是半径为 R而垂直于底面上一条固而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积定直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积.解解设截面面积为设截面面积为取坐标系如图取坐标系如图)(xA222Ryx 底圆方程底圆方程练习练习)(xA 2260 xRtg 22221xR dxxRRR )(322 223xR V3334R 2260 xRtg xyoR R定积分的应用课定积分的应用课件件oxy所所围围成成的的图图形形为为底底，及及求求以以抛抛物物线线