哈尔滨工程大学复变函数与积分变换参考答案

1、zdz 二-_2心 i1 分1 分2 分1 分1 分2 分2分1 I14解：原积分=龙z2z 12分3 分3分复变函数与积分变换参考答案与评分标准A卷2021-01-04、选择题2分/题12345DCDAD二、填空题2分/题Ji, , ,n6. -2k 二k=0, _1,_2,7. -38.2 29. e10. et -1三、计算题1 5分/题11 解：u =2x3,v =3y3,ux =6x2,Uy =0弘 二 0,vy =9y24个偏导数均连续可微根据C-R方程有6x9y n y = lx可导0=0V3不无处解析12解：列出C-R方程ux _vx 二 ux uy = 3x 6xy _3y

2、一 丨 ux=6xyi22= t c 2 c 2uy -vy 二ux uy =3x 6xy-3yUy=3x -3y注：直接应用C-R方程得到上式得3分积分u =3x2y Cy，带入得Cy y3 c，所以u =3x2y _y3 c, v - -x3 3xy2 c13 解：n 1, zzdzC1n - -1 , 口 zn z dz 二 3 ;dz - -二 i4(2分)15解：法1原积分二111 z4 1iz4z2dzzdz叫4 6z21(3 分)= = 2；ri 2(rzi 4z3 +12z(2分)法2兀d日0 1 coS2 二1二 2d t壬3 cos2v dz匕iz2z2 72 二 dt3

3、cost dzz2 6z 1(2分)1 分两个一阶极点只有= 2 2-3在|z| = 1 内，留数为 resf(zj =(z2 6z 1)142，2 1所以I =2兀i产i4/2做变换2z=e2i其余过程与法2类似。四、计算题U6分/题f (z)解析,1f( z) =(z-3)(1 -z16、解：12) f(z)=(z-3)(1 - znJ n =0 2(z-1)-23) f(z)泰勒展开n 11 一 2_n_z)爲才z 一宀十-3)(-晋2 z1 -1/ zz-1 (z1)-12旳1二(1 一丄)Z -1 n(z -1)1z -1(2分)1/ 2 、1 -z/2)(1 分)(1 分)(1分)

4、(1 分)17解 1当z=0时，当 03时，只有| 二i | 3,f (二 i)e sin匕-z2 詁Ciz2 e sin z -z-z二z在C所围内部,sin z _z).z2z=1e sin*八丄一f二2 ze sin z=1 ecosle-_:-sin 二 ind (1 分)(1分)(1分)(1 分)18 解 1) w = z3(3 分)2)五、应用题(8分)19 解 设 Lx (t)二s2X(s), Lx(t) =sX(s) 对方程两端取拉式变换，得：2 2ms X(s) = Lf (t) -m pX(s)那么 X(s)1 Lf(t)2丄2m s o禾I用L卜(t) =1丄sin kt

5、孑.k取反变换得x(t) = sin o六、证明题(5+4=9分)20、证明：1| f(z)尸 f (z) f (z) =C= f(z)，故 f (z)解析f (z)3 分4分2分2分2分利用结论“ fz, fz解析，那么fz为常数，或者根据 论。C-R方程证明此命题得到结21、证：法 I 令lim卜1，那么收敛半径R二丄,假设R 1：1，得 |an|收敛，与矛盾假设R ： 1,因为|an|收敛，即a anzn在z=1收敛，那么收敛半径R_1，与假设矛 盾。法n级数a an收敛，相当于幕级数anzn在z = 1处收敛，于是由阿贝尔定理，对于满足|z|的z，、anzn必绝对收敛，从而该级数的收敛