极限的常用求法及技巧

1、极限的常用求法及技巧引言极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。极限的方法是微积分中的基本方法，它是人们从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变的一种数学方 法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑，它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强，灵活多变。极限被称为微积分学习的 第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结，我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限(定积分)，其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限，x

2、趋于正无穷,x趋于负无穷。函数的极限等等。本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较 全面和深入的介绍.我们在解决极限及相关问题时，可以根据题目的不同选择一种或多种 方法综合求解，尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到 能够举一反三，触类旁通1数列极限的常用求法及技巧数列极限理论是微积分的基础，它贯穿于微积分学的始终，是微积分学的重要研究方 法。数列极限是极限理论的重要组成部分，而数列极限的求法可以通过定义法，两边夹方 法,单调有界法，施笃兹公式法，等方法进行求解本章节就着重介绍数列极限的一些求 法。1.1利用定义求数列极限利用定义法即利用数列极限的定义设an为数列

3、。若对任给的正数N,使得n大于N时有an a则称数列an收敛于a ,定数a称为数列a.的极限，并记作lim an a,或nan,(n)读作当n趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a例证明lnmn3n22由于3n2 n2 2因此,对于任给的0,只要-n,便有即当n(2)试成立。又因为(1)式是在n 3的条件下也成立，故应取9max 3,.在利用数列的N定义时，应意识到下几点1.的任意性 定义中的正数 的作用在于衡量数列通项 an与定数a的接近程度,越小，表示接近的愈好；而正数可以任意的小，说明an与a可以接近到任何程度然而，尽管 有其任意性，但已经给出，就暂时的被确定下来了，以便依靠它来求出

4、N.又1.2利用极限的四则运算极限的四则运算法则若an与bn为收敛数列，则anbn , an bn , an ?bn 也都是收敛数列，其有lim( an bn) lim an bnnnlim(an ?bn) lim an lim bnnnn例求 lim , n ( , n 1、. n)n1(nn(n 1. n)lim . n( . n 1、n)121.3利用单调有界定理单调有界定理即在实数系中，有界的单调数列必有极限，单调数列即若数列an的各项关系式,an 1(anan 1 )则称an为递增（递减）数列。递增数列和递减数列统称为单调数列。有界性即存在使得对于一切正整数 n,有an| M这一方法

5、是利用极限理论基本定理： 单调有界数列必有极限，其方法为:（1）判定 数列是单调有界的，从而可设其极限为 A。（2）建立数列相邻两项之间的关系式。（3） 在关系式两端取极限，得以关于 A的方程，若能解出A，问题就可以解决了。一般利用单调有界原理求极限的题目都给出了第n项和第n+1项的关系式。首先应用归纳法或“差法”，“比法”等方法证明其单调性，再证明其单调性，有界性（或先证 有界，再证单调）。由单调有界定理得出极限的存在性，然后对关系式两端求极限，例求数列a,.a aa, aa L . a 、aL a L其中（a0）极限解：设Xo a ，X17aVaJa x Xn 1Ja x. （n 1,1,

6、2.）an Cn bnXn i a Xn两边取极限得 A 、a A即A2 A a 0所以A 1一1 4a，因为A0所以A 1一1 2 2即 lim xn1.1 4a21 a例设 Xo0, a0, Xn1 = 2（Xn+ ），n=0,1,22 Xn.z证明数列Xn的极限存在，并求之。 证明:易见Xn0,n=0,1,2.所以有Xn 11 . a、2（Xn；）- Xn.Xn1 / a、1 /1=2（Xn + X；）一 2（Xna=.aXn2+ Xk）=XnXnan 1 (a“ 1 a*) (an an 1)(a? aJ a1=a1 。2 R由 0iN时则数列cn收敛，且lim cn a 。n由迫敛法

7、则可得所求极限与已知数列极限相等例求limn135(2n-1)2.4.6( 2n)解：记加為晋_ 2.4.6(2n)，yn 3.5.7(2n 1)显然Xny ,n=1.2,所以即数列Xn单调递减有下界，极限存在。记lim Xn=,n对关系式Xn1=1(X)Xn令nx取得极限得到A=. a .（其中A二，a 0(i=1 , 2,3m),记 M=maxQ.a2,am）。证明limnnnnna1 +a2 + am _Mnnn+ammM _ (n “)n _ nam Mnn证明：因M a1 +a2即 lima1+a2n+n1.5利用递推关系有些题目中数列的单调性不易证得时就不能应用单调有界定理， 此时

8、可尝试采用递推关 系应用压缩原理去解决.这些题目一般都给我们一个递推式 an 1 f（an），但单调性不易 或根本无单调性，2 2例设a1， a2为任意取定的实数，且a1 +a2丰，定义an 1 kan lam其中，k, i为正数，且k i 1,n_1,2.试求limnan证明 由k l 1,即 k1, l 1.由式得n 1l (a2 a1)2an 1 - an 1 (a“an 1) l ( an 1 an 2)c2_10Xn Xn %=亍1即 0Xn ak 3 n k可见kN时，有n1 2于是y=4XL_nn_ 1 1 2=n(2X1 3x2I 2花为3x2旦) N 1XN)旦 )N 1XN

9、)1 ( N 1n(L xn 11(n N)(An两边取上极限得lim yn an同理可证lim y A于是lim y An于是 A lim yn lnm y lim y“ An由 的任意性得lim yn an12_n_亦即lim 2X1 3二 n lXn a1.7利用stolz定理Stolz定理若所求极限为仏型，且yn是单调增加的无穷大量limnXn Xn1=a则 lim 0i=ayn yn1n Xn或Xn， yn都是无穷小量，且 yn是严格单调减少数列lim一Xna ( a 为有限量，nynyn 1)，则 lim $yn证明 yn是严格单调增加的正无穷大量，且lim Xn Xn1 a (a

10、为有限量， 与nyn yn 1yn证：(1)考虑a= 0的情况由 lim Xn XnnYnn 1Yn 1,N,n(nXnXn 1YnYn 1N),XnXnXnXnXn 1Xn 1Xn 1YnYnynXn 1XnYnYn 1Xn 2XnYnXnXnYnXnXnXnXnYnXnYn是严格单调增加的，因此XnYnYn 1Yn 1Yn 2 LYn 1 YnYnYnXNXnYnYnYnXnYnYnXnYnXn|Yn|Yn是正无穷大量N2, n(nN2),XnYn取 N max(N,N2) 1,n(nN)有XYn当a是非零有限数时,XnXn aYn，于是由lim Xn Xn1lim XnnYn Yn 1

11、n注aYnYn 1得到lim沧0nYna 的情况从而lim &nYn12nYn首先 N, n(n N ), Xn1YnYn 1说明 Xn也严格单调增加，且从Xn Xn yn Yn可知x“是正无穷大量将前面的结论应用到，得到Xnyn limnXnlimnynyn 10XnXn 1因而limXnnyn(4)对于a的情况，证明方法类同2. Xn , yn都是无穷小量，且yn是严格单调减少数列，且lim 心 a(a为有n yn yn 1限量，与)，贝U lim丸nyna证：a为有限量因 lim Xn Xn 1limXnXn 1a，所以nynyn 1nynyn 1,N, n(nN),aXnXn 1a -

12、其中ynyn 1 02 ynyn 12(a才仏yn 1)XnXn1 (a-)(ynyn 1)采用类似定理1的证明，可以得到(a 2)(ynyn p)XnXnp (a2)(ynyn p)令P，且Xn p0，ynp0利用Stolz定理时，应注意验证题目所给数列是否满足定理的内容k kk求极限.1_2_n_limk 1n n经检验分母nn时，且单调递增，所以满足条件。令k kXn=1 +2 F，yn= nXn Xn 1 lim nYn y(kk1)n2 nCnn可得原极限=例 已知数列Xn满足条件lim (Xn Xn 2)0n证明limnXn Xn 1n显然由Stolz定理可得limnX2nX2n

13、12n=limn(X22X2n-2 X2n-3 X?n 12n (2n 1)2 lim ( X2n2 nX2n 1 + X2n-3X2n-2)=0又v limnX2n 1 X2n 一2n 1 (2n 1)即X2n 1 X2n X?n 1 X?n 22n 1 (2n 1)1 lim (X2n2 n +1X2n-2 X2n 1X2n)=0- limn(Xn Xn 1) =0n1.8利用特殊极限n1利用特殊极限法即将题目变成一些特殊的极限形如lim (1 - )=en现证明：lim(1 -)n存在。n n先建立一个不等式，设ba0,于是对任一自然数n有(n 1)bn或bn 1 an 1 (n 1)b

14、n(b a),整理后得不等式a证明：n 1 n 1b ab a(1)令 a=1+ , b=1+ ,将它们代入(1) o 由于(n 1)a nb (n 1)(1 n 1nbn(n1)anb on(11-)1 , n故有(1 丄)n1 (1 l)n，这就是说(1丄)、为递增数列。n 1nn再令a=1, b=1+丄代入(1)。由于(n 1)a nb (n 1) n(1丄)丄，故有1 (1丄)n丄,2n2n 22n 22 (1丄)n。不等式两端平方后有4 (1丄)2n，它对一切自然数n成立。联系数列的单2n2n是存n调性，由此又推得数列(1是有界的。于是由单调有界定理知道极限lim(1nn我们通常用拉

15、丁字母代该数列的极限即lim(1 l)n=en n在的。n利用该种方法应该记忆一些常用数列的极限。、 2 求 lim(1 ) n nlim(1 2)nn nlimn求极限limn(黑)nlimn(黑)=和(142n 32n 3* 4n24 2n 3)=e1.9利用定积分利用定积分求极限的方法即利用定积分的定义计算项数无限增多的无穷小量之和，有时可设法把问题化为某一函数在某一区间上的积分和的极限问题，从而利用定积分求解 有时问题呈现乘积的形式，也可试用本方法，只式要先取对数将问题转化为和的形式定积分的定义设函数f(x)在aa Xob上有界X1X2在axb中任意插入若干个分点1 Xn bX0 X1

16、 X1 X2Xn 1 Xn各小段区间的长依次为X1 X1 X0X2 X2 X1XnXn在每个小区间Xi 1Xi上任取一个点i ( Xi 1XiXi)间长度Xi的乘积f (Xi )Xi (i 1 2n)并作出和XiXn 1作函数值f ( xi)与小区nf( i)把区间a b分成n个小区间S记 max xi X2Xn如果不论对a b怎样分法也不论在小区间Xi 1 xj上点i怎样取法 只要当 0时 和S总趋于确定的极限I这时我们称这个极限I 为函数f ( x)在区间a b上的定积分 记作:f(x)dxbaf(x)dxnlim f( i)务0i 1其中f (X)叫做被积函数f(x)dx叫做被积表达式x

17、叫做积分变量a叫做积分下限b 叫做积分上限a b叫做积分区间定义 设函数f (x)在a b上有界 用分点a Xo Xi X2Xn 1 Xn b把a b分成n个小区间 Xo Xi Xi X2Xn 1 Xn记Xi Xi Xi i(i 12n)任 i Xi 1 Xi( i 1 2 n)作和nS f( i) Xii 1记 max XiX2值与区间a b的分法和定积分记作& f(X)dXXn如果当 0时上述和式的极限存在且极限i的取法无关则称这个极限为函数f(x)在区间a b上的f (x)dxnlimof( i) Xi0 i 1根据定积分的定义曲边梯形的面积为A :f(x)dx而我们经常利用积分定义中的

18、下面的式子nlimni 11(b-a) i )x( b-a)nf(x)dx利用这种方法时应注意区间的对应性例求极限limn1( sin n.2sinnsin1)n1 sin (i-1/n)i 11sin02 x=求极限limn1nn*(n 1)* (n 2)*(2n1)n11、*2n 1(1 )* (1 )* (1 )nnn设 Xn= lim 1n n*(n 1)*(n 2)* (2n 1) =lim nnnnS分析直接不能使用积分法，可先取对数，再去求解1 n 1k 1lim ln Xn二山（+ ） = 0 In （1+x）=2ln2-1nn n 0n例计算lim 1( 2n)! n nV

19、n!1 n S)!解ann!n(112n)(1 2).(1+n )、 nnn先考虑In an1 ln(1n i 1ln(1丄）丄，从而有n n1lim In anIn(1x)dxn0(1x) In(1x) 110 2|n2 1因此 lim ane2ln2 14ne1.10利用级数利用级数方法即根据数列构造相应的级数，当级数收敛时，所求数列极限为0,判别级数收敛的方法常用的如下（一）比较原则：设un与 vn是两个正项级数，若（1） 当0 1时，两级数同时收敛或同时发散；（2） 当l 0且级数 Vn收敛时，级数Un也收敛；（3） 当l 且级数 vn发散时，级数un也发散；（二）比式判别法（极限形式

20、）若 un为正项级数，且limq则Un（1） 当q 1时，级数Un也收敛；当q 1时，或q 时，级数 Un发散；注：当q 1时，）比式判别法不能对级数的敛散性作出判断，因为它可能是收敛的，也可能是发散的.例如，级数 +与 -，它们的比式极限都是lim 山 1但 n2nn Un11-2是收敛的，而 -是发散的.nn（三）根式判别法（极限形式）若 un为正项级数，且lim n un 1则（1）当I 1时，级数收敛当I 1时，级数发散注：当I 1时，根式不能对级数的敛散性作出判断例如，级数厶与 丄，二者都有nnlim n u； 1，但 丄是收敛的，而1是发散的但 是收敛的n nnn1而丄是发散的n（

21、四）积分判别法：设f是1,上非负递减函数那么正项级数f（n）与非正常积分1 f （x）dx同时收敛或同时发散；（五）拉贝判别法（极限形式）若un为正项级数，且lim n（1 血）rnUn存在，则(1)当 r1时，级数 u；收敛；当r1时，级数 u；发散；(3)当 r1时拉贝判别法无法判断构造一般项级数或构造相应的幕级数，求得其数项级数的和。利用这种方法时应注意所代入的数是否在收敛域内，否则不能用该种方法n求极限n!lim台nnn 1n解 构造级数刀 2吕！用达朗贝尔判别法有|im 2 （n n1）! n =nn （n 1） 2n!limn2n 12 ,=1 (n 1) n e(1 )nn从而级数刀 咎收敛。由收敛的必要条件得|im 咎二。nn nn+na1 2例求级数|im a +2an解构造幕级数f（x）=n xn,显然该幕级