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文档简介

1、第二章第二章 行列式行列式n n阶行列式的定义阶行列式的定义一、一、n n阶排列、逆序数阶排列、逆序数二、对换二、对换三、三、2 2,3 3阶行列式的定义阶行列式的定义四、四、n n 阶行列式的定义阶行列式的定义五、小结五、小结1n阶行列式一、一、n阶排列、逆序数阶排列、逆序数引例引例用用1 1、2 2、3 3三个数字,可以组成多少个没三个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数?有重复数字的三位数?解解1 2 1 2 3 31 12 23 3百位百位3 3种放法种放法十位十位1 12 23 31 1个位个位1 12 2 3 32 2种放法种放法1 1种放法种放法种放法种放法. .共有共有61

2、23 1 1、概念的引入、概念的引入2n阶行列式2 2、全排列及其逆序数、全排列及其逆序数同的排法?同的排法?,共有几种不,共有几种不个不同的元素排成一列个不同的元素排成一列把把 n问题问题定义定义把把 个不同的元素排成一列,叫做这个不同的元素排成一列,叫做这 个个元素的元素的全排列全排列(或(或排列排列). .nn 个不同的元素的所有排列的种个不同的元素的所有排列的种数,通常数,通常 用用 表示表示. .nnp由引例由引例1233 p. 6 npn )1( n)2( n123 !.n 同理同理3n阶行列式逆序数逆序数,ijkk 逆序:设逆序:设12,.,nk kk是一个是一个n n阶排列,如

3、果阶排列,如果ijij时,时,,ijk k构成一个逆序构成一个逆序; ;则称则称ijkk ,则构成一个顺序。则构成一个顺序。此排列中的逆序总数叫排列的逆序数,记为此排列中的逆序总数叫排列的逆序数,记为),.,(21nkkk 逆序数为偶数的排列叫偶排列,逆序数为偶数的排列叫偶排列,逆序数为奇数的排列叫奇排列。逆序数为奇数的排列叫奇排列。4n阶行列式例如例如 排列排列32514 32514 中,中, 3 2 5 1 43 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序5n阶行列式例子:例子:(1 1)1 1,2 2,3 3,4 4和和3 3,4 4,2 2,1 1是两个四阶排列,而是两个四阶排列,而1 1

4、,1 1,3 3,4 4不是。不是。(2 2)n n阶排列共有阶排列共有n!n!个,其中排列个,其中排列1,2,n1,2,n由小到由小到大按自然顺序排列,叫做大按自然顺序排列,叫做n n阶自然排列,排列中的逆阶自然排列,排列中的逆序数为序数为0 0。nnmmmkkk .),.,(2121 im其中其中为排列中排在为排列中排在ik后面比它小的数的个数。后面比它小的数的个数。(3 3)逆序数的计算:计算逆序数时,排列中的逆序)逆序数的计算:计算逆序数时,排列中的逆序 不能重复计算,也不能漏掉。通常按照下列公式计算;不能重复计算,也不能漏掉。通常按照下列公式计算;6n阶行列式例例1 1 排列排列32

5、514 32514 中,中, 3 2 5 1 43 2 5 1 4逆序数为逆序数为2 212故此排列的故此排列的逆序数为逆序数为2+1+2+0+0=52+1+2+0+0=5. .007n阶行列式例例2 2 计算下列排列的逆序数,并讨论它们的计算下列排列的逆序数,并讨论它们的奇偶性奇偶性. . 2179863541解解453689712 18 此排列为此排列为偶排列偶排列. .104543010 1 0 4 5 4 3 0 1 08n阶行列式 321212 nnn解解12 ,21 nn当当 时为偶排列;时为偶排列;14 ,4 kkn当当 时为奇排列时为奇排列. .34 , 24 kkn 1n 2

6、 n 32121 nnn1 n 2 n9n阶行列式 kkkkkk132322212123 首先我们看:首先我们看:221 22 23113 2 1kkkkkk k1k 个1k 个现在来分析逆序数:现在来分析逆序数: kkkkk|2(1)1k000|2(2) 1k|2(3)1k110n阶行列式2(1) 1 2(2) 1 2(3) 1 . 3 2 1kkk 2(123.21)1kkkk (1)22kkk2k当当 为偶数时,排列为偶排列,为偶数时,排列为偶排列,k当当 为奇数时,排列为奇排列为奇数时,排列为奇排列. .k11n阶行列式二、对换二、对换定义定义在排列中,将任意

7、两个元素对调,其余在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换对换将相邻两个元素对调,叫做将相邻两个元素对调,叫做相邻对换相邻对换mlbbbaaa11例如例如bamlbbabaa11abnmlccbbbaaa111nmlccabbbaa111baab1 1、对换的定义、对换的定义12n阶行列式2 2、对换与排列的奇偶性的关系、对换与排列的奇偶性的关系定理定理1 1一个排列中的任意两个元素对换,排列一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性改变奇偶性证明证明设排列为设排列为mlbbabaa11对换对换 与与abmlbbbaaa11除

8、除 外,其它元素的逆序数不改变外,其它元素的逆序数不改变. .b,aabba13n阶行列式当当 时,时,baab的逆序数不变的逆序数不变; ;经对换后经对换后 的逆序数增加的逆序数增加1 ,1 ,经对换后经对换后 的逆序数不变的逆序数不变 , 的逆序数减少的逆序数减少1.1.ab因此对换相邻两个元素,排列改变奇偶性因此对换相邻两个元素,排列改变奇偶性. .设排列为设排列为111lmnaabbcbca当当 时,时,ba现来对换现来对换 与与a.b14n阶行列式次相邻对换次相邻对换mnmlccbbabaa111次相邻对换次相邻对换1 mnmlccabbbaa111,111nmlcbcbabaa次相

9、邻对换次相邻对换12 m111,lmnaa bb acbc所以一个排列中的任意两个元素对换,排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性奇偶性. .abnmlccbbbaaa111abab15n阶行列式推论推论奇排列调成自然排列的对换次数为奇数,奇排列调成自然排列的对换次数为奇数,偶排列调成自然排列的对换次数为偶数偶排列调成自然排列的对换次数为偶数. .证明证明 由定理由定理1 1知对换的次数就是排列知对换的次数就是排列奇偶性的奇偶性的变化次数变化次数, ,而自然排列是偶排列而自然排列是偶排列( (逆序数为逆序数为0),0),因因此此知推论成立知推论成立. .16n阶行列式 在全部

10、在全部 阶排列中阶排列中 , ,奇偶排列各占奇偶排列各占一半一半. .为为n!/2n!/2。 n 2 n定理定理2 2证证 设在全部设在全部 阶排列中有阶排列中有 个奇排列个奇排列, , 个偶个偶排列排列, ,现来证现来证 . . nstts 将将 个奇排列的前两个数对换个奇排列的前两个数对换, ,则这则这 个奇排个奇排列全变成偶排列列全变成偶排列, ,并且它们并且它们彼此不同彼此不同, ,所以所以ss. ts 若将若将 个偶排列的前两个数对换个偶排列的前两个数对换, ,则这则这 个偶排列个偶排列全变成奇排列全变成奇排列, ,并且它们并且它们彼此不同彼此不同, ,于是有于是有tt. st 故必

11、有故必有. ts 注:不同的奇排列变成的偶排列应该包含在已经注:不同的奇排列变成的偶排列应该包含在已经存在的所有偶排列内。存在的所有偶排列内。17n阶行列式用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ,得,得两式相减消去两式相减消去2x三、三、2 2,3 3阶行列式的定义阶行列式的定义1 1、二阶行列式的引入、二阶行列式的引入18n阶行列式;212221121122211baabxaaaa )(,得,得类似地,消

12、去类似地,消去1x,211211221122211abbaxaaaa )(时时,当当021122211 aaaa方程组的解为方程组的解为,211222112122211aaaabaabx )(3.211222112112112aaaaabbax 由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.19n阶行列式 由四个数排成二行二列(横排称行、由四个数排成二行二列(横排称行、竖排竖排称列)的数表称列)的数表)4(22211211aaaa)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式,并并记记作作)所所确确定定的的二二阶阶称称为为数数表表(表表达达式式 即即.2112221122

13、211211aaaaaaaad20n阶行列式11a12a22a21a主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa 二阶行列式的计算二阶行列式的计算若记若记,22211211aaaad .,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式1221a a21n阶行列式 .,22221211212111bxaxabxaxa22211211aaaad 22n阶行列式 .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababd .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaad 23n阶行列式 .,

14、22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababd .,22221211212111bxaxabxaxa.2211112babad 24n阶行列式则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为,2221121122212111aaaaababddx 注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式. .2221121122111122aaaababaddx 25n阶行列式 .12,12232121xxxx求求解解二二元元线线性性方方程程组组解解1223 d)4(3 , 07 112121 d,14 121232 d,21 ddx11 , 2714 ddx

15、22 . 3721 26n阶行列式2、三阶行列式、三阶行列式333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列列的的数数表表行行个个数数排排成成设设有有,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa(6 6)式称为数表()式称为数表(5 5)所确定的)所确定的. .27n阶行列式323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算322113312312

16、332211aaaaaaaaa d333231232221131211aaaaaaaaad . .列标列标行标行标333231232221131211aaaaaaaaad 28n阶行列式333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号,蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号,蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明1 1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列对角线法则只适用于二阶与三阶行列式式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 29n阶行列式2-43-122-4-

17、21d 计计算算三三阶阶行行列列式式按对角线法则,有按对角线法则,有 d4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 30n阶行列式. 094321112 xx求解方程求解方程方程左端方程左端1229184322 xxxxd, 652 xx2560 xx由由解解得得3.2 xx或或31n阶行列式 如果三元线性方程组如果三元线性方程组 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式的系数行列式333231232221131211aaaaaaaaad , 0 利用三阶行列式求

18、解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 2 2. . 三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行, ,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积, ,其中三项为正其中三项为正, ,三项为三项为负负. .32n阶行列式 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabd 若记若记333231232221131211aaaaaaaaad 或或 121bbb33n阶行列式 ;,333323213123232221211313212111

19、bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaad 34n阶行列式 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabad 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaad 35n阶行列式 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,33331232211311

20、12abaabaabad 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa.3323122221112113baabaabaad 36n阶行列式,3333123221131112abaabaabad .3323122221112113baabaabaad 则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为: :,11ddx ,22ddx .33ddx 333231232221131211aaaaaaaaad ,3332323222131211aabaabaabd 37n阶行列式例例5 5 解线性方程组解线性方程组 . 0, 132, 2

21、2321321321xxxxxxxxx由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式111312121 d 111 132 121 111 122 131 5 , 0 38n阶行列式同理可得同理可得1103111221 d, 5 1013121212 d,10 0111122213 d, 5 故方程组的解为故方程组的解为: :, 111 ddx, 222 ddx. 133 ddx39n阶行列式四、四、n 阶行列式的定义阶行列式的定义三阶行列式三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaad 322113312312332211aaaaaaaaa 3321123223113122

22、13aaaaaaaaa 说明说明(1 1)三阶行列式共有)三阶行列式共有 项,即项,即 项项6!3(2 2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的)每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积乘积1 1、概念的引入、概念的引入40n阶行列式(3 3)每项的正负号都取决于位于不同行不同列)每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列的三个元素的下标排列例如例如322113aaa列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为 3121 12, 322311aaa列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为 132101, 偶排列偶排列奇排列奇排列正号正号 ,负号负号 12311121321222312331

23、3233( 1).pppaaaaaaaaaaaa 41n阶行列式2、n 阶行列式的定义阶行列式的定义12212111212122212( 1).nppnpnnnnnnnnnaaaaaaaaadaaa l ll ll lm mm mm ml l由由个个数数组组成成的的阶阶行行列列式式等等于于所所有有取取自自不不同同行行不不同同列列的的个个元元素素的的乘乘积积的的代代数数和和记记作作定义定义det(),det(),ijad简简记记作作或或者者或或者者| |d d| |的的元元素素称称为为行行列列式式数数)det(ijijaa42n阶行列式121 2np ppn llll其其中中为为自自然然数数 ,

24、 , , 的的一一个个排排列列,为为这这个个排排列列的的逆逆序序数数 121212111212122212121nnnnnnnnnp ppppnpp ppaaaaaadaaaaaa l ll ll ll ll l l l l l l l l l l l l ll ll l43n阶行列式说明说明1 1、行列式是一种特定的算式,它是根据求解方、行列式是一种特定的算式,它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的定义的; ;2 2、 阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和; ;n!n3 3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的

25、每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积; ;nn4 4、 一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆; ;aa 5 5、 的符号为的符号为nnpppaaa2121 121.np pp l l44n阶行列式例例6 6计算对角行列式计算对角行列式0004003002001000分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是43214321ppppaaaa41 p若若, 011 pa从而这个项为零,从而这个项为零,所以所以 只能等于只能等于 , , 1p4同理可得同理可得1, 2, 3432 ppp解解45n阶行列式0004003002001000 43

26、2111 2 3 4 .24 即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为.aaaa41322314例例7 7 计算上计算上三角行列式三角行列式nnnnaaaaaa0002221121146n阶行列式分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是.2121nnpppaaa,npn , 11 npn, 1, 2, 3123 ppnpn所以不为零的项只有所以不为零的项只有.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211 1211221nnna aa l ll l.2211nnaaa 解解47n阶行列式例例8 8?8000650012404321 d443322118000650

27、012404321aaaad .1608541 48n阶行列式同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaa 49n阶行列式n 21 .12121nnn ;21n n 21例例9 9 证明证明对角行列式对角行列式50n阶行列式n 21 12112,111n nnnna aa l ll l .12121nnn 证明证明第一式是显然的第一式是显然的, ,下面证第二式下面证第二式. .若记若记,1, iniia 则依行列式定义则依行列式定义11,21nnnaaa 证毕证毕51n阶行列式例例1010设设nnnnnnaaaaaaaaad2

28、122221112111 nnnnnnnnnnabababaabababaad221122222111112112 证明证明.21dd 证证由行列式定义有由行列式定义有52n阶行列式 1212121112121222112121nnnnp ppnppnpp ppnnnnaaaaaadaaaaaa l ll ll ll ll ll l l l l l l l l l l l l ll lnnnnnnnnnnabababaabababaad221122222111112112 121212121 2121nnnnp ppnpppppnpp ppaaab l ll ll ll ll l 和和 的关系

29、是的关系是i-i-j=kj=kijakb53n阶行列式由于由于,2121npppn 所以所以 12121211221.nnnp ppppnpp ppdaaad 121212121 22121nnnnp ppnpppppnpp ppdaaab 121212121nnnp ppppnpp ppaaa 故故54n阶行列式111213212223313233( ),( )aaafaaaaaaf 例例1 1设设求求多多项项1 1式式的的次次数数。,( ,1,2,3),iiijijaijbi jaij 解解:记记则则123123123(,)123,( )( 1)(1),jjjjjjjjjfbbb l l可

30、可以以看看出出,上上式式中中有有一一项项为为55n阶行列式112233112233()()()(2).b b baaa l l3(2)3 式式是是一一个个 次次多多项项式式,首首项项为为;(1)3式式的的其其余余项项是是次次数数小小于于 的的多多项项式式或或常常数数,3( )3f 不不含含的的同同类类项项,故故为为 次次多多项项式式。56n阶行列式例例1212 用行列式定义计算用行列式定义计算000000000535243423534333231252423222113125aaaaaaaaaaaaaaaad 57n阶行列式的非零元素分别得到的非零元素分别得到行可能行可能中第中第那么,由那么,

31、由行的元素分别为行的元素分别为中第中第设设5 , 4 , 3 , 2 , 1,5 , 4 , 3 , 2 , 1554321554321daaaaadppppp解解. 3 , 2; 3 , 2; 5 , 4 , 3 , 2 , 1; 5 , 4 , 3 , 2 , 1; 3 , 254321 ppppp. 05,554321 dppppp故故元排列也不能组成,元排列也不能组成,一个一个在上述可能取的代码中在上述可能取的代码中因为因为58n阶行列式评注评注本例是从一般项入手,将行标按标准本例是从一般项入手,将行标按标准顺序排列,讨论列标的所有可能取到的值,并注顺序排列,讨论列标的所有可能取到的值

32、,并注意每一项的符号,这是用定义计算行列式的一般意每一项的符号,这是用定义计算行列式的一般方法方法. 2于零于零还多,则此行列式必等还多,则此行列式必等素比素比阶行列式中等于零的元阶行列式中等于零的元如果一个如果一个nnn 注意注意59n阶行列式 例例13. 13. 证明:乘积证明:乘积 是是5 5阶行列式阶行列式 的项,该项前面的符号由行标排列与列标排列的逆序的项,该项前面的符号由行标排列与列标排列的逆序数之和决定:数之和决定:4311543225aaaaa 5ija)3, 1 , 4 , 2, 5()4 , 1 , 5 , 3, 2() 1( k证明:由数的乘法交换律可得,证明:由数的乘法

33、交换律可得,54433225114311543225aaaaaaaaaa 且且1,5,2,3,41,5,2,3,4是一个是一个5 5阶排列,阶排列,故故 是是5 54311543225aaaaa阶行列式可能的项,阶行列式可能的项,按照行列式的定义它的符号为按照行列式的定义它的符号为1) 1()4 , 3, 2, 5 , 1( 又又1)1()00214()00211( k所以结论成立。所以结论成立。60n阶行列式 事实上,上述结果可推广到事实上,上述结果可推广到n n阶行列式的任阶行列式的任意一项。我们给出下面的一个引理。意一项。我们给出下面的一个引理。 12121 12 21212(,)(,)

34、() , , ,( 1)(1)nnn nijnnni iijjji ji ji jaai iijjjnaaaa l ll ll ll ll ll l l l设设与与是是两两个个阶阶排排列列,则则引引是是理理的的项项。121212(,)(,)12,(1)( 1),(2)nnni iijjjllnlsa aa l ll ll ll l l l:由由乘乘法法交交换换律律可可以以经经过过 次次互互换换两两个个因因子子的的次次序序写写成成证证明明61n阶行列式12,nl llnl l其其中中,是是一一个个 阶阶排排列列。同同时时,行行标标1212,nni iijjjsl ll l排排列列与与列列标标排排

35、列列分分别别经经过过121,2,nnllll ll l次次对对换换变变到到与与,它它们们的的奇奇偶偶性性2ss分分别别改改变变了了 次次,总总共共改改变变了了偶偶数数次次,故故121212(,)(,)(1,2, )(,)( 1)( 1)nnniiijjjnlll l ll ll ll l12(,)( 1)nlll l l(1)a这这说说明明是是行行列列式式的的项项。62n阶行列式12121 12 212(,)(,),( 1)nnn nniiijjji ji ji jjjjaaaa l ll ll ll l由引理可得到下面的推论:由引理可得到下面的推论:推论推论1 1 设设 是一个确定的是一个确

36、定的n n阶排列,则阶排列,则niii,21推论推论2 2 121212(,)12,( 1)nnniiiiii niiiaa aa l ll ll l63n阶行列式例例14 14 试判断试判断 和和655642312314aaaaaa662551144332aaaaaa 是否都是六阶行列式中的项是否都是六阶行列式中的项. .解解655642312314aaaaaa下标的逆序数为下标的逆序数为4312653200106 所以所以 是六阶行列式中的项是六阶行列式中的项. .655642312314aaaaaa662551144332aaaaaa 下标的逆序数为下标的逆序数为 4523168 所以所

37、以 不是六阶行列式中的项不是六阶行列式中的项. .662551144332aaaaaa 因为所带符因为所带符号不一致号不一致64n阶行列式例例1515 在六阶行列式中,下列两项各应带什么符号在六阶行列式中,下列两项各应带什么符号. .;)1(651456423123aaaaaa.)2(256651144332aaaaaa解解651456423123)1(aaaaaa431265431265的逆序数为的逆序数为320010 , 6 所以所以 前边应带正号前边应带正号. .651456423123aaaaaa,655642312314aaaaaa65n阶行列式行标排列行标排列341562341562的逆序数为的逆序数为列标排列列标排列234165234165的逆序数为的逆序数为1 1 10104 所以所以 前边应带正号前边应带正号. .256651144332aaaaaa256651144332)2(aaaaaa2201 106 66n阶行列式例例1616 用行列式的定义计算用行列式的定义计算nndn0000000010020001000 67n阶行列式 !.1221ndnnn 221 nn解解 1,12,21,11nnnnnndaaaa l l 1 1 21nn l l 1!,n 1221nnn l

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