312空间向量的数乘运算

1、共线向量与共面向量共线向量与共面向量平面向量概念加法减法运算律定义 表示法 相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量)()(cbacbaabba加法交换律加法结合律abba加法交换律)()(cbacba加法结合律类比思想回回 顾顾回回 顾顾aobb结论结论：空间任意两个向量都可：空间任意两个向量都可平移平移到同到同一个平面内，成为同一平面内的向量一个平面内，成为同一平面内的向量. .ba一、空间向量数乘运算一、空间向量数乘运算1.1.实数实数 与空间向量与空间向量 的乘积的乘积 仍然仍然是一个是一个向量向量. .当 时， 当 时， 与向量 方向相同；

2、与向量 方向相同； 是零向量.aa00aaaa当 时，0a（1）方向：方向：（2）大小：）大小： 的长度是 的长度的 倍.a|a2.2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律空间向量的数乘运算满足分配律及结合律3(2)2(3 )_.abab 练习：问题问题：平面向量中，平面向量中，) 0(/bba.ab的充要条件是：存在唯一的充要条件是：存在唯一的实数的实数 ，使，使能否推广到空间向量中呢？能否推广到空间向量中呢？零向量与任意向量共线零向量与任意向量共线. .二、共线向量共线向量: :如果表示空间向量的有向如果表示空间向量的有向线段所在直线互相线段所在直线互相平行平行或或重合重合, ,则这些向量

3、则这些向量叫做叫做共线向量共线向量( (或或平行向量平行向量),),记作记作ba /)0(/bba)0(bba)0(/bba作用：作用：由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题 共线向量定理共线向量定理: : 对空间任意两个向量对空间任意两个向量 ， 。 存在实数存在实数, ,使使a(0).ab b )0(/bba)0(bba)0(bb如图，如图，l 为经过已知点为经过已知点a且平行已知非零向量且平行已知非零向量 的直线，的直线，aal/atap 对空间任意一点对空间任意一点o,oaopap所以a toaopa toaop即 若在若在l上取上取 则有则有

4、abtoaop和都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间和都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一决定一点及直线的方向向量唯一决定.由此可判断空间任意三点共线由此可判断空间任意三点共线。.alabpo若点若点p p是直线是直线l上任意一点，则上任意一点，则 由由 知存在唯一的知存在唯一的t, 满足满足aab因为因为 ,bboaoa所以所以 )a( taopooboobtoat)1 (特别的，当特别的，当t = 时，时，21)b(21opooa则有则有aabpoabtoaop进一步进一步，oboaop_还可表示为：opt1-tp点为点为a,b 的中点的中点练习

5、练习1.对于空间任意一点对于空间任意一点o，下列命题正，下列命题正确的是：确的是：a.若，则若，则p、a、b共线共线b.若，则若，则p是是ab的中点的中点c.若，则若，则p、a、b不共线不共线d.若，则若，则p、a、b共线共线 opoatab3 opoaab opoatab opoaaba、b、p三点共线三点共线abtoaopabtap ) 1(apyxobyoxoaoabp三、共面向量三、共面向量: :1.1.共面向量共面向量: :平行平行于同一平面的向量于同一平面的向量, ,叫做叫做共面向量共面向量. .注意：注意：空间任意两个向量是共面的，但空间空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向

6、量任意三个向量既可能共面，也可能不共面既可能共面，也可能不共面dbac 如果空间向量如果空间向量 与两不共线向量与两不共线向量 ， 共共面，那么可将三个向量平移到同一平面面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则，则有有 byxppb那么什么情况下三个向量共面呢？那么什么情况下三个向量共面呢？2211eeaaa1e2e反过来，对空间任意两个不共线的向量反过来，对空间任意两个不共线的向量 ， ，如，如果果 ，那么向量，那么向量 与向量与向量 , 有什么位有什么位置关系？置关系？abbyxpab共线，分别与 bbya, a x确定的平面内，都在 bbya, ax确定的平面内，并且此平行四边形在 ba

7、共面，与即确定的平面内，在bbbyap,aaxpababpp cp2.共面向量定理：如果两个向量共面向量定理：如果两个向量 ， 不共线不共线，byaxpabpab 则向量则向量 与向量与向量 ， 共面的充要共面的充要条件是条件是存在实数对存在实数对x, ,y使使ababpp 推论推论:空间一点空间一点p p位于平面位于平面abcabc内的充要条件是存在有内的充要条件是存在有序实数对序实数对x, y,使使acyabxapcoocoboaop(_)(_)(_)ababpp 对空间任一点对空间任一点o,o,有有填空：填空：1-1-x- -yxyacyabxoaopc 式称为空间平面式称为空间平面ab

8、c的向量表示式，空间中任意平面的向量表示式，空间中任意平面由空由空 间一点及两个不共线的向量唯一确定间一点及两个不共线的向量唯一确定.作用：作用：由此可判断空间任意四点共面由此可判断空间任意四点共面p与与a,b,c共面共面acyabxapacyabxoaop(1)opxoayobzocxyz oaopocob3) 1 (例例3.已知已知a、b、c三点不共线，对于平面三点不共线，对于平面abc外外的任一点的任一点o，确定在下列各条件下，点，确定在下列各条件下，点p是否与是否与a、b、c一定共面？一定共面？ocoboaop 4)2(例例4.如图，已知平行四边形如图，已知平行四边形abcd，过平，过平面面ac外一点外一点o作射线作射线oa、ob、oc、od，在四条射线上分别取点在四条射线上分别取点e、f、g、h，并且使，并且使求证：求证：四点四点e、f、g、h共面；共面；平面平面eg/平面平面ac.,oeofogohkoaobocodobahgfecd 共线向量共线向量 共面向量共面向量定义定义向量所在直线互相平向量所在直线互相平行或重合行或重合平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫叫做共