41正弦和余弦2

1、锐角三角函数锐角三角函数本章内容第第4章章正弦和余弦正弦和余弦本课内容本节内容4.1做一做做一做 画一个直角三角形，其中一个锐角为画一个直角三角形，其中一个锐角为65，量出，量出65角的对边长度和斜边长度，计算角的对边长度和斜边长度，计算=65=角的角的对对边边斜斜边边 与同桌和邻桌的同学交流，与同桌和邻桌的同学交流， 看看计算出的比值看看计算出的比值是否相等（精确到是否相等（精确到0.01）. 如下图所示，如下图所示，（1）和（和（2）分别是小明、小亮）分别是小明、小亮画的直角三角形，其中画的直角三角形，其中a=a= 65， c=c= 90.（1）（2）小明量出小明量出a的对边的对边bc=3

2、cm，斜边，斜边ab=3.3cm，算出：，算出：小亮量出小亮量出a的对边的对边bc=2cm， 斜边斜边ab=2.2cm， 算出：算出： （1）（2）210.2.211a 的的对对边边斜斜边边 310.3.311a 的的对对边边斜斜边边 这个猜测是真的吗这个猜测是真的吗？ 若把若把65角换成任意角换成任意一个锐角一个锐角 ，则这个角的对边与斜边的比值是否，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢也是一个常数呢？ 由此猜测：在有一个锐角为由此猜测：在有一个锐角为65的所有直角的所有直角三角形中，三角形中，65角的对边与斜边的比值是一个常角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于数，它等于10.11

3、探究探究 如图，如图，abc和和def都是直角三角形，都是直角三角形，其中其中a=d= . c=f=90，则则成立吗成立吗？为什么为什么？bcefabde a=d = ， c=f= 90 ，def.rtabc rt.bc deab ef即即.bcabefde .bcefabde 这说明，在有一个锐角等于的所有直角三角形中，这说明，在有一个锐角等于的所有直角三角形中， 角的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的角的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关大小无关. .结论结论如图，在直角三角形中，我们把锐角的对边与如图，在直角三角形中，我们把锐角的对边与斜边的比叫作角的正弦，记作斜

4、边的比叫作角的正弦，记作sin ，即，即sin 角 的角 的对对边边斜斜边边 根据根据 “在直角三角形中，在直角三角形中， 30角所对的直角边角所对的直角边等于斜边的一半等于斜边的一半”， 容易得到容易得到 sin 30 =1.2举举例例例例1 如图所示，在直角三角形如图所示，在直角三角形abc中，中，c=90， bc=3，ab=5.（1）求）求sina的值的值；（2）求）求sinb的值的值.解解a的对边的对边bc=3，斜边，斜边ab=5. 于是于是3sin5bca = = ab. .（1）求）求sina的值的值；解解b的对边是的对边是ac，根据勾股定理，得，根据勾股定理，得 ac2 = ab

5、2- -bc2 = 52- -32 = 16.于是于是 ac = 4.（2）求）求sinb的值的值.因此因此4sin5acb = =ab. .练习练习1. 如图，在直角三角形如图，在直角三角形abc中，中，c=90， bc=5，ab=13.（1）求）求sina的值；的值；（2）求）求sinb的值的值答：答：513 . .答：答：1213 . .如图，在平面直角坐标系内有一点如图，在平面直角坐标系内有一点p（3，4），连接连接op，求，求op与与x轴正方向所夹锐角的正弦值轴正方向所夹锐角的正弦值. .2.解解如图，设点如图，设点a（3，0），连接连接p a . .a在在apo中中，由勾股定理得，

6、由勾股定理得4sin5ap = op= .= . 因此因此2222345.opoaap动脑筋动脑筋如何求如何求sin 45的值的值？如图所示，构造一个如图所示，构造一个rtabc，使，使c=90，a=45.于是于是 b=45.从而从而 ac=bc根据勾股定理，得根据勾股定理，得ab2=ac2+bc2=bc2+bc2=2bc2.于是于是 ab= bc.2因此因此 12sin45222 bcbc= =.abbc 动脑筋动脑筋如何求如何求sin 60的值的值？ 如图所示，构造一个如图所示，构造一个rtabc ，使，使b=60，则，则a=30，从而，从而 .12bcab 根据勾股定理得根据勾股定理得

7、ac2=ab2- -bc2=ab2- - 221324 ab =ab .32ac =ab.于是于是因此因此3sin602ac=.ab 例如求例如求50角的正弦值，可以在计算器上依次按键角的正弦值，可以在计算器上依次按键 ，显示结果为，显示结果为0.7660 至此，我们已经知道了三个特殊角至此，我们已经知道了三个特殊角（30，45，60）的正弦值，而对于一般锐角的正弦值，而对于一般锐角 的正弦值，我们可以利用计算的正弦值，我们可以利用计算器来求器来求. . 如果已知正弦值，我们也可以利用计算器如果已知正弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角求出它的对应锐角. . 例如，已知例如，已知 =0.

8、7071，依次按键，依次按键 ，显示结果为，显示结果为44.999，表示角表示角 约等于约等于45. .sin（1） 0.64280.267231.5做一做做一做 （3） 若若 =0.5225，则，则 （精确到（精确到0.1）；）；（4） 若若 =0.8090，则，则 （精确到（精确到0.1）.利用计算器计算：利用计算器计算：sin40 （2） sin15 30 sinsin（精确到（精确到0.0001 ）；）；（精确到（精确到0.0001 ）；）；54.0举举例例例例2 2计算：计算：sin230- - sin45+sin260222123222213144 sin230- - sin45+

9、sin260解解20 . .sin230. . 我们把（我们把（sin30）2简记为简记为1.用计算器求下列锐角的正弦值（精确到用计算器求下列锐角的正弦值（精确到0.0001）：）： （1）35； （2）6536； （3）8054.练习练习解解:1 sin 350.5736 = ； （） 2 sin65 360.9107 ； = （ ） .3 sin80 54 0.9874 = （ ） 解解:153.8 ; （ ） 260.0 . （ ） 2.已知下列正弦值，用计算器求对应的锐角已知下列正弦值，用计算器求对应的锐角（精确到（精确到0.1）：）：（1）sin =0.8071； （2）sin =0

10、.8660. 3. 计算：计算： （1） sin260+sin245；解解（1） sin260+sin24522322254.（2） 1- -2sin30sin60 131222312232.（2） 1- -2sin30sin60.探究探究 如下图所示，如下图所示， abc和和def都是直角三角形，都是直角三角形， 其中其中a=d=，c=f=90，则，则成立吗成立吗？为什么为什么？acdfabde a=d= ，c=f=90，b=e.sinsin,be 从而从而因此因此.acdfabde 由此可得，在有一个锐角等于由此可得，在有一个锐角等于 的所有的所有直角三角形中，角直角三角形中，角 的邻边与

11、斜边的比值是的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关一个常数，与直角三角形的大小无关结论结论结论结论 如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角的邻边与斜边的比叫作角的邻边与斜边的比叫作角 的余弦，记作的余弦，记作 ，即即cos 斜边斜边cos 角角 的邻边的邻边 从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 ，有有 从而有从而有 cos= sin. ()() - -sin= cos. ( () ) - -举举例例例例3 求求cos30，cos60，cos45的值的值 解解3cos30sin 9030sin602=-

12、 - (),(),1cos60sin 9060sin302= - - (),(),2cos45sin 9045sin452=- - ().(). 对于一般锐角对于一般锐角 （30，45，60除外）除外）的余弦值，我们可用计算器来求的余弦值，我们可用计算器来求. . 例如求例如求50角角的余弦值的余弦值，可在，可在计算器上计算器上依次依次按键按键 ，显示结果为，显示结果为0.6427 如果已知余弦值，我们也可以利用计算器如果已知余弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角求出它的对应锐角. . 例如，已知例如，已知 =0.8661，依次按键，依次按键 ，显示结果为，显示结果为29.9914，表示

13、角，表示角 约等于约等于30. .cos （3） 若若 =0.9659，则，则 （精确到（精确到0.1）；）；（4） 若若 =0.2588，则，则 （精确到（精确到0.1）.（1） 0.96590.632015.0做一做做一做利用计算器计算：利用计算器计算：cos15 （2） cos50 48 coscos（精确到（精确到0.0001 ）；）；（精确到（精确到0.0001 ）；）；75.0举举例例2312322222.2 2cos303cos602cos 45解解例例4计算：计算：2cos303cos602cos 45练习练习1. 如图，在如图，在rtabc中，中，c=90， ac=5，ab=

14、7. 求求 cos a，cos b 的值的值答：答：52 6coscos77a= b= , ., .2. 用计算器求下列锐角的余弦值用计算器求下列锐角的余弦值（精确到（精确到0.0001）：）： （1）35； （2）6812；（；（3）942.答：答： （1） cos 35= 0.8192;（2） cos6812= 0.3714;（3） cos942= 0.9857.（1） cos=0.1087； （2） cos=0.7081.3.已知下列余弦值，用计算器求对应的锐角已知下列余弦值，用计算器求对应的锐角（精确到（精确到0.1）. .解解:183.8 ; （ ） 244.9 . （ ） （2）

15、1- -2cos30cos45.4. .计算：计算：（1） ；22cos 60sin 45 12cos30 cos4532122261226.2（2） 1- -2cos30cos452222cos 60sin 4512()2211421.4 （1）解解中考中考 试题试题例例1 20050 12sin45cos60112.2 + + -()()()()解解20050 12sin45cos6011222 11= 21 12223= 4- + + + .()()()()中考中考 试题试题例例2 已知已知为锐角，为锐角， ，则，则 的值为的值为（ ）. . a. . b. c. d. 不能确定不能确定1cos 902 = - -()()sin 123233解解cos 90= sin - -(),(), 由互为余角的三角函数间的关系知由互为余角的三角函数间的关系知又