立体几何大题训练及答案

1、1、如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（ 1）线段的中点为，线段的中点为，E求证：；F M .（ 2）求直线与平面所成角的正切值.AB解：（ 1）取 AB 的中点为 N ，连 MN ,PN,则MN/EB, PN/BC.DC面PMN EBC PM / 平面 BCE FEEBCFCE CF BCE tanPFCEBFE6AB / / DE (1) 求证： AO 平面 CDE；AEC6(2) 求直线 BD与平面 CBE所成角的正弦值CEOD3、如图， 在 ABC 中，C90 ， ACBC3a ，点 P 在 AB 上， PE / BC 交 AC 于E， PF / AC

2、交 BC于 F 沿 PE将 APE翻折成A PE ，使平面 A PE平面ABC ；沿 PF 将 BPF 翻折成 BPF ，使平面 B PF平面 ABC （ 1）求证： B C / 平面 A PE ；（ 2）若 AP2PB ，求二面角A PCE 的平面角的正切值CEAA BCEAFPFPBB解：（ 1）因为 FC / PE ， FC平面 A PE ，所以 FC / 平面APE 因为平面 A PE 平面 PEC ，且 A E PE ，所以 A E平面 ABC 同理， B F平面 ABC ，所以 BF / AE ，从而 BF / 平面 A PE 所以平面 B CF / 平面 A PE ，从而 B C

3、 / 平面 A PE （ 2）因为 ACBC 3a ， AP 2BP ，2 分4 分6 分所以 CEa ， EA2a ， PE2a ， PC5a 8 分过 E作 EMPC，垂足为 M，连结 A M ABCEMAFPB（第 20 题）由（ 1）知 A E平面 ABC ，可得 A EPC ，所以 PC 面AEM ，所以 AMPC 所以 A ME 即为所求二面角APCE 的平面角，可记为12 分在 Rt PCE 中，求得 EM25 a ，5A E2a5 15 分所以 tan2EM5a54、如图，DA平面 ABC， ED平面 BCD， DE=DA=AB=AC. BAC1200 ， M为 BC中点 .(

4、1) 求直线 EM与平面 BCD所成角的正弦值；E(2)P 为线段 DM上一点，且APDM，求证： APDAPC解： (1)ED 平面 BCD ，为在平面上的射影，M为与平面所成角2 分 BQ DA平面 ABC ，设，又 Q DA ABAC ，在 ABC 中， Q ，又Q 为中点，DMBC ，BM13 5分BCa ，22在 Rt EDM 中， EMDE2 DM 23 a ，2sinEMDDEa27EM33a22 ABACMBCBCAMDAABCBC DA91113EDBCD145ABCD1AFABCD CE AF CEAF (1)1BDEFE2AF1BEACE3 2F10AD1BD ACABC

5、DBCBD AC 2AFABCD AF BD 4BDACEF 6BD EF 72OE1BDACEFBEOBEACE10AFABCD CE AFCEABCD CE BCBC=1 AF 1CEBE12BO22Rt BEOsinBEOBO23 213BE2 1210141536AA1ABC ABBC ,CC1 / AA1, AB BC AA1 2,CC1 1, D, EAB, AA1.1A(1)BC1/CDE(2)EDCA.CE1ACDB1ACR1RECFACCR1REDFDABDFABCR1RBCR1R7FACR1R(2) AHCDHHEAAR1RABCAAR1R DCCDAHECD EHAHEE

6、CDA. 11DABAHBCDBCDAH 255AEHtan AHEAE5AH25 .27,1P2.Q1CA 2B, 2628 1012148ABC A1 B1 C1ABCACB 900AA1 =2 D ECC1A1BEABDABD.(1)DE11AC1BEDACB9ABC A1B1C1ABCB=90 ,DBB1B11DA1CAA1C1C2AA1A1121CAA DCDABBAC10P-ABCDPAABCDAB ABCD AB / DCEFABDE AB CFAB CF3,EF FB 2 GFBPAE t ADE ,BCFDE ,CFA B P PEFCD 1PD /EGC2EGPFC , D

7、GMADCDCBDCEFPED 所成角的正切值.（1）证明：连接DF 交 EC 于点 M ，连接 MGM ,G 为中点PD / MG 又PD面EGCMG面 EGCPD / 平面 EGC 5 分（2）当 EG面 PFC 时,EGPF 又G 为 FB 的中点，EFEP2，过点 G 在平面 PEFDE面 PEFt 2 7 分中作 EP 的垂线，垂足为N，连接 DN .面 PED面 PEFGN面 PEDGDN即为 DG 与平面 PED 所成角 . 11 分易求得 GN3,DN21, 所以 DG 与平面 PED 所成角的正切值为7 .14分22712、如图，在四边形ABCD 中， AB AD 4 ， B

8、CCD7 ，点为线段上的一点 .现将 DCE 沿线段 EC 翻折到 PAC ，使得平面 PAC平面 ABCE ，连接 PA ， PB .(1)证明： BD平面 PAC ；(2)若 BAD60，且点 E 为线段的中点，求直线PE 与平面 ABCE 所成角的正弦值 .PDCE解： (1)连接 AC ， BD 交于点 O , 在四边形 ABCD 中，B ABAD4， BCCD7A ABCADC ，DACBAC ,AC BD又平面 PAC平面 ABCE ，且平面 PAC平面 ABCE = AC BD平面PAC6分(2) 如图，过点 P 作 AC 的垂线，垂足为 H ，连接 EH ， EC并取 AO中点

9、 F ，连接 EF ，平面 PAC平面 ABCE ，且平面 PAC平面 ABCE = AC ， PHAC PH平面 ABCE ，PEH 即为直线 PE 与平面 ABCE 的所成角，由( ) 可知， ACBD ，且 AO2 3，CO3 ，又 PE2， PC7，设CHx ，则有PH7 x2 ， EHPE 2PH 2x23又 F 为 AO 的中点，在 RtEFH中， FH23 x ， EF1由勾股定理得， ( 2 3) 21x23，解得 x4x3 ，3 EH2 3，PH5 333直线 PE 与平面 ABCE 的所成角的正弦值即sinEH3PEH.PE313、在三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB=AC=AA1=2，平面 ABC1平面 AA1C1C， AA1C1=BAC1=60，设 AC 与 AC相交于点 O，如图1（ 1）求证： BO平面 AA C C；B11B（ 2）求二面角 B AC A 的大小。1111C1CAO1A14、如图 1，四面体 PABC中，BC=BP=1，AC=AP=