(完整版)高中数学第一章基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)练习

1、1.2.1几个常用函数的导数122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)A基础达标1(sinx) = cosx;122若f(x)=x，则f=-27；3(ex) ex;14(log4x)、xnr-其中正确的有()A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个“ 1 -2解析：选 D.因为(sinx) = cosx，所以正确；f (x) =一2= (x) =- 2x x213,则f=27，所以正确；因为(ex) = ex，所以正确；因为(log4x) =xin 4,所以正确.a1 12.若幕函数f(x) =mx的图象经过点A4, 2，则它在点A处的切线方程是()A. 2xy= 0B. 2x

2、+y= 0C. 4x 4y+ 1 = 0D. 4x+ 4y+ 1 = 0解析：选 C.因为函数f(x) = mf 为幕函数，所以 m= 1.又幕函数f(x) =xa的图象经过111 1 1 1点A4, 2，所以a= 2,所以f(x) =x2,f (x)=,f4 = 1，所以f(x)的图象在1 1点A处的切线方程为y 2=x 4，即 4X 4y+ 1 = 0._ n 1 一_一3.过曲线y= cosx上一点 P ,且与曲线在点P处的切线垂直的直线方程为()1. 给出下列结论： 5.已知点P在曲线y= 2sin qcos?上，a为曲线在点值范围是()D. 3+ 2y1 = 0n1解析：选 A.因为

3、y=cos ，所以y一sin ，曲线在点Py，2 处的切线斜率是y，1n= sin 才=，所以过点P且与曲线在点P处的切线垂直的直线的斜率为33, 所以所求的直线方程为y 1=冷x专，即 2x 3y夺+ 卓 0.y=x+1(n N*)在点(1 , 1)处的切线与轴的交点的横坐标为xn,则X14设曲线X2.Xn的值为()iA.n1B.-n+1nC.nnD. 1解析：选B.由题意得n=市，则X1X2.Xn=.二n12 34nxidh=詁 1，故选 B.3nA. , nB.7143n4n3nc. 7，-4D.u3n,n 解析：选 D.因为y= 2sin gcosghsinx,所以y= cosX,设P

4、(xo,yo).由题意，知切线的斜率存在，则曲线在点P处的切线的斜率k=tana= coso,所以一 1tana0)上点P处的切线垂直，则点P的X坐标为_ .解析：设f(x) = ex，则f(x) = ex,1所以f (0) = 1.设g(x) =x(x0),解得 XP=1.所以 R1 , 1).答案：(1 , 1)9.求与曲线y=f(x)=扳2在点P(8 , 4)处的切线垂直，且过点(4 , 8)的直线方程.曲线在点 R8 , 4)处的切线的斜率为 1.所以适合条件的直线的斜率为一3.从而适合条件的直线方程为y 8= 3(x 4)，即 3x+y 20 = 0.10.点P是曲线y= e 上任意

5、一点，求点P到直线y=x的最小距离.解：根据题意设平行于直线y=x的直线与曲线y= ex相切于点P(xo,yo)，该切点即为与y=x距离最近的点，如图.则在点P(X0,y)处的切线斜率为 1, 即y | x=x= 1.因为y= (ex) = ex,所以e*0= 1,得x= 0,代入y=e, 得y0= 1,即P(0 , 1).B 能力提升则g1(x) =x.由题意可得g(xP) = 1,解：因为y=习F,所以y=(守)=1 12 22-1 =-x3.所以f (8) = -X 8 3 =;,即3333利用点到直线的距离公式得距离为2、解：不存在.理由如下：由于yi= sinx,y2= cosx，设

6、两条曲线的一个公共点为P(xo,11. 若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有 T 性质.下列函数中具有T 性质的是()A.y= sinxB.y= Inxx3C. y= eD. y=x解析：选 A.设函数y=f(x)的图象上两点Rxi,yi),Qx2,y2)，则由导数的几何意义可知，点P,Q处切线的斜率分别为ki=f(xi),k2=f(X2),若函数具有 T 性质，则ki- k2=f(xi) f(X2) = i.对于 A 选项，f(x) = cosx，显然kik2= cosxi cosX2= iii i有无数组解，所以该函数具有T 性质

7、；对于 B 选项，f (x) =-(x0)，显然kik2=- xxiX2=i 无解，故该函数不具有 T 性质；对于 C 选项，f (x) = ex0,显然kik2= exi e, =i 无解，故该函数不具有 T 性质；对于 D 选项，f (x) = 3x20，显然kik= 3xi 3x2= i 无解，故该函数不具有 T 性质.故选 A.12. 设fo(x) = sinx，fi(x) =fo(x)，f2(x)=fi(x)，fn+1(x)=fn(x)，nN,贝yf2 oi8(x) =_ .解析：由已知fi(x) = cosx，f2(x) = sinx，f3(x) = cosx，f4(x) = si

8、nx，f5(x)=cosx，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为3，贝Uf2 oi8(x) =f2(x) = sinx.答案：sinx13.若曲线f(x) =x2在点(a, a2)(a0)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为3,求 log 3a的值.T解：由题意，得f(x) = 2x3,一2一2一3所以曲线f(x)在点(a,a)处的切线方程为ya= 2a(xa),一23a令x= 0,得y= 3a，令y= 0,得x=所以3a2x3a= 3,2 2解得a=34所以 log 3a=2.2利用点到直线的距离公式得距离为2、解：不存在.理由如下：由于yi= sinx,y2= cosx，设两条曲线的一个公共点为P(xo,14.(选做题)已知两条曲线yi= sinx,y2= cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点， 使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.y。)，所以两条曲线在P(xo,y)处切线的斜率分别为ki=y7i|x=xo= cosxo,k2=y2|x=xo= sinxo.若使两条切线互相垂直，必须使cosxo ( sinxo) = 1,即 sinxo cosxo= 1,也就是 sin 2xo= 2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互 相垂直.神马神马+ +有清华北大学貫方法论课；还有淸华学需