(完整版)高数中需要掌握证明过程的定理(一)

1、1高数中的重要定理与公式及其证明(一)考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类 繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应 该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试， 很多时候要求没有那么高。而有 些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费 力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。应深受大家敬佩的静水深流力邀，也为了方便各位师弟师妹复习，不才凭借自己 对考研数学的一点了解，总结了高数上册中需要掌握证明过程的公式定理。 这些 证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，从长远来看都是

2、应当熟练掌握的。由于水平有限，总结不是很全面，但大家在复习之初，先掌握这些公式定理证明 过程是必要的。1)常用的极限【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想1过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限lim(1 X)，e与lim沁1的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技x 0 x巧。证明：e两边同时取对数即得limln(1 x)1。x 0lim -11:在等式lim匹1_x)1中，令ln(1 x) t，则x e 1。由于极限x 0 xx 0 x过程是x 0,此时也有t 0，因此有lim亠1。极限的值与取极限的符号t0d 1是无关的，因

3、此我们可以吧式中的x彳t换成x，再取倒数即得lim-一1X0 xxln a丄e1ln a limln a。因此有x 0 x l n axa 1 limx0 xxln a:利用对数恒等式得lim -X0 xxl nae limx0 x1-，再利用第二个极限可lim31，x 0 xxe 1limx 0 xxa 11，limx 0 x1 cosxa , lim2x 0 x211:由极限lim(1x)xxln a得lim -x0 xlimlna。x0 x2lim(1 x)a 1x 0 xa:利用对数恒等式得lim(1 x)a 1x 0eal n(1 x)ie*l n(1 x)lim - a lim-x

4、 0 xx 0a ln(1 x)aln(1 x)ealn(1lim也卫ax)x0上式中同时用到了第一个和第二个极限。1 cosx lim2x 0 x21:利用倍角公式得xim0F2si n2彳00十-lim2x0.xsin2x2)导数与微分的四则运算法则III(u v) u v,d(u v) du dvIII(uv) u v uv ,d( uv) vdu udvIIu vu uvlzuvdu udv,小、() 2，d() 2(v 0)vvvv【点评】：这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。 而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，通过这几个公式可以强化相关的概 念，避免到复

5、习后期成为自己的知识漏洞。具体的证明过程教材上有，这里就不赘述了。3)链式法则(x)，如果(x)在x处可导，且f (u)在对应的u(X)处可导,则复合函数y f( (x)在x处可导可导，且有:【点评】：同上。4)反函数求导法则设函数y f (x)在点x的某领域内连续，在点xo处可导且f(x)0，并令其反函数为x g(y)，且Xo所对应的y的值为yo，则有:1 dx 1;或f (g(yo)dy dydx设y f (u), uf( (x)f(u)(X)或篇dy dudu dxg (yo)1f(xo)【点评】：同上In a【点评】：这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。实际上， 掌握这

6、几个公式的证明过程，不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点，对 极限的计算也是很好的练习。现选取其中典型予以证明 证明：x 0的情形需要另行推导，这种情况很简单，留给大家。sinx cosx:利用导数定义sin xlimsin(xx 0 x)xsinX，由和差化积公式得sin (xlimx) sinx2cos(xlimx)si n2x2cosx。cosxsinx的证明类x 0 xx0 x似。1ln x :利用导数定义ln x1lim ln(xx)lnxln(1X)1linxx 0 xx 0XXlogax1的证明类似（利用换底公式logax ）xln aIna证明类似（利用对数恒等式axexl

7、na）5）常见函数的导数sinxcosx,cosxsin x,In x-，lOgax xx1:导数的定义是f (x) limx If f（x x x x） f f（x x），代入该公式得lim(x x) xx 0(1勺1limJx 0 x1。最后一步用到了极限l,mo（1 x）aa。注意，这里的推导过程仅适用于0的情形。:利用导数定义e：e(x x)exlimx0 xlimx 0 xxe 1e -xln a的6)定积分比较定理b如果在区间a,b上恒有f(x) 0,则有f(x)dx 0a推论：i如果在区间a,b上恒有f(x) g(x)，则有bf(x)dxbg(x)dx;aaii设M和m是函数f(

8、x)在区间a, b上的最大值与最小值，则有：bm(b a) f(x)dx M (b a)a【点评】：定积分比较定理在解题时应用比较广， 定积分中值定理也是它的推论。 掌握其证明过程，对理解及应用该定理很有帮助。具体的证明过程教材上有。7)定积分中值定理设函数f(x)在区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一点使得下式成立：baf (x)dx f ( )(b a)a【点评】：微积分的两大中值定理之一，定积分比较定理和闭区间上连续函数的 推论，在证明题中有重要的作用。 考研真题中更是有直接用到该定理证明方法的 题目，重要性不严而喻。具体证明过程见教材。8)变上限积分求导定理X如果函数f(x

9、)在区间a,b上连续，则积分上限的函数(x) f(x)dx在a,b上a可导，并且它的导数是dx(x)f (x)dx f (x), a x bdxa设函数F(x)U(X)f(t)dt，则有F(x)【点评】：不说了，考试直接就考过该定理的证明。具体证明过程见教材。9)牛顿-莱布尼兹公式b如果函数f (x)在区间a,b上连续，则有f(x)dx F(b) F(a)，其中F(x)是af(x)的原函数。【点评】：微积分中最核心的定理，计算定积分的基础，变上限积分求导定理的 推论。具体证明过程见教材。u(x)v(x)f (v(x)v(x)。10）费马引理：设函数f（x）在点x0的某领域U（x0）内有定义，并

10、且在x0处可导，如果对任意的x U（X0），有f（X0） f （x）或f（X0） f （x），那么f（X。）0【点评】：费马引理是罗尔定理的基础，其证明过程中用到了极限的保号性，是 很重要的思想方法。具体证明过程见教材。11）罗尔定理：如果函数f （x）满足（1）在闭区间a,b上连续；（2）在开区间（a,b）上可导（3） 在区间端点处的函数值相等，即f（a） f（b）那么在（a,b）内至少存在一点（a b），使得f（ ）0。【点评】：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脉相承的三大定理； 它们从形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但实际上却是相 互蕴含，可以相互推导的。这

11、几个定理的证明方法也就是与中值有关的证明题主 要的证明方法。中值定理的证明是高数中的难点，一定要多加注意。具体证明过 程见教材。12）拉格朗日中值定理：如果函数f （x）满足（1）在闭区间a,b上连续；（2）在开区间（a,b）上可导那么在（a,b）内至少存在一点（a【点评】：同上。13）柯西中值定理：如果函数f （x）和g（x）满足（1）在闭区间a,b上连续；（2）在开区间（a,b）上可导那么在（a,b）内至少存在一点（a【点评】：同上b)，使得f( )f(b) f(a)b ab），使得語朋14)单调性定理：设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导。如果在(a,b)上有f (x)0,那

12、么函数f (x)在a,b上单调递增。如果在(a,b)上有f(x)0,那么函数f(x)在a,b上单调递减。【点评】 ： 这个定理利用导数与切线斜率的关系很容易理解， 但实际证明中却不 能用图形来解释，需要更严密的证明过程。证明：仅证明f(x)0的情形，f(x)0的情形类似。x1, x2( a, b)，假定x1x2则利用拉个朗日中值定理可得，x2,x2使得f(x1) f(x2) f(x1x2)。由于f0，因此f(x1) f(x2)0。由x1,x2的任意性，可知函数f (x)在a,b上单调递增。14)(极值第一充分条件)o设函数f(x)在X。处连续，并在X。的某去心邻域U(xo,)内可导。i)若x(

13、X。，x。)时，f(x)0,而x(Xo,X。)时，f(x)0,则f (x)在X。处取得极大值ii)若x(X0,x)时，f (x)0,而x(X0,X0)时，f (x)0,则f (x)在x处取得极小值；oiii)若x U(X0,)时，f(x)符号保持不变，则f(x)在X0处没有极值；【点评】：单调性定理的推论，具体证明过程见教材。15) (极值第二充分条件)设函数f(x)在X。处存在二阶导数且f(xo)0,那么i)若f(x。)0,则f (x)在Xo处取得极小值；ii)若f(x。)0,则f (x)在Xo处取得极大值。【点评】：这个定理是判断极值点最常用的方法，证明过程需要用到泰勒公式。 证明：仅证明f(Xo)0,的情形，f(Xo) 0,的情形类似。由于f(x)在X0处存在二阶导数，由带皮亚诺余项的泰勒公式得。在X0的某领域由极值点的定义可知f(x)在X0处取得极小值内成立f (x)X0X0XX02X X0X0o22X X0由于f(X0)因此f(X) f X0X02X02X0f X0XX0X0X02X0由高阶无穷小的定义可知,oX0时，有一因此在X。的某领域内成立X。X2o X X02X X02x X02X00。X00,又由于于0，进一步，我们有