数列的极限课件

1、 第二章 一、数列与函数的极限一、数列与函数的极限二、无穷小与无穷大二、无穷小与无穷大三、极限运算法则、存在准则、三、极限运算法则、存在准则、 两个重要极限两个重要极限四、无穷小的比较四、无穷小的比较五、函数的连续性定义及性质五、函数的连续性定义及性质第二章第二章机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限与连续极限与连续 第二章 一、数列的有关概念一、数列的有关概念二、数列极限的定义二、数列极限的定义三、收敛数列的性质三、收敛数列的性质第一节第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束 数列的极限数列的极限第三节 目录 上页 下页 返回 结束 一、数列的有关概念一、数列的有关概念数列：数列：以以N+

2、为定义域的为定义域的f (n)按按f (1), f (2), f (n), 排列的一列数。排列的一列数。记记xn=f(n),简写成简写成xn. xn为数列的为数列的通项通项或或一般项一般项.如如11121 1: , ,., ,.: , ,., ,.nn有界数列有界数列: 若存在若存在M0,对任意的对任意的n都满足都满足|xn|M, 则称数列则称数列xn为为有界数列有界数列。同理，可定义下有界、上有界同理，可定义下有界、上有界.第三节 目录 上页 下页 返回 结束 单增数列：单增数列：对数列对数列xn, 满足满足121+ +. . . . . . .nnxxxx单减数列：单减数列：对数列对数列x

3、n, 满足满足121+ +. . . . . . .nnxxxx吵吵单增数列与单减数列统称为单增数列与单减数列统称为单调数列单调数列。子数列：子数列：将数列将数列xn在保持原有顺序情况下，任取在保持原有顺序情况下，任取 其中无穷多项所构成的新数列，称为其中无穷多项所构成的新数列，称为xn 的的子数列子数列，简称，简称子列子列，一般记为，一般记为 . .knx数学语言描述:r二二 、数列极限的定义、数列极限的定义引例引例. 设有半径为 r 的圆 ,nA逼近圆面积 S .n如图所示 , 可知nAnnnrcossin2),5,4,3(n当 n 无限增大时, nA无限逼近 S (刘徽割圆术) , ,0

4、,N正整数当 n N 时,SAn用其内接正 n 边形的面积总有刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义: 自变量取正整数的函数称为自变量取正整数的函数称为数列数列,记作)(nfxn或或.nxnx称为称为通项通项(一般项一般项) .若数列若数列nx及常数及常数 a 有下列关系有下列关系 :,0,N正数当当 n N 时时, 总有记作记作此时也称数列此时也称数列收敛收敛 , 否则称数列否则称数列发散发散 .几何解释几何解释 :aaa)(axan)(Nn 即),(axn)(Nn axnnlim或)(naxn1Nx2Nxaxn则称该数列则称该数列nx的极限为的极限为 a ,机动 目录 上页 下页 返

5、回 结束 例如例如,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趋势不定收 敛发 散机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 已知,) 1(nnxnn证明数列nx的极限为1. 证证: 1nx1) 1(nnnn1,0欲使,1nx即,1n只要1n因此 , 取, 1N则当Nn 时, 就有1) 1(nnn故1) 1(limlimnnxnnnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 已知,) 1() 1(2nxnn证明.0limnnx证证:0nx0) 1

6、() 1(2nn2) 1(1n11n, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,11n即n取, 11N则当Nn 时, 就有,0nx故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取1N也可由2) 1(10nnx. 11N 与 有关, 但不唯一.不一定取最小的 N .说明说明: 取11N机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 设,1q证明等比数列,112nqqq证证:0nx01nq, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,1nq即,lnln) 1(qn亦即因此 , 取qNlnln1, 则当 n N 时, 就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的极限为 0 . 1nq机动 目

7、录 上页 下页 返回 结束 三、收敛数列的性质三、收敛数列的性质1. 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明数列证明数列),2, 1() 1(1nxnn是发散的是发散的. 2. 收敛数列一定有界收敛数列一定有界. 反之，有界数列却不一定收敛反之，有界数列却不一定收敛.3. 收敛数列的保号性收敛数列的保号性.若,limaxnn且0a,NN则Nn 当时, 有0nx, )0(. )0(4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .由此性质可知由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极若数列有两个子数列收敛于不同

8、的极限限 ,例如， ),2, 1() 1(1nxnn; 1lim12kkx1lim2kkx发散 !则原数列一定发散则原数列一定发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 内容小结内容小结1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用2. 收敛数列的性质:唯一性 ; 有界性 ; 保号性;任一子数列收敛于同一极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 如何判断极限不存在?方法1. 找一个趋于的子数列;方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.2. 已知),2, 1(21,111nxxxnn, 求nnxlim时, 下述作法是否正确? 说明理由.设,limaxnn由递推式两边

9、取极限得aa211a不对不对!此处nnxlim机动 目录 上页 下页 返回 结束 刘徽刘徽(约约225 295年年)我国古代魏末晋初的杰出数学家. 他撰写的重 差对九章算术中的方法和公式作了全面的评 注, 指出并纠正了其中的错误 , 在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献 . 他的 “ 割圆术 ” 求圆周率 “ 割之弥细割之弥细 , 所失弥小所失弥小, 割之又割割之又割 , 以至于不可割以至于不可割 ,则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣 ”它包含了“用已知逼近未知用已知逼近未知 , 用近似逼近精确用近似逼近精确”的重要极限思想 . 的方法 :柯西柯西(1789 1857)法国数学家, 他对数学的贡献主要集中在微积分学,柯 西全集共有 2