非参数假设检验

1、1 非正态总体参数的假设检验非正态总体参数的假设检验1, 0,)1 (1xppxxpxx设 nxxx,21为 x 的样本, 检验假设 0100:,:pphpph1 1(01)(01)分布参数的假设检验分布参数的假设检验由于 niipxenxe1)(1)(niippnxdnxd12)1 (1)(1)(因此由中心极限定理可知, 当 0h成立且样本容量 n充分大时，统计量 npppxu/ )1 (000服从标准正态分布n(0,1). =该假设检验问题的拒绝域为 2/000/ )1 (unpppxu近似地例例1 1 某种产品在通常情况下次品率为5%. 现在从生产出的一批产品中随机地抽取50件进行检验,

2、 发现有4件次品. 问能否认为这批产品的次品率为5%? (=0.05)解解 设这批产品的次品率为 p. 在这批产品中任 任意取一件产品，定义随机变量 x 如下 .0, 1该产品为合格品，该产品为次品x), 1 (pbx检验假设 ,05. 0:0ph05. 0:1ph该假设检验问题的拒绝域为 2/ )05. 01 (05. 005. 0unxu现在 ,50n,08. 0504x96. 1025. 02/ uu统计量u的值为 0306. 050/05. 0105. 005. 008. 0u96. 10306. 0| u=接受假设 0h=可以认为这批产品的次品率为5% 2.2.总体均值的假设检验总体

3、均值的假设检验假设总体x 的均值为, 方差为 2nxxx,21为 x 的样本,检验假设 0100:,:hh由中心极限定理知，当样本容量n充分大时， nxu/0近似地服从标准正态分布n(0,1) 由于样本方差 niixxns122*11为 2的无偏估计量， =可以用 2*s近似代替 2，并且当 0h为真 且样本容量n充分大时，统计量 nsxu/*0仍近似地服从标准正态分布n(0,1) =该假设检验问题的拒绝域为 2/*0/unsxu例例2 2 某电器元件的平均电阻一直保持在2.64. 改变加工工艺后, 测得100个元件的电阻, 计算得平均电阻为 2.58 , 样本标准差为0.04 . 在显著性水

4、平 =0.05下, 判断新工艺对此元件的平均电阻有无显著影响. 解解 设该电器元件的电阻为x, 其均值为 检验假设 ,64. 2:0h64. 2:1h拒绝域为 2/*/64. 2unsxu现在 ,100n,58. 2x,04. 0*s05. 0,96. 1025. 02/uu统计量u的值为 15100/04. 064. 258. 2u96. 115| u=拒绝假设 ,64. 2:0h接受假设 64. 2:1h=新工艺对电子元件的平均电阻有显著影响. 3.3.两个总体均值的假设检验两个总体均值的假设检验 设总体 x和 y相互独立， 的样本, 1,21nxxx是 x2,21nyyy是 y 的样本.

5、 记 ,1111niixnx112121*)(11niixxns,1212niiyny212222*)(11niiyyns设总体 x的均值为 1，方差为 21总体 y的均值为 2，方差为 22,:210h211:h的拒绝域. 由中心极限定理知，当样本容量 1n和 2n都充分大时， 22212121nnyxu近似地服从标准正态分布 由于样本方差 21*s和 22*s分别为 21和 22的无偏估计量，因此 可以分别用 21*s和 22*s近似代替 21和 22，并且当 求假设检验问题 1n和 2n22212121nnyxu近似地服从标准正态分布 ，从而当原假设 0h成立时， 统计量 222*121

6、*nsnsyxu仍近似地服从标准正态分布. 都充分大时， =当 0h成立且 21,nn都充分大时， 统计量u的值应该在零附近摆动，当 u过大时就认为 0h不成立. =该假设检验问题的拒绝域为 2/222*121*unsnsyxu例例3 两台机床加工同一中轴承，现在从他们加工的轴承中分别随机地抽取200根和100根，测量其椭圆度（单位：mm），经计算得 ,062. 0,081. 0yx062. 0,025. 02*1*ss能否认为这两台机床加工的轴承的平均椭圆度是相同的(=0.05)解解设这两台机床加工的轴承的椭圆度分别为x,y 且 ,1xe ye2检验假设 ,:210h211:h由于题目给出的

7、两个样本都是大样本，因此该假设检验问题的拒绝域为 现在 ,100,20021nn96. 1025. 02/ uu2/222*121*unsnsyxu222*121*nsnsyxu=拒绝原假设 ,0h即认为这两台机床加工的轴承的平均椭圆度是不相同的. 96. 15849. 32 分布拟合检验分布拟合检验设总体x的实际分布函数为f(x),它是未知的. nxxx,21为来自总体 x的样本. 根据这个样本来检验总体x的分布函数f(x) 是否等于某个给定的分布函数 f0(x),即检验假设 ),()(:00 xfxfh)()(:01xfxfh: 注意注意: : 若总体 x 为离散型的, 则 0h相当于 总

8、体 x 的分布律为 , 2 , 1,ipxxpii若总体 x 为连续型的, 则 0h相当于总体 x 的 概率密度为 f (x) .（1）若0h中 x的分布函数 )(xf不含未知参数. 记 为 x的所有可能取值的全体， 将 分为k个两两互不相交的子集 kaaa,21以 ), 2 , 1(kifi表示样本观察值 nxxx,21中落入 ia的个数,= 在n次试验中,事件 ai发生的频率为 fi /n另一方面,当h0 0为真时, 可以根据h0所假设的 x 的分布函数来计算 ).(iiapp 选取统计量 kiiiipnfh12来度量样本与h0中所假设的分布的吻合程度，hi是给定的常数。 kiiikiii

9、innpfnpnpf12122)(如果选取 ,/iipnh 则上述统计量变成 定理定理1 1 （皮尔逊）（皮尔逊）当h0为真且n充分大时, 统计量 kiiikiiiinnpfnpnpf12122)(近似服从 ) 1(2k分布. 由定理1, 若给定显著性水平,则前述假设检验问题的拒绝域为 ) 1(22k（2）若h0中x 的的分布函数含有未知参数. 此时, 首先在假设下利用样本求出未知参数的最大似然估计, 以估计值作为参数值, 然后再根据 h0中所假设的 x 的分布函数 f(x)求出 pi的估计值 )(iiapp kiiikiiiinnpfnpnpf12122)(并在 中以 ip 代替 ip, 得

10、到统计量 npnfpnpnfkikiiiiii11222)(0h为真且 n充分大时, 统计量定理定理2 2 （皮尔逊）（皮尔逊）当 npnfpnpnfkikiiiiii11222)(近似服从 ) 1(2 rk分布, 其中r是 x的分布函数 f(x)包含的未知参数的个数. 若给定显著性水平,则前述假设检验问题的拒绝域为 ) 1(22rk注意：注意：运用 2检验法检验总体分布, 把样本数据进 （1）大样本, 通常取50n（2）要求各组的理论频数 5inp或 5 ipn（3）一般数据分成7到14组. 有时为了保证各组 行分类时,5inp组数可以少于7组例例1 1 孟德尔在著名的豌豆杂交实验中, 用结

11、黄色圆形种子与结绿色皱形种子的纯种豌豆作为亲本进行杂交, 将子一代进行自交得到子二代共556株豌豆, 发现其中有四种类型植株 （黄圆）（黄皱） （绿圆）（绿皱） ryrryyyryyrr 总计 315株 101株 108株 32株 556株 试问这些植株是否符合孟德尔所提出的 1:3:3:9的理论比例 )05. 0(解解 检验假设 :0h这些植株符合1:3:3:9的理论比例. :1h这些植株不符合 1:3:3:9的理论比例. 由 1:3:3:9的理论比例可知 161,163,163,1694321pppp由n=556,得 25.104,75.31221npnp75.34,25.10443npn

12、p而 ,32,108,101,3154321ffff, 4k计算得 .47. 0)(122kiiiinpnpf由 =0.05 ,自由度, 3141k查 2分布表得 815. 7)3(205. 0)3(205. 02=在=0.05下接受0h=这些植株是符合孟德尔所提出的 1:3:3:9的理论比例例例2 2 某农科站为了考察某种大麦穗长的分布情况, 在一块实验地里随机抽取了100个麦穗测量其长度, 得到数据如下（单位: cm)6.5 6.4 6.7 5.8 5.9 5.9 5.2 4.0 5.4 4.6 5.8 5.5 6.0 6.5 5.1 6.5 5.3 5.9 5.5 5.8 6.2 5.4

13、 5.0 5.0 6.8 6.0 5.0 5.7 6.0 5.56.8 6.0 6.3 5.5 5.0 6.3 5.2 6.0 7.0 6.4 6.4 5.8 5.9 5.7 6.8 6.6 6.0 6.4 5.7 7.46.0 5.4 6.5 6.0 6.8 5.8 6.3 6.0 6.3 5.65.3 6.4 5.7 6.7 6.2 5.6 6.0 6.7 6.7 6.05.5 6.2 6.1 5.3 6.2 6.8 6.6 4.7 5.7 5.7 5.8 5.3 7.0 6.0 6.0 5.9 5.4 6.0 5.2 6.0 5.3 5.7 6.8 6.1 4.5 5.6 6.3 6.0

14、 5.8 6.3试检验大麦穗长是否服从正态分布?(=0.05)解解 检验假设 :0hx的概率密度为 222)(21)(xexf2,是未知的, 所以应首先估计 2,2,的最大似然估计为 ,921. 5 x22*26034. 01snn把x可能取值的全体 55. 7,95. 3划分为 k =12个互不重叠的小区间: ,25. 4,95. 31a,55. 4,25. 4(2a55. 7,25. 7(12a=大麦穗长的频数、频率分布表 3.954.254.254.554.554.854.855.155.155.455.455.755.756.056.056.356.356.656.656.956.95

15、7.257.257.55合计iaif频率 频数 nfi/累计频率 521105.002.001.001.00.09 11152813110.110.150.280.130.110.200.350.630.760.87121001. 002. 010. 01.00 1001.00,921. 5 x22*26034. 01snn由)6034. 0,921. 5(2nx由此可计算 ),(iiapp ,(1iiitta若则1iiittp6034. 0921. 56034. 0921. 51iitt2,ip的值见下表 的计算表 2组号分组 频数 13.955.1590.099769.9760.0954925.155.45110.117411.740.0466435.455.75150.17217.20.281445.756.05280.193519.353.866856.056.35130.17