平面向量坐标运算及共线的坐标表示

1、复习引入：复习引入：1.1.平面向量的基本定理是什么？平面向量的基本定理是什么？ 若若e1 1、e2 2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量意向量a，有且只有一对实数，有且只有一对实数1 1，2 2，使，使a1e12e2.2.2.用坐标表示向量的基本原理是什么？用坐标表示向量的基本原理是什么？设设i、j是与是与x x轴、轴、y y轴同向的两个单位向量，若轴同向的两个单位向量，若axiyj，则，则a( (x x，y y).).我们需要研究的问题是：我们需要研究的问题是：向量的和、差、数乘、模的运算，如何转化为坐标运算。向量的和

2、、差、数乘、模的运算，如何转化为坐标运算。共线向量（定理）如何通过坐标来表示。共线向量（定理）如何通过坐标来表示。探究（一）：探究（一）：平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 思考思考1 1：设设i、j是与是与x x轴、轴、y y轴同向的两个单位向量，若轴同向的两个单位向量，若a=(x=(x1 1，y y1 1),),b=(x=(x2 2，y y2 2),),则则ax x1 1iy y1 1j，b bx x2 2iy y2 2j，根据向量的线性运算性质，根据向量的线性运算性质，向量向量ab，ab，a（r）如何分别用基底）如何分别用基底i、j表示？表示？ab(x1x2)i(y1y2)j， ab(

3、x1x2)i(y1y2)j， ax1iy1j.ab(x1x2，y1y2); ab(x1x2，y1y2); a(x1，y1).说明：向量和（差）的坐标等于这向量相应坐标的和（差）；说明：向量和（差）的坐标等于这向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. .o ox xy yb ba aab 思考思考2 2：如图如图, ,已知点已知点a(xa(x1 1,y,y1 1),b(x),b(x2 2,y,y2 2) )，那么向量那么向量 的坐标如何？一般地，一个的坐标如何？一般地，一个任意向量的坐标如何计算？任意向

4、量的坐标如何计算？ (x2x1，y2y1). ab 任意一个向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标任意一个向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标. .思考思考4 4：在上图中，如何确定坐标为在上图中，如何确定坐标为(x(x2 2x x1 1，y y2 2y y1 1) )的点的点p p的位置？的位置？o ox xy yb ba ap(xp(x2 2-x-x1 1,y,y2 2-y-y1 1) )思考思考5 5：若向量若向量a=(x=(x，y)y)，则，则| |a| |如何计如何计算？若点算？若点a(xa(x1 1,y,y1 1) )，b(xb(x2 2，y y2 2) )，则，则 如何计算？如何计算？

5、 ab 222121ab(xx )(yy ) a aax xy yo o22xya 也叫距离公式探究（二）：探究（二）：平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 思考思考1 1：如果向量如果向量a，b共线（其中共线（其中b0），），那么那么a，b满足什么关系？满足什么关系？思考思考2 2：设设a=(x1，y1), ,b=(x2，y2)，若向量若向量a，b共线（其中共线（其中b0），则这两个向量的坐标应），则这两个向量的坐标应满足什么关系？反之成立吗？满足什么关系？反之成立吗？ ab.向量向量a，b（b0）共线共线 1221x yx y思考思考3 3：已知点已知点p p1 1(x(x1 1，

6、y y1 1) )，p p2 2(x(x2 2，y y2 2) )，若点若点p p分别是线段分别是线段p p1 1p p2 2的中点、三等分点，的中点、三等分点，如何用向量方法求点如何用向量方法求点p p的坐标？的坐标？x xy yo op p2 2p p1 1p pp pp p.三角形中位线定理三角形中位线定理12a ma ba c abcm思考思考4 4：一般地，若点一般地，若点p p1 1(x(x1 1，y y1 1) )，p p2 2(x(x2 2，y y2 2) )，点，点p p是直线是直线p p1 1p p2 2上一点，上一点，且且 ，那么点，那么点p p的坐标有何计算的坐标有何计

7、算公式？公式？1212xxyyp(,)11x xy yo op p2 2p p1 1p p21pppp定比分点坐标理论迁移理论迁移 例例1 1 已知已知a=(2,1),=(2,1), b=(=(3,4),3,4),求求 ab，ab，3a4b的坐标的坐标. . ab(1，5)，ab(5，3)，3a4b(6，19). 例例2 2 如图，已知如图，已知 abcdabcd的三个顶点的的三个顶点的坐标分别是坐标分别是a a（-2-2，1 1）、）、b b（-1,3-1,3）、）、c(3,4)c(3,4)，试求顶点，试求顶点d d的坐标的坐标. .o ox xy ya ab bc cd d d d（2 2

8、，2 2） 例例3 3 已知向量已知向量a=(4=(4，2)2)，b=(8=(8，y),y),且且ab，求，求y y的值的值. .y4 例例4 4 已知点已知点a(-1a(-1，-1)-1)，b(1b(1，3)3)，c(2c(2，5)5)，试判断，试判断a a、b b、c c三点是否共线？三点是否共线？，a a、b b、c c三点共线三点共线. . 2abac3 小结作业小结作业1. 1. 向量的坐标运算（加、减、数乘）向量的坐标运算（加、减、数乘）2.2.向量向量abab的坐标如何求？的坐标如何求？ 3.3.如何用向量的坐标求向量的模？如何用向量的坐标求向量的模？4.若a/b(b0)它们的坐

9、标满足什么关系式？5.三角形中位线定理是什么？三角形中位线定理是什么？acabam21abcm1,16212121yyxxppppp坐标为时，点、当课后练习：课后练习：)(,/),1, 4(),3, 2(. 1 ybayba则则且且若若a. 6 b. -5 c. 7 d. -82. 若若a(x, 1)，b(1, 3)，c(2, 5)三点共线，三点共线，则则x的值为的值为( )a. 3 b. 1 c. 1 d. 3bb课后练习课后练习)(),()4()3(,2. 3的值可能分别为的值可能分别为、共线，则共线，则与与同且为单位向量同且为单位向量轴正方向相轴正方向相轴、轴、的方向分别与的方向分别与其中其中若若yxdcabyxjijyixdcjiab a. 1, 2 b. 3, 2 c.