半连续动力系统Word_文档[1]

1、害虫治理与半连续动力系统几何理论 陈兰荪1) ,2)1) 中国科学院数学与系统科学研究院 2) 福建师范大学闽南科技学院=一， 引言：应用数学模型的方法耒研究生物种群管理决策，我们早在文献1)-4)中可以看到，特别是关于投放农药灭害虫的模型，最为经典最为简单的模型是以下阶段结构模型： , (1)其中x，y分别表示害虫的幼虫和成虫的密度，b表示幼虫的自然死亡率和单位时间由幼虫成长成成虫的成长率之和，c表在单位时间由幼虫成长为成虫的成长率， 表示成虫的自然死亡率； 表示喷洒农药对幼虫的杀死率， 表示喷洒农药对成虫的杀死率.系统(1)当 时的定性相图有两种可能： (a) (b) 情况(a)说明当害虫

2、的出生率大于死亡率时，害虫无限增长，反之(b)说明当害虫的出生率小于死亡率时害虫自动减少趋向于零，这种情况无需控制，对于情况(a)我们应用模型(1)选择适当的 和使系统由(a)转变成(b)完成了控制，具体的：选择 和使 即可达到上述目的，使害虫趋向灭绝.以上理论分析，是把投放农药看成是连续行为，然而在实际中投放农药是分批进行，也就是说杀害虫是一种脉冲行为，我们建立了灭害虫的脉冲微分方程模型：(2)其中：若无脉冲 时微分方程的平衡点(0,0) 为不稳定可以选取参数： ,或为微分方程的正特征根,使周期脉冲微分方程的平衡态(0,0) 为渐近稳定,害虫灭绝。然而这样的研究结果，仍然得不到实际害虫管理人

3、员的认同，他们在实际害虫管理工作中，并不是按照某周期时刻进行投放农药，而实际中是观察害虫发展到一定程度时才投放农药，例如在农田、森林中设置“监视器”耒时刻观察到害虫发展的“状态”，根据这个“状态”,的大小耒决定是否投放农药，为此我们又建立了数学模型：(3)这就是害虫数量发展的”状态脉冲反馈控制害虫的数学模型”,这是一个十分简单的模型，我们要通过这个模型研究害虫的可控性，研究通过控制后害虫的密度水平，以及在某些经济目标下的最优控制策略。二，定义定义1 ：为了研究一些更一般的情况，我们进一步考虑”状态脉冲微分方程”: (4)这里:和 为 平面上的直线或曲线称为脉冲集 称为的相集 我把由”状态脉冲微

4、分方程” (4) 所定义的解映射所构成的“动力学系统”称为“半连续动力系统”，记为：, 我们规定系统的映射初始点p不能在脉冲集上， 为连续映射, , 称为脉冲映射定义2 ：由脉冲微分方程(4)定义的半连续动力系统映射；为 自身映射包括两个部份: 1) 微分方程:(5) 初值为p 的Poincare映射若则半连续动力系统初值为p的映射为： 如下图：2) 若存在时刻 有脉冲映射且则半连续动力系统初值为p的映射为：如下图(a)所示 (a) (b)3) 在上述2)的情况下，若存在时间有：则:如上图(b)所示.4) 重复上面的考虑若类推有 三，半连续动力系统的性质由上定义的半连续动力系统其映射满足性质：

5、1) ;2)关于连续动力系统的性质：对p和t均连续；半连续动力系统的映射 在脉冲时刻不具有对时间t的连续性, 但有性质：3) 对初始值p具有连续性.四, 半连续动力系统的周期解 1) 如果微分方程系统(5)的周期解 ，不与脉集 相交， 也为半连续动力系统(4)的周期解。2) 阶周期解: 若相集N中存在点p,且存在 使得：而且脉冲映射 则 称为阶周期解，其周期为 如下图所示：则轨道：轨线 直线称为阶1环, 孤立阶1环为阶1极限环阶1周期解的轨道稳定性：定义：记为阶1周期解( 阶1环 ) 称为是轨道稳定的，如果对于任何在相集上存点p的邻域,对于内任意一点以 为初始点半连续动力系统的轨线存在T当时有

6、：距离.3) 阶2周期解与阶K周期解: 设 且存在 有 而且脉冲映射又有：则轨道 称为阶2周期解，其周期 如下图所示: 类似若存在 和 而则轨道 称为阶K周期解，其周期为4) 状态脉冲微分方程的周期解举例当 或 (6)当 如下图所示： (a)系统(6)若没有脉冲时，其解为一系列围绕原点O的园,下图中 是半径为1的园，下图中是半径为2的园， 和 都是系统(6)在没有脉冲时的周期解。1) 阶1周期解的存在性： (b) 一个脉冲的阶1环 (c) 两个脉冲的阶1环在图(b)中a为b的相点, ab轨线+脉冲映射ba= 阶1周期解,在图(c)中O为b的相点，a为o的相点, acb轨线+脉冲映射bo+脉冲映

7、射oa = 阶1周期解(虽然脉冲两次，但只包一条轨线弧段，我们也定义为阶1周期解)2) 阶2周期解的存在性：(d)在以上图(d)中 是阶1周期解,是半径为1的单位园,我们在y轴上任取一点a，设a与 的距离为，a点的座标为，过a的园与负半轴交c，c点的座标为，c点属于脉冲集，其脉冲的相点为f，f点的座标为,f点不属于脉冲集，过f的园与负半轴交d,d 点的座标为, f点属于脉冲集，其脉冲的相点为a,这样可见 abc轨线+脉冲映射cf+def轨线+脉冲映射da=阶2周期解,因 是任意的,只要求因此我们知 附近充满阶2周期解并且由“阶1周期解轨道稳定”的定义易知， 是轨道稳定的。但不是渐近稳定的。我记

8、：的园为： 由上图左图易知： 因为从点+3经轨线到-3，再经脉冲到-1，-1属于脉冲集，再次脉冲到+1，+1再经轨线到-1，再脉冲到+1，停留在阶1周期解 上。同样的推理，我们将有：类似推理我们有：,类推知道与之间的解都走向 与 之间的阶2周期解。上图右图中的区域G(),G是一个“正向不变集”，G是一个“吸引子”，G是全局(x0)吸引的吸引子.五，基本定理与应用：1) 定义：后继函数我们假设脉冲集M和相集N均为直线，如下图所示，在相集N上定义座标，例如定N与X轴的交点Q的座标为0，N上任意一点A的座标定义为A与Q的距离，记为a,设由A点出发的轨线与脉冲集交于一点C，C的脉冲相点为B在相集N上，

9、座标为b，我们定义点A的后继点为B，A的后继函数为F(A)=b-a,引理1：后继函数F(A)是连续的。证明：如图所示，有Poincare映射,由于Poincare映射对初值的连续性，对于任绐,存在,对于邻域 内必有在一点,只要即有：再由于脉冲映射的连续性，对任绐,B的 邻域内 任意一点因为因此必存在C的邻域中存在点其相点为只要则有因此我们有：对任绐,B的 邻域内 任意一点,必存在,使得在A的 邻域 内必有在一点使得正是 的后继点,也即若：则有.2) 后继函数的应用：定理1，有阶2周期解必有阶1周期解证明：设有阶2周期解AB,A和B在相集N上，其座标分别为a和b，轨线弧A 与脉冲集M交于点 ，B

10、为 的相点,轨线弧B与脉冲集M交于点,A为 的相点,如下图所示：我们可以看到B为A的后继点，同时B又是A的后继点。 我考查A和B两点的后继函数有： 由解对初值的连续性和脉冲映的连续性，易知后继函数关于初值是连续的，因此知在A与B之间必存在一点C使：, 为阶1周期解.定理2 ，(Bendixon定理)设存在一个单连通、有界闭区域ABCDA，如下图所示,其边界AD和BC为系统(4)的无切弧，在其上系统(4)所确定的方向埸的朝向是指向区域ABCDA的内部，如下图所示, 区域ABCDA的内部与边界上都不存在半连续动力系统(4)的平衡点, 区域ABCDA的一个边界CD为系统(4)的脉冲集，其相应的相集包

11、含在AB之内, ,AB也为系统(4)的无切弧，在其上系统(4)所确定的方向埸的朝向是指向区域ABCDA的内部，则在区域ABCDA的内部至少存在一个半连续动力系统(4)的阶1周期解。证明：记 ,其边界无切弧AD记为,其边界无切弧BD记为,考察以A为初始点系统(4)的轨线,当t增加时轨线必进入区域G，而且当t继增大时，因为边界,和相集AB都无切弧，而且系统(4)的向量指向是由外指向G的内部，又G内不含平衡点，所以当t增大时既不能通过，或相集AB走出区域G也不能仃留在G内，所以必与脉冲集CD相交于一点,设的相点为,必有，如果则为阶1周期解，如果,我们在相集上以A为起点建立座标，没A的座标0，其他点以

12、其与A点的距离为座标，设点的座标为，这样A的后继函数.类似地考察以B点为初始点系统(4)的轨线当t增加时轨线必进入区域G，而且当t继增大时终将必与脉冲集CD相交于一点,设 的相点为 ,必有为果，则为阶1周期解，如果,，则B点的后继函数：因为后继函数的连续性，在A与B之间必至少存在一点C，使：因而在区域G内存在阶1周期解：.证毕2) Bendixon定理应用例子我们考虑脉冲状态反馈控制害虫防治系统(3)： (3) 定理3，当(即农药对幼虫的杀伤率小于对成虫的杀伤率)时，半连续动力系统(3)至少存在一个阶1周期解。证明：我们考虑害增率较大的情况，也就是说害的出生率大于其自然死亡率，即在这假设下系统

13、(3)在相平面(x、y)上的相图如下图所示：原点O为鞍点，直线ocb为鞍点分界线，线段ab为脉冲集 上 的一部份，b,c分别为分界线ocb与脉冲集 和 相集直线cd 的交点，a为等倾线 与脉冲集 的交点，在点作垂直于脉冲集的直线ad与相集交于一点d， 为a的相点， 为b的相，由定理的假设易知在c点的右边，又由 易知在d点的左边，由于cb为轨线，由向量场的方向可知，由ab、bc、cd和ad四线段所围成的单连通区试G为一个Bendixon区域，cb为轨线cd和ad为系统(3)的无切直线，方向场的方向都是由外指向G的内部，由Bendixon定理，在G内至少存在一个系统(3)的阶1周期解，定理证毕。

14、(六) 半连续动力系统的阶1奇异环（同宿轨）定义：所谓阶1奇异环是指阶1环上有奇点，( 阶1环上的Poincare映射的 极限集与 极限集仅是同一奇点A.)阶1奇异环的例子：我们考虑状态脉冲系统：(1)求(1) 通积分得(2) 半连续动力系统的同宿轨 连续动力系统的同宿轨系统(2)的解曲线如上左图所示：在(x，y)平面上，O(0，0)为鞍点，直线ou和ov为两条鞍点分界线，垂直线M和N分别为脉冲集和相集，其方程分别为；M： N：易知对于任何给定 和 则M和N的位置是确定的，也就是说它们与两分界线的交点A和B的位置是确的，显然我们可以适当的选取 ，使B正好为A的相点，这形成的三角形OAB就是阶1

15、周期解，其上有奇点O，我们称之为阶1奇异环，因为轨线AO以O为 极限点，BO以O为 极限点，因此我们称之为阶1同宿轨，与上面右图连续动力系统同宿环类似。(七) 阶1同宿环分支考虑扰动系统：(3)我们看到系统(3)为系统(2)的脉冲函数作了了小扰动，在未扰动时，脉冲集A 线段的相集为B 线段，的相点为B， 的相点为，扰动后脉冲集A 线段的相集为，扰动后原阶1同宿环破裂，不再存在阶1同宿环但由向量场知道，如下右图，AOBA构成一个Bendixon区域G，因为OA和OB是轨线，为脉冲集，和为无切线其上向量场的方向均由G外指向G内，G内部无奇点，因此在G内至少存在一个阶1周期解。事实上，由于系统(3)

16、是一个简单的可解系统，对于任绐 扰动，所产生的非奇异阶1周期解，可以求出相应的代数表达式。 (八) 脉冲环面动力系统我们考虑状态脉冲系统：设：参数： (7)当时，系统(7)在 内为一系列园，O为中心，当时原点为不稳定焦点，我们考虑初始点M在半径为1的园 , 系统(7)的轨线，由于原点为不稳定焦点，这轨线必围绕r=1的园旋转最终要和r=2的园相交于一点N，因为r=2是脉冲集，所以由N又脉冲到r=1的单位园上一点,由起始的轨线又将围绕r=1的园旋转最终要和r=2的园相交于一点,如此的程序会不断继续下去，结论会有两种可能(1)经过有限成了周期轨道, 存在k阶周期解，(2)这种程序会无限次的继续下去，

17、成为遍厉现象，如下图计算结果： 具有环面动力系统的特性。但我还没有办法耒判定出现这两种情况的条件是什么？参考文献：1) Clark C W, Mathematical bioeconomics: the optimal management of renewable resources, New York:John Wiley & Sons,1976 2) Clark C W, Bioeconomic modeling and resource management, In:Levin S A,Hallam,T G, Grose L J eds. Applied mathematical ec

18、ology. New York:Springer-Verlag,19893) Clark C W, Mathematical bioeconomics: the optimal management of renewable resources, New York:John Wiley & Sons,19904) Goh B S, Managenment and analysis of biological populations,Elsevier Scientific Publishing Company:Amsterlan,19805) Bonotto. E.M. Flows of cha

19、racteristic 0+ in impulsive semidynamical systems. J. Math. Anal. Appl. 332 (2007) 81966) Bonotto. E. M. LaSalles Theorems in impulsive semidynamical systems. cadernos de matematica 09, 157-168 october (2008).7) Bonotto E.M. ,. Federson. M. Limit sets and the PoincarBendixson Theorem in impulsive se

20、midynamical systems. J. Differential Equations 244 (2008) 233423498) Bonotto E. M. Grulha. N. G. Jr. Lyapunov stability of closed sets in impulsive semidynamical systems(Preprint).9) Bonotto E.M. Federson. M. Poisson stability for impulsive semidynamical systems. Nonlinear Analysis 71 (2009) 6148_61

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